信号与系统PPT-cp2-连续时间系统的时域分析

1、系统系统建立系统微分方程建立系统微分方程求传输算子求传输算子求特征根求特征根求零输入响应求零输入响应求冲激响应求冲激响应求零状态响应求零状态响应求全响应求全响应( )H p)(tyzi)()()(thtxtyzs)()()(tytytyzszi系统的数学模型系统的数学模型- -微分方程与传输算子微分方程与传输算子系统微分方程的经典解系统微分方程的经典解系统零输入响应的求解系统零输入响应的求解系统冲激响应和阶跃响应系统冲激响应和阶跃响应系统零状态响应系统零状态响应卷积积分卷积积分 卷积运算的性质卷积运算的性质 对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种

2、不同的数学表现形式。其数学模型有两类：表现形式。其数学模型有两类：高阶微分方程高阶微分方程 -也为输入也为输入/ /输出方程输出方程状状 态态 方方 程程 -适合于多输入多输出系统分析（一阶微分方程组适合于多输入多输出系统分析（一阶微分方程组）2.1.1 LTI2.1.1 LTI的数学模型的数学模型着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；单输入单输入/ /单输出系统；单输出系统；列写一元列写一元 n n 阶微分方程。阶微分方程。输入输入输出描述法：输出描述法：状态变量分析法：状态变量分析法：不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，

3、如电容电压不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压 或或电感电流电感电流 的变化情况。的变化情况。研究多输入研究多输入/ /多输出系统；多输出系统；列写多个一阶微分方程。列写多个一阶微分方程。 tvC tiL)()()()(22tutudttduRCdttudLCsccc若选若选)(),(tut ic作为输出，则系统的状态方程为：作为输出，则系统的状态方程为：( )1( )( )+( )+( )=( )ccsduti tdtcdi tLutRi tutdt一阶微分方程组一阶微分方程组R)(tusL)(tiC +e(t) -线性高阶微分方程线性高阶微分方程ttxdxpdp1)(1)

4、()(12tutuRCpLCpsc2.1.2 2.1.2 用算子符号表示微分方程用算子符号表示微分方程1 1）微分算子）微分算子1.1.算子算子 1 1）微分算子）微分算子 2 2）积分算子）积分算子2 2）积分算子）积分算子)()()()(22tutudttduRCdttudLCscccxdtdxpdtdpxdtdpxdtdpnnnnnn=注意：这里的P只只是代表微分运算的一个算子（1/P 是是代表积分运算），P 并不是变量。fbdtdfbdtfdbdtfdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn1111011110.fbpfbfpbfpbyapyaypaypammmmn

5、nnn11101110. nnnnapapapapD1110 mmmmbpbpbpbpN1110 tfpNtypD pD pN称称为算子多项式为算子多项式、n n阶线性微分方阶线性微分方程的算子方程程的算子方程xppxpp )2)(1()23(22.1.3 2.1.3 算子运算规则算子运算规则1 1）算子可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开）算子可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开2 2）算子方程左右两边的算子符号）算子方程左右两边的算子符号p p不能随便消去不能随便消去3 3）算子）算子p p、 1/p 1/p 不能互换位置不能互换位置 p px x x xp pp p ) )(

6、 (1 1可相消可相消时，时，乘乘后后除除先先： x xx x t tx xp pp p t t dd dd d1 1证：证： p p x xt tx xpxpxp p 不可相消）不可相消）时，时，除除后后乘乘（先（先：) )( () )( (1 1 xxpDpDpDy pDxpD )(1)()(,)()(不能相消；但，算子方程；再将算子方程转换为微分方程。算子方程；再将算子方程转换为微分方程。得到算子电路；然后利用广义的电路定律，建立系统的得到算子电路；然后利用广义的电路定律，建立系统的它是将电路中所有动态元件用算子符号表示它是将电路中所有动态元件用算子符号表示-算子电路算子电路 tLpit

7、idtdLtvLLLLp广义广义欧姆欧姆定律定律是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗值是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗值电感的算子电感的算子 tiCpdiCtvCCtC11Cp1是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗值是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗值电容的算子电容的算子算算子子法法2.1.4 2.1.4 用算子电路建立系统的数学模型用算子电路建立系统的数学模型 ti，用算子法列出的算子方程与微分方程。，用算子法列出的算子方程与微分方程。输出为电流输出为电流RLC te串联电路，输入为串联电路，输入为例例: :如图所示如图所示+ +- -5H1F6/ 1 ti te+ +

