上海交通大学大学物理课件机械振动

1、LC振动有各种不同的形式：振动有各种不同的形式：机械振动机械振动物理系统受到外界扰动时，系统状态在平衡态附物理系统受到外界扰动时，系统状态在平衡态附近往复变化周期运动或称振动。近往复变化周期运动或称振动。物理量（如位移、电流等）物理量（如位移、电流等） 在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 电磁振动电磁振动微观振动微观振动(如晶格点阵如晶格点阵上原子的振动上原子的振动)etc第第 7 章章 机械振动机械振动机械运动机械运动 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动)

2、 )无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动受受迫迫振振动动与与共共振振现现象象阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动振动合成振动合成拍拍 广义振动还包括一切具有周期性的运动现象。广义振动还包括一切具有周期性的运动现象。如：心脏跳动、行星运动如：心脏跳动、行星运动etc. 本章限于讨论机械振动本章限于讨论机械振动 表达式：表达式： x(t)=Acos( t+ ) 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动简谐振动简谐振动“位移位移”可为线量、角量可为线量、角量etc.A 为常量式中式中kxmxFo7.1 简谐振动简谐振动一一. . 弹簧振子的运动弹簧振子的运动取平衡位置为坐标原点m 受力线性恢复力受力线性恢复

3、力F= -kxF= -kxm 受力线性恢复力受力线性恢复力动力学方程：动力学方程：kxtxm22ddmaF kxF 加速度：加速度：xmkamaF 动力学方程：动力学方程：kxtxm22ddkxF 0dd222xtxxAtcos()取2kmxAtcos()A 为积分常数，由初始条件决定初始条件确定初始条件确定 A 和和 ： 22020vxA00tanxvsin cos0000AvvAxxttxAtcos()注意：注意： 由上式和由上式和 共同确定。共同确定。Ax0cos二二. . 振动状态振动状态振子振动状态由振子振动状态由 m 的位置和速度表征的位置和速度表征速度速度txvddxAtcos(

4、)振动方程（振动式）振动方程（振动式）加速度加速度22ddtxa )sin(tA)2cos(tA)cos(2tA)cos(2tA速度速度加速度加速度)2cos(tAv)cos(2tAa位移位移)cos(tAx x(t)=Acos( t+ )简谐振动等幅振动简谐振动等幅振动 三三. 描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 AAx 代表物体位移的最大值。代表物体位移的最大值。x(t)=x(t+T )2. 周期周期T 和频率和频率 v谐振动某状态重复一次（谐振动某状态重复一次（ 全振动全振动）所需要的时间周期）所需要的时间周期T)cos()(cos( tATtA2Tv(t)=v(t

5、+T ) = 1/T (Hz)2Tkm2谐振动的频率谐振动的频率2T由振子性质确定固有周期由振子性质确定固有周期T2mk 而而谐振动的角频率谐振动的角频率2 秒内的振动次数秒内的振动次数)2cos(tTAx)2cos(tAx = 1/T (Hz)2T2Tkm2由振子性质确定固有周期由振子性质确定固有周期谐振动的频率谐振动的频率3. 相位（位相）相位（位相）(1) ( t + + )是是 t 时刻的位相时刻的位相 (2) 是是t =0时刻的位相时刻的位相 初位相初位相因因 决定于谐振子性质，谐振动主要由初位相确定。决定于谐振子性质，谐振动主要由初位相确定。约定：约定：,(xmooA-AtxA =

6、 0 x0 = AToxoA-Atxm = /2x0 = 0ToA-Atxxmo-A = x0 = -ATmoxoA-Atx = - /2x0 = 0 T(或或3 /2)四四. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法2. 曲线法曲线法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T由由 x=Acos( t+ )已知表达式已知表达式 A、T、 已知已知 A、T、 表达式表达式 已知曲线已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线曲线3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法 t+ xxt = tt = 0 x = A cos( t + ) AA.o矢量长度矢量长度 = A；以以 为角速度绕为角速

7、度绕o点逆时针旋转；点逆时针旋转；t = 0时矢量与时矢量与x轴的夹角为轴的夹角为 矢量端点在矢量端点在x轴上的投影为轴上的投影为SHM(simple harmonic motion) 。五五. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1初位相差初位相差)cos(1111tAx)cos(2222tAxx2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相(i)(i)当当 2 - 1 = 0 , (ii) 当当 2 - 1 = , 对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动两振动步调相同两振动步调相同,

