16-4一维谐振子问题ppt课件

1、16-4 16-4 一维谐振子问一维谐振子问题题 一、一维谐振子的定态薛定谔方程一、一维谐振子的定态薛定谔方程 在经典力学中，简谐振动的定义：在经典力学中，简谐振动的定义：任何物理量任何物理量 x 的变化规律若满足方程式的变化规律若满足方程式0dd222xtx并且并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。化过程就是简谐振动。 在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。这类常见问题的普遍概括。简

2、谐振动物体受到的线性回复力简谐振动物体受到的线性回复力kxF取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动系统的势能系统的势能221)(kxxUk2221)(xxU简谐振动系统的总能量简谐振动系统的总能量2222121AkAUtotal简谐振动运动方程的解简谐振动运动方程的解)cos(tAx)(xUox 一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表面的振动以及辐射场的振动，等等。面的振动以及辐射场的振动，等等。 在微观领域中，一维

3、量子谐振子问题也是个基本的在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。是将来场量子化的基础。我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达为为2221)(xxU粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！)()()(222rErrU定态薛定谔方程定态薛定谔方程2221)(xxU)()(21dd2

4、22222xExxx一维谐振子的定态薛定谔方程一维谐振子的定态薛定谔方程一维谐振子的能量本征值方程一维谐振子的能量本征值方程)()(21dd222222xExxx为了简洁起见，引入三个无量纲参量：为了简洁起见，引入三个无量纲参量： Ex2,dd22 ( )()( )20 求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。 二、一维谐振子的本征函数和能量本征值二、一维谐振子的本征函数和能量本征值 一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即

5、一维谐振子的定态波函数为：子的定态波函数为：)(He)(222xNxnxnn由波函数的归一化条件所确定的常系数由波函数的归一化条件所确定的常系数 Nn为：为：Nnnn (!)1 21 22式中式中 Hn( Hn( ) )称为厄米多项式，具体形式为称为厄米多项式，具体形式为 Hedde22-nnnn( )() 1最简单的几个厄米多项式为：最简单的几个厄米多项式为：H0( ),1H1( ), 2H2( ),422n=0, n=1, n=2,一维谐振子的波函数的一般形式为一维谐振子的波函数的一般形式为 nnE tx txn( , )( )/ei,.3 , 2 , 1 , 0,e )(He/i222n

6、xNtEnxnn一维谐振子的能量本征值为一维谐振子的能量本征值为 EEnnn(), , ,120 1 2阐明：阐明： 一维谐振子的能量只能取一系列分立值；一维谐振子的能量只能取一系列分立值； 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的能量差是固定的；能量差是固定的；Eknann2222222212 3, , ,EEnnn(), , ,120 1 2能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！能级间距能级间距 = 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。210E 零点能是微观粒子波粒二象性的表现！)( xUoxA

7、ANME经典禁区经典禁区经典禁区经典禁区经典物理学中的一维谐振子：经典物理学中的一维谐振子：.,经典禁区经典允许区；AxAxnnxnxNx( )()eH2 22量子力学中的一维谐振子：量子力学中的一维谐振子：,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx考虑一维谐振子的基态：考虑一维谐振子的基态：210E2221)(xxU=2x1谐振子的特征长度谐振子的特征长度按照经典理论，按照经典理论，.,11经典禁区经典允许区；xx按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经典禁区中的概率为：典禁区中的概率为

8、：%16d )()(d )()(110000 xxxxxx微观粒子的隧道效应微观粒子的隧道效应,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx由图可以看出，量子数由图可以看出，量子数n n较小时，粒子位置的概率密较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数度分布与经典结论明显不同。随着量子数n n的增大的增大, , 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。例例1:1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度为为1.011.0110-10 m10

9、-10 m。求当电子处于基态时对阱壁的平。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。均冲力。 设电子质量为设电子质量为meme、速度为、速度为vxvx、动量为、动量为px px 、势阱宽度为、势阱宽度为a a。解解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。要求平均冲力，先要求平均冲力算符。动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。时间内的冲量等于质点动量的增量。平均冲力等于单位时间内的冲量。平均冲力等于单位时间内的冲量。电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：xxxpppI2电子与阱壁碰

