第五章 多元函数积分学物理应用

1、第五章一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数积分学的应用 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xo

3、y 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 4例例1. 求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动 目录 上

4、页 下页 返回 结束 Vzyxzzddd例例2. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采用柱坐标, 则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的质心.oxzh若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动

5、惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页

6、 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 rraddsin0302例例3.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:22

7、22azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例4.4.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 222zyxr G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyx

8、FFFF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 aaR1122xyzoR例例5. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(da

9、yx2322)(darrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 Rxyzo例例6. 求半径 R 的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(dd0MazD机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量机动 目录 上

10、页 下页 返回 结束 )(th( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题提示提示:yxzo记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thrrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(