8、- -5H1RpCp/6/1 ti tepLp tLpitidtdLtvLLL tiCpdiCtvCCtC11 tetipp65电路如图所示电路如图所示解解+ +- -5H1RpCp/6/1 ti tepLp利用广义的利用广义的KVL,KVL,列出列出算子方程式算子方程式 tpetipp652 tedtdtitidtdtidtd6522两边同时作微分运算（两边同时作微分运算（ “ “前乘前乘p”），得算子方程），得算子方程由上面的算子方程写出微分方程为由上面的算子方程写出微分方程为 tf ti2解解 将图中的电感用算子符号表示，得到算子电路，利用广义网孔法将图中的电感用算子符号表示，得到算子电

9、路，利用广义网孔法试用算子法求其算子方程与微分方程。试用算子法求其算子方程与微分方程。为激励信号，响应为为激励信号，响应为例例: :如图所示电路，如图所示电路， 03132121tiptpitftpitiptf1 ti1 ty2p2p ti21+ +- -H2H1 2/35213102313013222pptpfpptpfppppptfpti 2253/ 20.5ppitpe t tfdtdtytydtddttyd5 . 05 . 1522 tftytyty 5 . 05 . 15利用克莱默法则，解出利用克莱默法则，解出也可以写成也可以写成可写成可写成微分方程为微分方程为 ti1 ti2 te

10、HL11HL22 21R12RFC1例例: :如图所示电路输入为如图所示电路输入为，输出为，输出为、用算子法求其算子方程与微分方程。已知用算子法求其算子方程与微分方程。已知 te1L2L1R2RC+ +- - ti1 ti2利用广义网孔法利用广义网孔法, ,列算子方程组列算子方程组 011211212121tipptiptetiptippp/1ppp21p/1+ +- - ti1 ti22 te为避免在运算过程中出现为避免在运算过程中出现因子，可先在上面的因子，可先在上面的”方程组两边同时作微分运算即方程组两边同时作微分运算即“前乘前乘 01212221212tipptitpetitipp 3

11、552) 12(12111212012322221ppppteppppppppptpeti teppppp355212232 tepptippp1235522123上式还可写为上式还可写为利用克莱默法则，解出利用克莱默法则，解出 tetedtdtedtdtitidtdtidtdtidtd221112213323552 11355212111201122342222pppptpepppptpeppti 355223pppptpe 355223pppte tetippp2233552 tetitidtdtidtdtidtd222222333552微分方程为微分方程为2.1.5 2.1.5 传输（转

12、移）算子传输（转移）算子 H pN pD p tfpHty系统的输出可以表示系统的输出可以表示 tfpDpNty传输（转移）算子传输（转移）算子注意注意 tfpH pH tf而绝不是而绝不是与与相乘！相乘！，仅是系统运算关系的另一种表示形式，仅是系统运算关系的另一种表示形式1111011011.=.nnmmnnmmnnmmd ydydydfdfdfaaaa y bbbb fdtdtdtdtdtdt11110110.=.nnmmnnmma p yapya pya y b p fbpfb pfb f 1110nnnnD pa papa pa 1110mmmmN pb pbpb pb tfpNtyp

13、D 11101110mmmmnnnnN pb pbpb pbH pD pa papa pa传输算子传输算子: : 系统运算既满足线性关系又满足其参数不随时间而变系统运算既满足线性关系又满足其参数不随时间而变化的系统是线性时不变系统，简写为化的系统是线性时不变系统，简写为LTILTI系统。系统。 对对LTILTI系统的分析的重要意义系统的分析的重要意义1. LTI1. LTI系统在实际工程应用中相当普遍，有些非系统在实际工程应用中相当普遍，有些非LTILTI系统在系统在一定条件下可以近似为一定条件下可以近似为LTILTI系统；系统；2. LTI2. LTI系统的分析方法现在已经形成了一套较为完整

