线性系统的可控性与可观测性学习教案

1、会计学1线性系统的可控性与可观测线性系统的可控性与可观测(gunc)性性第一页，共66页。2 系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入(shr)影响和是否可由输出反映。p如果系如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可系统是可控的控的，或者更确切的说是，或者更确切的说是状态可控的状态可控的，否则就称系统为，否则就称系统为不完不完全可控的，或简称为系统不可控全可控的，或简称为系统不可控。p如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由如果系统内部所有状态变

2、量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是输出完全反映，则称系统是状态可观测的状态可观测的，否则就称，否则就称系统为系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测不完全可观测的，或简称为系统不可观测。第2页/共66页第二页，共66页。3例3-1：给定(i dn)系统的状态空间描述为1122401052xxuxx 1206xyx结构图表明：通过控制量结构图表明：通过控制量u可以控制状态可以控制状态x1和和x2，所以系统完全能控；但输出所以系统完全能控；但输出y只能反映只能反映(fnyng)状态状态变量变量x2，不能反映，不能反映(fnyng)状态变量状态变量x1，所以系统，所以系统不完全能观测

3、。不完全能观测。图3-1 系统(xtng)结构图第3页/共66页第三页，共66页。4考虑考虑n维线性时变维线性时变(sh bin)系统的状态方系统的状态方程程00( )( )( )txA t xB t ux txtT如果对取定初始时刻如果对取定初始时刻 的一个的一个非零初始状态非零初始状态x(t0) =x0，存在一个时刻，存在一个时刻 和一个和一个无约无约束的容许控制束的容许控制u(t)， ，使状态由，使状态由x(t0)=x0转移到转移到t1时的时的x(t1)=0 ，则称此，则称此x0是在时刻是在时刻t0可控的可控的.tTt 0011,ttTtt,10ttt 第4页/共66页第四页，共66页。

4、5如果状态空间中的所有非零状态都是在如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（ ）时刻可控的，则称系统时刻可控的，则称系统(xtng)在时刻在时刻t0是完全是完全可控的，简称系统可控的，简称系统(xtng)在时刻在时刻t0可控。若系可控。若系统统(xtng)在所有时刻都是可控的，则称系统在所有时刻都是可控的，则称系统(xtng)是一致可控的。是一致可控的。考虑考虑n维线性时变维线性时变(sh bin)系统的状态系统的状态方程方程00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第5页/共66页第五页，共66页。6 对于线性时变系统对于线性时变系统取定初始时刻取定初始时刻 ，如果

5、，如果(rgu)状态空间中存在一状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在是不可控的，则称系统在时刻时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。是不完全可控的，也称为系统是不可控的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第6页/共66页第六页，共66页。7 对于线性时变系统对于线性时变系统若存在能将状态若存在能将状态x(t0)=0转移到转移到x(tf)=xf的控制作用，的控制作用，则称状态则称状态xf是是t0时刻可达的。若时刻可达的。若xf对所有时刻都是对所有时刻都是可达的，则称状态可达的，则称状态xf为完全可达到或

6、一致为完全可达到或一致(yzh)可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻时刻t0可达的，则称该系统是可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，时刻完全可达的，或简称系统是或简称系统是t0时刻可达的。时刻可达的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtT第7页/共66页第七页，共66页。81系统(xtng)完全可观测 对于线性时变对于线性时变(sh bin)系统系统如果取定初始时刻如果取定初始时刻 ，存在一个有限时，存在一个有限时刻刻 ,对于所有对于所有 ，系统的输出，系统的输出y(t)能唯能唯一确定状态向量的初值一确定状态向量的初

7、值x(t0)，则称系统在，则称系统在t0, t1内内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在系统都是可观测的，则称系统在t0, )内是完全可内是完全可观测的。观测的。0ttT110,ttT tt01,tt t000( ) ,( ),( )txA t xx txt tTyC t x第8页/共66页第八页，共66页。92系统(xtng)不可观测 对于对于(duy)线性时变系统线性时变系统如果取定初始时刻如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 ,对对于于(duy)所有所有 ，系统的输出，系统的输出y(t)不能