8、 ,称同相称同相两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。(iii)若若 2- 10, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大,x2x-A1- A2x1oA1A2Ttv比比x领先领先 /2)2cos()(tAtvvoTtx、 v、ax 2A v 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A va)cos(dd222tAtxa也是简谐振动也是简谐振动 速度速度 加速度加速度 也是简谐振动也是简谐振动(1) 动能动能2k21mvE )(sin2122tkA六六. .简谐振动的能量简谐振动的能

9、量0,21mink,2maxk,EkAE(2) 势能势能2p21kxE )(cos2122tkA0,21minp,2maxp,EkAE(3) 机械能机械能pkEEE简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒!const.221kA图7-12 图7-13例例7-1已知已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s时时x =-2cm且向且向x正向运动，正向运动， 写出振动表达式。写出振动表达式。 t = 0A 3 x = 4cos( t + ) cm解：由题意，解：由题意，T = 2 s由图，由图， = /3xt = 1s时矢量位置时矢量位置A1t=1s 时的振动矢量如图所示。时的

10、振动矢量如图所示。t=0s 时的振动矢量方向应为时的振动矢量方向应为 A1 矢量前矢量前1s时的旋转矢量。时的旋转矢量。 （即半个周期前）（即半个周期前）与与 A1 矢量夹角为矢量夹角为 ，如图。，如图。2/)365cos(6tx例例7-2 由由x-t曲线求振动方程。曲线求振动方程。136tox(cm)解：设解：设x=Acos( t+ )cos(60 cos6310ttxx0sin0Av32)3(2650)cos( , 2/1cos0)sin(1Av0)sin(,.)2 , 1 , 0( 22/kk例例7-3如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。AmAmy

11、yO解：解：设：比重计截面设：比重计截面S 质量质量m 液体比重液体比重 不考虑粘滞力不考虑粘滞力mggySVF)(0gySmggV)(0gySgyStym22dd0dd22ymgStymgS0cost例例7-4质量为质量为m的刚体可绕固定水平轴的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心摆动。设刚体重心C到轴到轴o的距离为的距离为b，刚体对轴，刚体对轴o的转动惯量为的转动惯量为J。试证刚体。试证刚体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率(这样的摆称作复摆这样的摆称作复摆)。oC bmg可见：可见：(1)此此刚体的自由摆动是简谐振动；刚体的自由摆动是简谐

12、振动； mgbJ = ( )1/2解：力对轴解：力对轴o的力矩的力矩 M = - mgb sin由由M = J小角度时小角度时 sin 0dd22Jmgbt22ddsintJmgb(2)角频率角频率 或从机械能守恒：或从机械能守恒：)cos1 ()dd(21c2mgrtJE解为：解为：)cos(0txorcc0sinddddddc22tmgrttJ0ddc22Jmgrt两边对时间两边对时间 t 求一阶导数：求一阶导数：例题例题7-5 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点当质点1在在 x1=A/2 处，处，且向左运动时，另一个质点且向左运

13、动时，另一个质点2在在 x2= - -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t31t解：解：A- -AoA/ /2- -A/ /2x/3322t)cos(22tAA322t)()(21tt)32(3x332例题例题7-6 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为mkkkk212121 证：证：2211xkxkf设物体位移设物体位移x，弹簧，弹簧 分别伸长分别伸长x1和和x221xxxxkkkx2112 xk1k2o x22ddtxmf 22212122ddtxmxkkk

14、kxkxkkkx2112mkkkk)(21210dd212122xmkkkktxmkkkk212121 xk1k2o x2kp21kAEEEEAkkxE412212122p例题例题7-7当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？势能各占总能量的一半？解：解：EEEE43pk当当 时：时：2/Ax 220212121kAkxAAx707. 0210END一一. 阻尼振动阻尼振动7.2 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动阻尼：消耗振动系统能量的原