14、、严密系统的分析方法现在已经形成了一套较为完整、严密的理论体系。的理论体系。3. 3. 非线性系统的分析到目前为止还没有统一、通用严格的非线性系统的分析到目前为止还没有统一、通用严格的分析方法，只能对具体问题进行具体讨论。分析方法，只能对具体问题进行具体讨论。 连续时间系统分析的一个基本任务：连续时间系统分析的一个基本任务： 是求解系统对任意激励信号的响应是求解系统对任意激励信号的响应基本思路基本思路 是将信号分解为多个基本信号源是将信号分解为多个基本信号源时域分析时域分析将脉冲信号作为基本信号源，信号可以用冲激或阶跃函数表示将脉冲信号作为基本信号源，信号可以用冲激或阶跃函数表示频域分析频域分

15、析是将正弦或复指数函数作为基本信号源，信号可以用不同频率是将正弦或复指数函数作为基本信号源，信号可以用不同频率的正弦或复指数函数表示。的正弦或复指数函数表示。 这两种分析方法基本思路相同，都是利用这两种分析方法基本思路相同，都是利用LTILTI系统具有的叠加、齐系统具有的叠加、齐次和时不变特性，先求基本信号的响应，然后叠加。次和时不变特性，先求基本信号的响应，然后叠加。LTILTI系统的响应系统的响应= = 初始储能的零输入响应初始储能的零输入响应 + + 激励作用的零状态响应激励作用的零状态响应微分方程的完全解应为微分方程的齐次解与特解之和微分方程的完全解应为微分方程的齐次解与特解之和)()

16、()(tytytyph1 1齐次解齐次解 齐次解就是齐次微分方程的解齐次解就是齐次微分方程的解 0)()()()(0) 1 (111)(tyatyatyatyhhnhnnh00111apapapnnn（1 1）当特征方程存在）当特征方程存在n n个不同的单根时（单根中包括实根个不同的单根时（单根中包括实根也包含共轭复根），其解为也包含共轭复根），其解为 nitpihieCty1)(iC为待定常数，由系统初始条件确定为待定常数，由系统初始条件确定（2 2）当特征方程存在）当特征方程存在r r个重根，个重根，n-rn-r个单根个单根nrjtpjritpirihjieCetCty11)( 2 2特解

17、特解 见见P28P28表表2-12-1不同激励信号所对应的特解形式不同激励信号所对应的特解形式 表示特解的待定常数与齐次解中的待定常数的确定过程是表示特解的待定常数与齐次解中的待定常数的确定过程是不同的。特解中的待定常数应由系统方程的自身来确定。不同的。特解中的待定常数应由系统方程的自身来确定。 例：已知系统微分方程为例：已知系统微分方程为 txtxtytyty223 激励信号激励信号 2ttx且且 1020y，y，求其特解及完全解。，求其特解及完全解。 解：查表解：查表2-12-1，微分方程特解为，微分方程特解为 0122CtCtCtyp 122CtCtyp 22Ctyp 代入原方程中代入原

18、方程中 222tttyp对应的齐次微分方程为对应的齐次微分方程为 32=0hhhytytyt2121pp ttheCeCty221 222221tteCeCtytytyttph给定的初始条件给定的初始条件 代入，得代入，得3321CC， 223322tteetytt特征方程为特征方程为2320pp 1020y，y 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 223322tteetytt自由响应自由响应强迫响应强迫响应3 3、关于、关于 0- 0- 和和 0+ 0+ 初始值初始值 n 0 0 状态称

19、为零输入时的初始状态。状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生即初始值是由系统的储能产生的；的；n 0 0 状态称为加入输入后的初始状态。状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。还受激励的影响。 从从 0 0 状态到状态到 0 0 状态的跃变状态的跃变n 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 0 状态到状态到 0 0 状状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 ( (t)t)及其各阶导数及其各阶导数。n 如果包含有如果包含有

20、 ( (t)t)及其各阶导数，说明相应的及其各阶导数，说明相应的0 0状态到状态到0 0状态发生了跳状态发生了跳变变。0 0 状态的确定状态的确定n 已知已知 0 0 状态求状态求 0 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。状态的值，可用冲激函数匹配法。n 求求 0 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。各种响应用初始值确定积分常数各种响应用初始值确定积分常数n在经典法求全响应的积分常数时，用的是在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 0 状态初始值。状态初始值。n在求系统零输入响应时，用的是在求系统零输入响应时，用的是 0 0 状态初始

21、值。状态初始值。n在求系统零状态响应时，用的是在求系统零状态响应时，用的是 0 0 状态初始值，这时的零状状态初始值，这时的零状态是指态是指 0 0 状态为零。状态为零。4 4、冲激函数匹配法、冲激函数匹配法 目的：目的： 用来求解初始值，求（用来求解初始值，求（0 0）和（）和（0 0）时刻值）时刻值 的关系。的关系。 应用条件：应用条件：如果微分方程右边包含如果微分方程右边包含（t t）及其各阶导）及其各阶导 数，那么（数，那么（0 0）时刻的值不一定等于（）时刻的值不一定等于（0 0） 时刻的值。时刻的值。 原理：原理： 利用利用t t0 0时刻方程两边的时刻方程两边的（t t）及各阶导

22、数）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（应该平衡的原理来求解（0 0）)(.)()()(.)()()1(210)(10tbtbtbbtyatyatyammnnmn，则设0)(.)()(.)(.)()()(.)()()1()(12)2()1(01)1()(tytyCtyCtCtCtyCtCtCtymnmmnmmnmmnmn，则设1)1(12)2()1(01)1()(.)()(.)(.)()()(.)()(nnmmmmnmmnCtCtyCtCtCtyCtCtCty将y(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0.Cm ;对y(t)及各阶导数求（0，0）的积分. 例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3

23、y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)，已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y(0+)。解： 将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得方程两边要匹配，所以( )( )y tatb代入原方程得 a=2，b=0( )( )0y tay t( )+3 ( )+2 ( )2 ( )6 ( )y ty ty ttu t 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。20)0()0(22)0()0(yyyy0)0()0(2)0()0(yyyy从0-到0+

24、积分得：0)(2)(0)(2)( tytytty得：( )+3 ( )+2 ( )2 ( )6 ( )y ty ty ttu t系统的响应可以分为零输入响应和零状态响应之和。系统的响应可以分为零输入响应和零状态响应之和。( )( )( )zizsy tytyt零输入响应零输入响应是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响应。是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响应。它与激励无关，其数学模型是它与激励无关，其数学模型是齐次微分方程齐次微分方程。零状态响应零状态响应是不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励是不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。信号所产生的响应

25、。 1110100,00,0nnnnzizizizipapa pay tyyyyn 阶齐次微分方程的算子形式为阶齐次微分方程的算子形式为由特征方程 0111apapappDnnn021npppppp tpinitpntptpineCeCeCeCty121210tnCCC,2110,00nziziziyyy,.,n个系数个系数由初始条件由初始条件确定。确定。1 1、零输入响应、零输入响应n 求 的基本步骤 求系统的特征根，写出 的通解表达式。 将确定出的积分常数C1，C2， ，Cn代入通解表达式，即得 。 由于激励为零，所以零输入的初始值： 确定积分常数C1，C2， ，Cn( )( )(0 )(

26、0 )iiziziyy ( )ziyt( )ziyt( )ziyt（1） 0pD的根为的根为n n个单根个单根 tpntptpzineAeAeAty2121（2） 0pD的根为的根为n n重根重根 112ptptnptzinytAeA teA te+-12-112211111-11220=00000zizinzizinnnnnnnzizinnyyCCCyypCp Cp CyypCpCpC11-212-111112-111000zinzinnnnnnziCyCpppyCpppy（3）系数 432ppppH 10 ziy 20 ziy例：已知系统的传输算子例：已知系统的传输算子，初始条件，初始条件

27、，试求系统的零输入响应。，试求系统的零输入响应。解：解：3142特征根特征根 ttzieCeCty42310t零输入响应形式为零输入响应形式为 432ppppH21214321CCCC5621CC ttzieety43560t解出解出代入特征根及初始条件代入特征根及初始条件0tS在 i200 sAi/102 ti2 01112121ipiteiip 0112121ippiteiip pHtite的2解：先求：解：先求：开关开关时闭合，初始条件时闭合，初始条件例：例： 已知电路如图所示，已知电路如图所示，。求。求零输入响应零输入响应1H1 ti1 ti2te+ +- -F1 11110122pp

28、tpepppptepi 12ppppH jpjppppD2321232112 tjtjzieCeCti23212232112 123212321000212212CjCjiCCijCjC313121代入初始条件，解出代入初始条件，解出 tjtjzieCeCti23212232112jeeejtjtt223232132tet2332sin210t2 2、零状态响应、零状态响应（1 1）即求解对应非齐次微分方程的解）即求解对应非齐次微分方程的解（2 2）求解基本步骤）求解基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式求系统的特征根，写出的通解表达式 。 根据根据 的形式，确定特解形式，代入方程解得特解

29、的形式，确定特解形式，代入方程解得特解 求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数，确定积分常数C1C1，C2C2， ，CnCn 将确定出的积分常数将确定出的积分常数C1C1，C2C2， ，CnCn代入全解表达式，即代入全解表达式，即得。得。( )(0 )izsy( )zshyt( )f t( )zspyt例：描述某系统的微分方程为例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t),2

30、f(t) + 6f(t),已知已知y(0-)=2y(0-)=2，y(0-)=0y(0-)=0，f(t)=u(t)f(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。解：解：（ 利用系数匹配法分析列式得：利用系数匹配法分析列式得： 代入原方程得代入原方程得a=2a=2，b=0 b=0 20)0()0(22)0()0(yyyy( )( )y tatb( )( )0y tay t( )+3 ( )+2 ( )2 ( )6 ( )y ty ty ttu t根据微分方程经典求法：根据微分方程经典求法：齐次解：齐次解：齐次解形式为：齐次解形式为：特解特解

31、, ,根据特解形式得到根据特解形式得到: :解得解得 B B3 3解得解得全响应全响应为：为：2320ttheCeCty221)(Btyp)(3)(221tteCeCty利用初始值解得：全响应为： 0121CC3)(2 tety暂态分量稳态分量1212(0 )-22(0 )32yCCyCC （2 2）零输入响应零输入响应 , , 激励为激励为0 0 ，根据特征根求得通解为：根据特征根求得通解为：212( )ttziytC eC e4221CC 代入初始值解得系数为代入初始值解得系数为 代入通解得代入通解得2( )24,0ttziyteet (0 )(0 )(0 )0(0 )(0 )(0 )2z

32、iziziziyyyyyy ( )ziyt（3 3）零状态响应零状态响应满足满足 利用系数匹配法解得：利用系数匹配法解得：(0 )(0 )22(0 )(0 )00zszszszsyyyy ( )zsyt( )+3( )+2( )2 ( )6 ( )zszszsytytyttu t(0 )=(0 )0zszsyy 对对t0t0时，有时，有 其齐次解为其齐次解为 其特解为常数其特解为常数 3 3 ，于是有于是有根据初始值求得根据初始值求得: :1214zszsCC 212( )ttzshzszsytC eCe212( )3ttzszszsytC eCe2( )430ttzsyteet，( )+3(

33、 )+2( )6zszszsytytyt (0 )2(0 )0zszsyy 自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+ +稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)(Transient+Steady-state)3 3系统响应划分系统响应划分相互关系相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响应的一部分和强迫响

34、应构成应的一部分和强迫响应构成 。222( )3( )( )( 24)(43)0tttttzizsy teytyteeeet ，自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应2.4.1 2.4.1 系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应h(t)的求解的求解 pDpNapapapbpbpbpbpHnnnmmmm01110111n阶线性系统的传输算子为阶线性系统的传输算子为 th t pH pD tpppppppNthn21设分母多项式设分母多项式均为单根均为单根单位冲激响应单位冲激响应h(t)为单位冲激激励为单位冲激激励 在零状态系统中产生的响应在零状态系统中产生的响应

35、t tppkppkppkthnn2211 tppktppktppknn2211 thtppkiniiini1121 kk由待定系数法确定由待定系数法确定nn阶系统可以分解为阶系统可以分解为个一阶子系统之和个一阶子系统之和 tkthppiii tkthpdttdhiiii将其展开为部分分式之和将其展开为部分分式之和tpie tpitpiiitpiiietkethpdttdhe tpiieth tkthedtdiitpi的全微分的全微分求解上式，先在等式两边同时乘以求解上式，先在等式两边同时乘以 dkdhetiipti00 tukheitipi0 tukhtheiiitpi0两边积分两边积分数学变

36、换数学变换 tkthpdttdhiiii txttx)0()( 00ih tuekthtpiii的一般项为的一般项为，我们解出一阶子系统冲激响应，我们解出一阶子系统冲激响应由于因果系统的由于因果系统的n tuekekekththtpntptpinin21211 tueknitpii1阶系统的单位冲激响应为阶系统的单位冲激响应为则则单位冲激响应单位冲激响应 的形式与系统零输入响应的形式与系统零输入响应 （齐次解（齐次解 ）的形式相同，的形式相同，不同之处其系数的求法不同，齐次解的系数由不同之处其系数的求法不同，齐次解的系数由系统初始值确定，而单位冲激响应的系数由部分分式系数确定系统初始值确定，而

37、单位冲激响应的系数由部分分式系数确定 th)(tyzi)(tyh tukhtheiiitpi0例例 求系统单位冲激响应求系统单位冲激响应 332232ppppppH h t解解 系统的传输函数为系统的传输函数为可得可得 tueethtt2323 527101077102pppppppH th ti tuC tititiCL utpputi tCC701 . utppi tC1701. utpppi tC1077102解：解： 由广义由广义KCLKCL列算子节点方程列算子节点方程，输出为电容电压，输出为电容电压例：例： 如图所示电路，输入为电流源如图所示电路，输入为电流源试求系统的冲激响应试求系

38、统的冲激响应 。 ti tuC7H1 tiC tiLF1 . 0+ +- - teethtt53202350 thi pHi H pipkkpkkp122 h ti ke u tt tk tk k te u tt12对应的对应的表表2-22-2mn pNpNbpHm0 niteKtbthnitpimi，211mn th中除了包含指数项中除了包含指数项 teKnitpii1和冲激函数和冲激函数 t外，还将包含有直到外，还将包含有直到 tnm的冲激函数的各阶导数。的冲激函数的各阶导数。 tppppth235422 th 23312354222ppppppppH21121pp )(211221121

39、tptpttppth tueettt22例例: : 已知已知，求解解: : 故故 )(235553223tpppppth求求 th例：例： 233432355532223ppppppppppH211243ppp故故 tpppth211243 tueetttptpttptt2243211243解：解：例：描述某系统的微分方程为例：描述某系统的微分方程为求其冲激响应求其冲激响应h(t)h(t)。解：解：根据根据h(t)h(t)的定义有的定义有 先求先求h(0+)h(0+)和和h(0+)h(0+)，根据冲激函数匹配法得：，根据冲激函数匹配法得： 带入方程求得：带入方程求得：a =1 a =1 ，b

40、= - 3b = - 3，c = 12c = 12，d=-42d=-42( )+5 ( )+6 ( )( )2( )3 ( )y ty ty tftf tf t( )+5h ( )+6h( )( )2( )3 ( )(0 )h(0 )0h tttttth ( )( )( )( )d( )( )( )( )( )h tatbtcth tatbtch tatb所以所以 对对t0t0时，有时，有 微分方程的特征根为微分方程的特征根为故系统的冲激响应为故系统的冲激响应为3221)()()(3221tueCeCthtth(0+)-3(0+)=12h( )+5h ( )+6h( )0h ttt 代入初始条

41、件代入初始条件求得求得C1=3C1=3，C2= 6, C2= 6, 所以所以结合式结合式 ， 得得: :)()63()()(32tueetthtt)()63()(32tueethtth(0+)-3(0+)=12h，( )( )h ttb2.4.2 2.4.2 系统的阶跃响应的求解系统的阶跃响应的求解可采用两种方法求解阶跃响应。可采用两种方法求解阶跃响应。1 1已知简单的一阶电路系统，利用三要素公式求解已知简单的一阶电路系统，利用三要素公式求解 tg2 2依据冲激信号与阶跃信号的关系求解依据冲激信号与阶跃信号的关系求解 当已知冲激响应时，可对此积分得阶跃响应，即当已知冲激响应时，可对此积分得阶跃

42、响应，即 dhtgt0系统在系统在单位阶跃信号单位阶跃信号作用下的作用下的零状态响应零状态响应，称为单位阶跃，称为单位阶跃响应，简称响应，简称阶跃响应，阶跃响应，一般用一般用g(t)g(t)表示。表示。 -tg thd或或 的的KCLKCL方程为方程为 tu th tga tutftup2110120110121201 tpftup10151 tfpptu521 tfp512521 tpth512521 Vtuett52521 Vtuedhtgtt5021例：求图所示电路关于例：求图所示电路关于的单位冲激响应的单位冲激响应与单位阶跃响应与单位阶跃响应解：解： 节点节点即：即： 故得故得 故得故