10、撞一次，阱壁所受到的冲量：电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：xpII2ampavpfIFxxxe222Fm ax 222e将算符将算符 2222)i(xxpx 代入上式，得代入上式，得电子连续两次碰撞同一电子连续两次碰撞同一侧阱壁所需要的时间：侧阱壁所需要的时间：xvaT2单位时间内电子碰撞同单位时间内电子碰撞同一侧阱壁的次数：一侧阱壁的次数：avTfx21单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为一维无限深势阱的基态波函数为一维无限深势阱的基态波函数为d)()(rArAAaxaxsin2)(1)(1x电子对阱壁的平均冲力为电子对阱壁的平均冲力为

11、3e2223224e2211dsine2dsin2d000amuuamxaxamxFFaaN1017. 17例例2:2:如果粒子的波函数为如果粒子的波函数为 ，试求：试求：),(r在在r到到r+dr的球壳内找到粒子的概率；的球壳内找到粒子的概率；解解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。r到到r+dr的球壳的体积：的球壳的体积：rrdddsind2球坐标系下的体积元的表达式：球坐标系下的体积元的表达式：rrVddsindd2020 在在r到到r+dr的球壳内找到粒子的概率：的球壳内找到粒子的概率：rrrddsind),(20202 例例3:3:求处

12、于一维无限深方势阱中的粒子的位置、动量求处于一维无限深方势阱中的粒子的位置、动量和动能的平均值。和动能的平均值。 解解: 要求力学量的平均值，只要找到相应的力学量算要求力学量的平均值，只要找到相应的力学量算符和波函数就可以了。符和波函数就可以了。)(xn;0,sin2axaxna., 0, 0axx,.3 , 2 , 1n粒子的位置的平均值：粒子的位置的平均值：xxxad0 xaxnxaad )(sin202xaxnxaad )2cos1 (10;2a粒子的动量的平均值：粒子的动量的平均值：pixppad0 xaxnxiaxnaadsin)dd(sin200 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动

13、量的平均在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均值与粒子所处的本征态的级数，即值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。没有关系。粒子的动能的平均值：粒子的动能的平均值：在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。)(rUH222xHEaKd0 xaxnxaxnaadsin)dd2(sin22220 xaxnanadsin023222nttan0222dsin22222 anEknann2222222212 3, , ,平均动能，即平均能量，是量子化

14、的。平均动能，即平均能量，是量子化的。例例4:4:求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。置。 解解: 要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密度求极大即可。度求极大即可。nnxnxNx( )()eH2 22量子力学中的一维谐振子：量子力学中的一维谐振子：,2)(2/41122xxex概率密度：概率密度：1122232xex0ddx1, 0 x零是个极小值，舍去；零是个极小值，舍去；故极大值处为故极大值处为x这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大时， ，上式中的 可略去。从而，得到上式的渐进方程222

15、20dd 其解 就是原方程的解，又由于波函数在 时的有限性条件，得2/2Ae 2/2Ae 在 有限时应该有限，在 时它的行为也必须保证波函数有限。( )H 为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数 视为 的某一特定函数 ，假设方程的解为A( )H代回薛定谔方程，得到待定系数 满足的方程( )H (2.7.2)222(1)0d HdHHdd2/2( )He其中：2/E对 作泰勒展开0( )Ha( )H可由21(1)2(1)0vvva v vaa得 221(2.7.2)(1)(2)aa当 时， 的渐进行为是与 的渐进行为相同。( )H22aa 2e假设 为无穷级数时， 在 时将趋向无穷大。为了在

16、时，波函数仍有限， 必须断为多项式。因为如果 是多项式，当 ( )H( ) ( )H( )H 时，它趋于无穷的行为永远比 趋于零慢，从而保证了 在 是有限。2/2e( ) 此时，有22220nnnd HdHnHdd这是厄米方程，其解为厄米多项式。由2.7.2可知方程(2.7.1)有解的条件为1 2 ,0,1,2,3,2.7.3nn 1.级数表示：220(1 )!()( 2)! (2) !nknknknHknk, 212, 2nnn式中厄米多项式有三种重要表示：3.微分表示：2.积分表示：22( )()nntnHitedt22( )( 1)nnnndHeed 厄米多项式具有如下性质：1.递推关系：2.微分性质：111( )( )( )2nnnHHnH12( )ndHnHd3.