15、因。阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：阻尼种类： 摩擦阻尼摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼 电磁阻尼电磁阻尼对在流体对在流体(液体、气体液体、气体)中运动的物体，中运动的物体，当物体速度较小时，阻力当物体速度较小时，阻力 速度。速度。dxdt f阻阻 = - = - ：阻力系数：阻力系数txkxtxmdddd220dd2dd2022xtxtx设设mmk20 , 阻尼系数阻尼系数v在阻尼作用较小在阻尼作用较小( T0(固有周期固有周期)准周期运动弱阻尼准周期运动弱阻尼xto A0e - tv过阻尼、过阻尼、和临界阻尼和临界阻尼xto过阻尼（过阻尼（ 0）弱阻尼弱阻尼 （ 0）临界阻尼（临界阻尼（

16、 = 0）准周期运动弱阻尼准周期运动弱阻尼过阻尼、和临界阻尼过阻尼、和临界阻尼准周期运动弱阻尼准周期运动弱阻尼二二. 受迫振动受迫振动系统受力：系统受力： 弹性力弹性力 -kx 振动方程：振动方程：阻尼力阻尼力 txdd周期性策动力周期性策动力 f =F0cos tftxkxtxmdddd22 在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动thxtxtxcosdd2dd2022其中其中mFhmmk00,2, 稳态解稳态解 x=Acos( t+ )特点特点稳态时的受迫振动按稳态时的受迫振动按简谐振动简谐振动的规律变化的规律变化(1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅:

17、2/12222204)( hA(3)初相初相:2202tg 故事：从前故事：从前, ,有一座山，山里有座庙，有一座山，山里有座庙，(庙里的铜磬不敲自响的故事庙里的铜磬不敲自响的故事)。共振共振在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值,出现剧烈振动的现象。出现剧烈振动的现象。(1)共振频率共振频率 :220r2(2)共振振幅共振振幅 :220r2hA若若 0 则则 r 0 Ar h/(2 0 ) 称尖锐共振。称尖锐共振。1. 位移共振位移共振0ddA2/12222204)( hA 2.速度共振速度共振速度共振时，速度速度共振时，速度与策动力同相，一与策动力同相，一周期内策动力总

18、作周期内策动力总作正功，此时向系统正功，此时向系统输入的输入的能量最大。能量最大。 2/ 122220m4) 1/(hv r= 0 Vm, r=h/2 v r=0速度振幅速度振幅 AEND7.3 简谐振动的合成简谐振动的合成当质点同时受到多个弹性力时，可以认为质点的运动当质点同时受到多个弹性力时，可以认为质点的运动是几个运动的叠加是几个运动的叠加位移满足矢量叠加位移满足矢量叠加振动叠加原理振动叠加原理主要讨论两种叠加形式：主要讨论两种叠加形式：（1）平行简谐振动叠加）平行简谐振动叠加同频率同频率不同频率不同频率（2）垂直简谐振动叠加）垂直简谐振动叠加同频率同频率不同频率不同频率0dd12212

19、xtx一一. 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1) 2.合振动合振动 :合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 x =A cos( t+ )x2=A2cos( t+ 2)0dd22222xtx0dd2122212xxtxx设设 x = x1+ x2)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA x =A cos( t+ )AA1A2 y x o 1 2 AxAyAx = A1cos 1 + A2cos 2由图知：由图知： Ay = A1sin 1 + A2si

20、n 2A2 = Ax2 + Ay2由：由：tg =AyAx3.两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 2 1=0（ 2k ，k=0,1,2,） (2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= （ (2k+1) ， k=0,1,2,）如如 A1=A2 , 则则 A=0则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱如如 A1=A2 , 则则 A=2A1)cos(212212221 AAAAA 2. 合振动合振动ttA)2cos()2cos(21212但当但当 2 1时，时， 2- 1 2+ 1x = x1+ x

21、2ttAxcos)( 二二. 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成1. 分振动分振动 x1=Acos 1 t x2=Acos 2 t其其中中tAtA)2cos(2)(12 )2cos(cos12tt 随随缓变缓变随随快变快变合振动可看作振幅缓变的合振动可看作振幅缓变的“简谐振动简谐振动”合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动。xtx2tx1ttAtA)cos()(2212 3. 拍拍拍频拍频 : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数.合振动的强弱合振动的强弱A2(t)随随 t 变化的现象拍变化的现象拍(beat) ttAx)cos()cos(2221212 设拍周期为设拍周期为TbtATtA2cos2)(2cos212b122b12T12b2T2/ 112bT12 实例：实例：双簧口琴、双簧管双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴、钢琴(piano)调音调音(钢琴与标准音叉声钢琴与标准音叉声波形