辽宁工业大学高数习题课-1-2ppt课件

1、第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分习题课二）习题课二）对坐标的曲线积分第二型曲线积分）对坐标的曲线积分第二型曲线积分）一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念1定义定义 niiiiiiiLyQxPdyyxQdxyxP10 ) ,() ,(lim) ,() ,( 2物理意义物理意义 ABABABQdyPdxjdyidxjQiPrdFW )()(变力变力 沿沿 所作的所作的功功. jyxQiyxPyxF) ,() ,() ,(ABL 二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质1线性性质：线性性质： LrdyxFyxF 21) ,() ,( LLrdyxFrdy

2、xF 2 1) ,() ,( 假设假设 （方向不变），那（方向不变），那么么21LLL LrdyxF ) ,( 21 ) ,() ,(LLrdyxFrdyxF设设 是是 的反向曲线弧，那的反向曲线弧，那么么 LL.) ,() ,( LLrdyxFrdyxF3. 与积分曲线的方向有关性：与积分曲线的方向有关性：2可加性：可加性：三、对坐标的曲线积分的计算方三、对坐标的曲线积分的计算方法法（化为定积分计算）（化为定积分计算）（1参数方程：参数方程： LdyyxQdxyxP ) ,() ,( )()( ),()()( ),(dttttQtttP1直接计算法：直接计算法：设设 从从 变到变到 ; 那么

3、那么);( ),( :tytxL t 设设 ; 从从 变到变到 ; 那么那么)( ),( ),( :tztytx t 设设 从从 变到变到 ; 那么那么);( :yxL ycd LdyyxQdxyxP ) ,() ,( dcdyyyQyyyP ),()( ),( （2直角坐标：直角坐标：设设 从从 变到变到 ; 那那么么);( :xyL xab LdyyxQdxyxP ) ,() ,( badxxxxQxxP )()( ,)( , .B注注: 下限下限 起点起点 上限上限 终点终点,A ) , ,() , ,() , ,(dzzyxRdyzyxQdxzyxP )()( ),( ),(ttttP

4、dtttttRttttQ)()( ),( ),()()( ),( ),( 3利用积分与路径无关的条件计算法利用积分与路径无关的条件计算法. LQdyPdx 与路径无关与路径无关 0 cQdyPdx,xQyP Gyx ) ,(单连域单连域.,QdyPdxdu Gyx ) ,(单连域单连域.2格林格林Green公式计算法公式计算法. DLdxdyyPxQQdyPdx（注意使用条件！）（注意使用条件！） （这里（这里 为区域为区域 的正向边界曲线的正向边界曲线) LD，为区域内任意闭曲线，为区域内任意闭曲线. c四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系 .)coscos( LLdsQPQ

5、dyPdx 其中其中 为有向曲线弧为有向曲线弧 在点在点 处的切向量的方向角处的切向量的方向角. ,L) ,(yx五、对坐标的曲线积分的解题方法五、对坐标的曲线积分的解题方法4斯托克斯斯托克斯Stokes公式计算法公式计算法. coscoscos dSRQPzyxRdzQdyPdx （这里（这里 是有向曲面是有向曲面 的正向边界曲面的正向边界曲面) NoLIPdxQdy PQyx 积分与路径无关积分与路径无关 封闭封闭L0I 取特殊曲线取特殊曲线 L 转化为定积分转化为定积分积分与路径相关积分与路径相关 封闭封闭 L确定确定D 应用应用Green公式公式 DPQIdxdyxy 对对L补上特殊曲

6、线补上特殊曲线 L 在封闭曲线在封闭曲线 上应用上应用Green公式公式 LL LDPQIdxdyPdx Qdyxy 转化为转化为定积分定积分 YesNoYesNoYes解题方法流程图解题方法流程图 LIPdxQdy 由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数 ), ,(yxP) ,(yxQ及积分曲线及积分曲线 然后判断等式然后判断等式 是否是否,L,xQyP Dyx ) ,(成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 内与积分路径内与积分路径D无关无关. 此时的计算方法是，看积分曲线此时的计算

7、方法是，看积分曲线 是否封闭是否封闭. 假设假设 为封为封闭闭LL曲线曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;. LLQdyPdxQdyPdxI若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方法是，看积分曲线法是，看积分曲线 是否封闭是否封闭. 假设假设 为封闭曲线为封闭曲线, 则直接利则直接利用用LL假设假设 不是封闭曲线不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法如取平行通常采用取特殊路径的方法如取平行于于L坐标轴的折线坐标轴的折线 )来计算所给积分，即来计算所给积分，即

8、L Green公式计算所给积分，即公式计算所给积分，即 DLdxdyyPxQQdyPdxI)( 假设假设 不是封闭曲线不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种则计算方法一般有两种, 一种是将曲一种是将曲线线L.)( DLLdxdyyPxQQdyPdx再计算再计算 最后将两式相减便得原曲线积分的值最后将两式相减便得原曲线积分的值,即即, LQdyPdx积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 , 使使 L 与与 构成封闭曲线，然后在封闭曲线构成封闭曲线，然后在封闭曲线 上应用上应用GreenL LLL 公式公式, 即即QdyPdxILLL )(六、

