2.1-常数项级数的概念和性质ppt课件

1、q11.1-常数项级数的概念和性质1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus q级数的概念2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无限增大时无限增大时, ,如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s, , 即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛, ,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和. .并并写成写成 3

2、21uuus如如果果ns没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. .即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim( nnr例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数( (几几何何级级数数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的的收收敛敛性性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收

3、敛 发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散 综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn重要结论重要结论例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛性质性质 1 1 如果级数如果级

4、数 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnku亦收敛亦收敛. .性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus, , 1nnv, ,则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛, ,其和为其和为 s. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .q三、基本性质性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss k

5、nknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意加括号以后收敛不意味着原级数收敛加括号以后收敛不意味着原级数收敛 )11()11(例例如如 1111推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级数也发散数也发散. . 收敛

6、 发散q四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例例如如调调和和级级数数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,

7、s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级级数数发发散散)(210 n便便有有.这是不可能的这是不可能的重要结论重要结论:调和级数发散调和级数发散111123n q五、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2.2.当当0lim nnu, ,则级数发散则级数发散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法一一、 填填空空题题: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

8、_；2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 若若级级数数为为 642422xxxx则则 na_ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 若若级级数数为为 97535432aaaa则则 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、 若若级级数数为为 615413211 则则当当 n_ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _；当当 n_ _ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 等等比比级级数数 0nnaq, ,当当_ _ _ _

9、_ _时时收收敛敛；当当_ _ _ _ _时时发发散散 . .练习题练习题三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. .四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ；