第六讲 离散傅里叶变换及频谱叠混

1、第六讲 离散傅里叶变换与频谱叠混v离散傅里叶变换式及反变换式v频谱叠混原理与采样定理v快速傅里叶变换简介 讲授内容采样信号的表述模拟信号 采样后的信号 是离散序列 的集合，可以用下式来表示 式中， 是采样时间间隔，简称采样间隔1 采样信号的表示( )sx t( )ax t()sx nT( )( )()sasnx tx ttnTsT从连续傅里叶变换到离散傅里叶变换 频率离散实际采样的长度为有限长度N，采样时间为T，并且对f也离散， 简写根据采样定理有2 离散傅里叶变换222( )( )( )()()sjftssjftasnjfnTasnXfx t edtx ttnT edtx nT e,22kN

2、NfkT120120120()()()()ksssNjf nTskasnkNjnTNTasnkNjnNasnXfx nT ex nT ex nT e210( )( )NjnkNnX kx n e先求逆变换3.1 离散傅里叶逆变换1/ 21/ 222211/ 21/ 21/ 22()1/ 21/ 22()1/ 2( )()( )()()1()(2()2 ()(sssssssssssssTTjfrTjfnTjfrTsssasTTnTjf n r TasTnTjf n r TassTnsaXfrTXf edfxnT eedfxnT edfxnT edjf nr Tjnr TxnF F1/ 22()(

3、)()1/ 2)1()2 ()()211sin()() sin()()()()1()sssTjf n r Tjn rjn rsnasnssTasasnnssassT eeexnTjnr Tnr TjnrxnTnrxnTnr TTnrxrTT离散化 简写3.2 离散傅里叶逆变换11/ 221/ 2120120120120120()( )()( )()1()1()1()1()sssksksksssassssTjfrTssTNjf rTsskkNjf rTsskksNjf rTskkkNjrTNTskkkNjrNskkx rTTXfrTTXf edfTXfedfTXfeNTXfeNXfeNXfeNF

4、 F2101( )( )NjrkNkx rX k eN4 采样定理采样定理（柰奎斯特抽样定理）：采样定理（柰奎斯特抽样定理）： 若系统的最大频率为 ，则要求采样频率 必须大于最大频率的两倍即这样采样所得信号才不会产生频谱叠混。 称为奈奎斯特频率，又称作折叠频率，它是按 采样所能识别的最大频率。若采样频率为 ，采样点数为 ，则采样频率分辨率为 maxfsfmax2sff/2sfsfsfN2sffN 频谱叠混证明5 频谱叠混原理离散傅里叶变换表达式（DFT）令有FFT算法就是利用 的特性进行简化计算共轭对称性：周期性：可约性：互换性：6.1 快速傅里叶变换简介210( )( )NjnkNnX kx

5、 n e2jNNWe10( )( )NnkNnX kx n WnkNW()*nknkNNWW()()nknN kkN nNNNWWW/,nkmnknknk mNmNNN mWWWW()()Nn kNk nnkNNNWWW6.2 快速傅里叶变换步骤逐次分割将N个数据点的离散傅里叶变换分割成两个N/2个数据点的离散傅里叶变换，直至分割成单个数据点的离散傅里叶变换逐步合并首先将由单个数据点计算出来的离散傅里叶变换值合并，并依次向上一层进行合并，直至合成N个数据点的离散傅里叶变换值6.3 快速傅里叶变换要点快速傅里叶变换的数据点数为FFT的计算量为 ，而DFT的计算量为FFT可能会造成频谱分辨率的变化 2N2logNN2Nv物理系统的动态特性v线性定常系统7. 预习内容vFFT对数据数量有什么要求，如何满足？v对于数据量为1