9、典型例题六、典型例题【例【例1】计算曲线积分】计算曲线积分 其中其中 为曲线为曲线,)()( 2222 LdyyxdxyxIL|1|1xy )20( x沿沿 增大的方向增大的方向.x分析分析 由于由于 故曲线积分与路径有关故曲线积分与路径有关. 又因为曲线又因为曲线,xQyP L不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这

10、里应首先将积分曲线法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为的方程改写为L,21 ,210 , xxxxy再代入被积函数中计算。再代入被积函数中计算。解：由于解：由于 所以所以,21 ,210 , xxxxy LdyyxdxyxI 2222)()( 2 1 222 1 221 0 2)()2()2(2dxxxdxxxdxx 2 1 2)2(232dxx.34)2(3232213 x分析分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分

11、曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯用斯托克斯Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分计算。公式将曲线积分转化为曲面积分计算。 【例【例2】 计算曲线积分计算曲线积分 , 其中其中 为有向闭折线为有向闭折线 ydzdydxI , 这里的这里的 依次为点依次为点 、 、ABCA)0 , 0 , 1(A)0 , 1 , 0(B).1 , 0 , 0(CCBA,解法解法1：化为定积分计算：化为定积分计算. 由于由于 CABCABL (如图如图)，这里，这里; 0 ,1 , : zxyxxAB; ,1 , 0 :z

12、zzyxBC ;1 , 0 , :xzyxxCA 所以所以 ABydzdydx ; 2)1(1 0 1 dxx从从 变到变到 。10z从从 变到变到 。10 x从从 变到变到 。01x BCydzdydx 1 0 )1()1(dzzzz23)2(1 0 dzz CAydzdydx 111 0 dxxyzo)0 , 0 , 1(A)0 , 1 , 0(B)1 , 0 , 0(C从而从而 ydzdydxI ABBCCAydzdydx )(211232 解法解法2：利用斯托克斯公式计算：利用斯托克斯公式计算. 设设 为平面为平面 上上 所围成部分的上侧，所围成部分的上侧， 1 zyxCABCABL

13、由由Stokes公式，得公式，得为为 在坐标面在坐标面 上的投影区域，那么上的投影区域，那么D; 0, 0, 1 : yxyxDxoy dSyzyxI 11313131 dS31 Ddxdy33121 Ddxdy分析分析 由于由于 , 故曲线积分与路径有关。故曲线积分与路径有关。xQyP 【例【例3】计算曲线积分】计算曲线积分 , 其中其中 LxdyyydxyeI )sin()cos1(为区域为区域 的边界，取逆时针方向。的边界，取逆时针方向。xyxsin0 ,0 L又因又因 为封闭曲线如图）。为封闭曲线如图）。L且且 、 在在 所围区域上满足所围区域上满足格林公式的条件，故本题可格林公式的条

14、件，故本题可采用格林公式方法来计算，采用格林公式方法来计算，即采用框图中线路即采用框图中线路221的方法。的方法。PQLyx0 xysin L.解解: 令令 ， . 那么那么)cos1(yePx )sin(yyeQx ,sin yeyPx ).sin(yyexQx 即即 由由于于.xQyP .0 ,sin0 : xxyD故利用格林公式，得故利用格林公式，得 DdxdyyPxQI)( Dxdxdyye xxydyedxsin 0 0 ).1(51 e 【例【例4】 计算曲线积分计算曲线积分 . 其中其中 为为 LyxdyyxdxyxI 22)()(L圆周圆周 （按逆时针方向绕行）（按逆时针方向绕

15、行）.222ayx 分析分析 由于本题积分曲线由于本题积分曲线 为圆周为圆周 , 故可首先写故可首先写L222ayx 出出 的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算，的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算，即可采用框图中线路即可采用框图中线路223的方法计算；另外，考虑到积的方法计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可采用框图中线路采用框图中线路221的方法计算；此时应注意首先要利的方法计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点

16、，使其满足格林公式的条件。其满足格林公式的条件。L解法解法1：化为定积分计算。：化为定积分计算。的参数方程为：的参数方程为： , 从从 变到变到 . 那么那么L taytaxsincost0 2 LyxdyyxdxyxI 22)()( 2 0 2)sin)(sincos()cos)(sincos(1dttatatatatataa 2)(12 0 22dtaa解法解法2：利用格林公式计算。：利用格林公式计算。 设设 由所围区域为由所围区域为 ,那么那么 ; 于于是是LD222 :ayxD LyxdyyxdxyxI 22)()( Ldyyxdxyxa 2)()(1 Dda)11(12 Dda222