43、得 系统的零状态响应的求解系统的零状态响应的求解 tf tht当已知当已知 、时，系统的零状态响应可用卷积计算。时，系统的零状态响应可用卷积计算。卷积计算时，积分变量为卷积计算时，积分变量为，仅是参变量，作为常数处理。仅是参变量，作为常数处理。 tht tht thftf -ftdfh td 系统的零状态响应系统的零状态响应 -( )f tfh td又由于此式是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。又由于此式是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同, ,称之为称之为时域法；时域法；卷积积分卷积积分定义：定义：已

44、知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数 和和 ，则定义卷积积分为，则定义卷积积分为 21)()(dtfftf 1ft 2ft tftftf21)(记为记为 ： i t tftiRpL RpLtfti H pp11 tuetht tdthfti0 ttdtueu0解解 tutf例：例： 如图所示电路，已知激励如图所示电路，已知激励，求，求1 ti+ +- -H1 tf tf th、代入卷积公式代入卷积公式将将 dtuuett0dett00ttee tueett1 tuet 1 ftft 函数、图形不变，仅函数、图形不变，仅(1)(1)图解法具体步骤图解法具体步骤卷积的图解

45、法卷积的图解法 h th t h thh右移左移00tth t fh t f相乘后其非零值区的积分（面积）。相乘后其非零值区的积分（面积）。(4)(4)求求与与(3) (3) 将折叠移位后的图形将折叠移位后的图形相乘。相乘。与与b.b.移位移位th h t 是是与与之间的之间的“距离距离”。a.a.折叠折叠；(2)(2)它包括两部分它包括两部分 tf h t thtfty例例如图如图1-621-62所示，求所示，求。、1 10 0te2 tht2 21 1t tf0 0E E0t2 21 11 10 0h10 t 0thtf2 21 11 10 0tht21 t ttdEethtf12Eet2

46、1212 21 11 10 0tht2t 212dEethtftEeett222212 21 11 10 0tht图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。较方便的。确定积分的上下限是关键。确定积分的上下限是关键。 2122211122220tttEetEy teet 其它2 21 10 0t tyE/E/2 2 222112122212teeEtteEtyttt2121122212teEteEtt或或 tftftftf1221 dtfftftf2121xtddx tftfdxxtfxf1212原式 tftf121. 1. 交

47、换律交换律证：证：令令也称卷积的第二种形式，其实际应用意义如图也称卷积的第二种形式，其实际应用意义如图 ty ty tf tf th th2.6.1 2.6.1 卷积代数性质卷积代数性质 tftftftftftftf3121321 dtftfftftftf321321 dtff21 dtff31 tftftftf3121证：证：2. 2. 分配律：分配律：此式实际应用意义如图所示此式实际应用意义如图所示 ty tf1 tftf32 ty tf1 tf2 tf3 tftftftftftf321321 tftftf321 dtfdff321 ddtfff321xxdxd ddxxtfxff321

48、tftftf321，代入上式，代入上式交换积分次序交换积分次序证证: :3. 3. 结合律：结合律：令令， ty tf1 tftf32 tf2 tf3 tf1 ty0211120110ttfttfttfttftttf 10212101tttftftftttf4.4.时移时移证证，代入上式，得，代入上式，得 dttftfttfttf12011201xt 0 dttxtftfttfttf102011201 1021tttftf令令一些代数性质也适合卷积运算。一些代数性质也适合卷积运算。同理可证上式的其他形式。同理可证上式的其他形式。 dxxtttfxf1021 tfdtdtftftfdtdtftf

49、dtd212121 dtffdtd21 tfdtdtfdtfdtdf2121 tftfdtdtftfdtd2121由卷积的第二种形式，同理可证由卷积的第二种形式，同理可证证：证：交换运算次序交换运算次序1.微分：微分：2.6.2 微分、积分性质微分、积分性质 dftfdftfdffttt122121 dfft212.2.积分积分证：证：交换积分次序交换积分次序 ddfft21 dftft21由卷积的第二种形式同理可证：由卷积的第二种形式同理可证： dftfdfftt1221 ddfft21 tftfty21 tftftyjiji21 tftfty21 dfdttdft21 dfdttdft123.3.微、积分性微、积分性则则若：若：重积分的阶次。重积分的阶次。其中其中ij、取正整数时为导数的阶