17、22aa .2 分析分析 由例由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径 xysin 的积分，被积函数中含有的积分，被积函数中含有 和和 的项的项,)sin(cos xex)cos(sin xex【例【例5】 计算曲线积分计算曲线积分 , 其中其中 LxdyyydxyeI )sin()cos1(为曲线为曲线 上从点上从点 到点到点 的一段弧的一段弧.xysin )0 ,( A)0 , 0(OL积分的计算将是非常困难的。因而，本题采用补特殊路径，

18、然积分的计算将是非常困难的。因而，本题采用补特殊路径，然后应用后应用Green公式的方法计算本题，即采用框图中线路公式的方法计算本题，即采用框图中线路222计算。计算。线线 不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直L解解: 补直线段补直线段 : , 从从 变到变到 ; 并设曲线并设曲线OAL 0 yx0 LL 所围区域为所围区域为 （如图），则由（如图），则由Green公式，得：公式，得：D LLxdyyydxye )sin()cos1( DdxdyyPxQ)( Dxdxdyye xxydyedxsin 0 0 )1(51 e又又 0

19、)sin()cos1( Lxdyyydxye故故 dyyydxyeIxLLL)sin()cos1()( 0)1(51 e).1(51 e xy0 xysin LL A.【例【例6】设】设 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算L曲线积分曲线积分 . Lyxxdyydx 224分析分析 因因 , , 那那么么224) ,(yxyyxP 224) ,(yxxyxQ xQyP 由于由于 与与 在原点在原点 处不连续处不连续, 因而：因而：) ,(yxP) ,(yxQ)0 , 0(（1若给定的曲线若给定的曲线 所围成的闭区域不包括原点所围成的闭区域不包括原点

20、, 则在则在L)0 , 0(此区域内曲线积分与路径无关；（此区域内曲线积分与路径无关；（2若给定的曲线若给定的曲线 所围成所围成L的闭区域包括原点的闭区域包括原点 , 那么那么 、 在在 所围成的闭区域上不所围成的闭区域上不)0 , 0(PQL满足格林公式积分与路径无关的条件）。此时，我们可取满足格林公式积分与路径无关的条件）。此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线一条特殊的封闭光滑曲线 ,在在 上应用上应用Green公式公式,由此由此1L1LL 将将 上的曲线积分转化为上的曲线积分转化为 上的曲线积分上的曲线积分.1LL解：解： 因因 , , 那那么么224) ,(yxyyxP 224) ,(

21、yxxyxQ ,)4(422222yxyxyP .)4(422222yxyxxQ 故故 . xQyP （1若给定的曲线若给定的曲线 围成的闭区域不包括原点围成的闭区域不包括原点 . 由由L)0 , 0(xQyP 知曲线积分知曲线积分 与路径无关与路径无关, 故故 . Lyxxdyydx 22404 22 Lyxxdyydx（2若给定的曲线若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点所围成的闭区域包括原点 , 则取一条则取一条L)0 , 0(特殊的有向曲线特殊的有向曲线 ( 充分小充分小), 规定规定 的方向为的方向为22214 : yxL0 1L逆时针如下图）。逆时针如下图）。设设 所围成的区域为所围

22、成的区域为 , )(1LL D则在则在 上应用上应用Green 公式，得公式，得)(1LL xyL1L0, 0)(41 22 dxdyyPxQyxxdyydxDLL所以所以 . 而而 1 22 2244LLyxxdyydxyxxdyydx 11 2 2214LLxdyydxyxxdyydx Ddxdy212故故 Lyxxdyydx 224或利用参数方程计算：令或利用参数方程计算：令 : , , 从从 到到 .1L cos x sin2 y 0 2所以所以 1 22 2244LLyxxdyydxyxxdyydx 2 0 2222)cos(sin21d【例【例7】计算曲线积分】计算曲线积分 , 其

23、中其中 LyydyexdxxeI 222)1()1(为为 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.L4)2(22 yx解：记解：记 , . 则由于则由于 ,yxeP21 122 yexQxQxeyPy 22 1 222)1()1(Lyydyexdxxe.12)1(0 4 dxx分析分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看先看 以决定是否用格林公式或其他的方法计算。以决定是否用格林公式或其他的方法计算。,yPxQ 则所给积分与路径无关。现取则所给积分与路径无关。现取 , 从从 变到变到 ;0 :1 yL40 x LyydyexdxxeI 222)1()1(则有则有七、对坐标的曲线积分的物理应用七、对坐标的曲线积分的物理应用 求变力沿曲线所作的功：求变力沿曲线所作的功： . ABABQdyPdxrdFW 【例【例8】设位于点】设位于点 的质点的质点 对质点对质点 的引力大小为的引力大小为)1 , 0(2rkAM（ 为常数为常数, 为质点为质点 对质点对质点 之间的距离之间的距离), 质点质点0 kAMrM22xxy 沿曲线自沿曲线自 运动到运动到 .求在此运动过程求在此运动过程)0 ,