8、唯一确定所不能唯一确定所有状态的初值有状态的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一个状态的初，即至少有一个状态的初值不能被值不能被y(t)确定，则称系统在确定，则称系统在t0, t1内是不完全可观测内是不完全可观测的，简称不可观测。的，简称不可观测。 0ttT110,ttT tt01,tt t000,( ) ,( )( )txA t xx txt tTyC t x第9页/共66页第九页，共66页。10线性定常系统 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：，

9、使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。注意：注意：在应用该判据时需计算在应用该判据时需计算eAt，这在，这在A的维数较高时的维数较高时并非易事，所以并非易事，所以此判据主要用于理论分析中此判据主要用于理论分析中。 101, 0ttATAtdteBBetWT第10页/共66页第十页，共66页。11证：充分性：已知W(0, t1)为非奇异，欲证系统为完全可控，采用构造(guzo)法来证明。对任一非零初始状态x0可构造(guzo)控制u(t)为： 1101( )(0, ),0,TTA tu tB eWt xtt 则则u(t)作用下系统状态作用下系统状态x(t)在在t1时刻时刻(shk)的结果的结果:11

10、11111111()1001010010110000( )( )(0, )(0, )(0, )0TtAtA tttAtAtAtTA tAtAtAtAtnx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt xexexxR这表明：对任一取定的初始状态这表明：对任一取定的初始状态x00 ，都存在有限时刻，都存在有限时刻t10和控制和控制u(t)，使状态由，使状态由x0转移到转移到t1时刻的状态时刻的状态x(t1)=0 ，根据，根据定义可知系统定义可知系统(xtng)为完全可控。为完全可控。第11页/共66页第十一页，共66页。12必要性：已知系统完全可控，欲证必要性：已知系统完

11、全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。非奇异。反设反设W(0, t1)为奇异，即存在为奇异，即存在(cnzi)某个非零向某个非零向量量 ，使，使0nxR010(0, )0Tx Wt x 1110100000002000(0, )TTTTtTTAtTA tTtTA tTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB exdtB exdt 其中(qzhng)|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有010,0, TTA tB extt 第12页/共66页第十二页，共66页。13因系统完全因系统完全(wnqun)可控，根据定义对此非零向量可控，根据定义对此非零向量 应应有有 0 x11

12、1100( )( )0tAtAtAtx texeeBu t dt100( )tAtxeBu t dt 1120000000( )( )TTttTAtTTA txx xeBu t dtxut B ex dt 020000 xx即此结果与假设此结果与假设 相矛盾，即相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成立。为奇异的反设不成立。因此，若系统因此，若系统(xtng)完全可控，完全可控， W(0, t1)必为非奇异。必为非奇异。 00 x 第13页/共66页第十三页，共66页。141）凯莱）凯莱-哈密尔顿定理：设哈密尔顿定理：设n阶矩阵阶矩阵(j zhn)A的特征多项式为的特征多项式为1110( )

13、 | I|nnnssAsss则矩阵(j zhn)A满足其特征方程，即1110( )I0nnnAAAA2）推论推论1：矩阵矩阵A的的k (kn)次幂可表示为次幂可表示为A的的(n-1)阶多项阶多项式式10nkmmmAr Akn，注：注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。此推论可用以简化矩阵幂的计算。第14页/共66页第十四页，共66页。153）推论）推论2：矩阵：矩阵(j zhn)指数函数可表示为指数函数可表示为A的的(n-1)阶多项阶多项式式10e( )nAtmmmt A例例3-4：已知：已知 ，计算，计算(j sun)A100=?1201A解：解：A的特征的特征(tzhng)多项式为：多项式为：

14、2( )det( I)21ssAss由凯莱-哈密顿定理，得到2( )20AAAII22AA第15页/共66页第十五页，共66页。1632222(2)32AAAAAAIAAI432323(2)243AAAAAAIAAI故根据(gnj)数学归纳法有I) 1( kkAAk所以(suy)： 100100200990100990100099AAI102001 第16页/共66页第十六页，共66页。17线性定常系统(xtng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分(chngfn)必要条件是 1nrank B ABABn 其中其中: n为矩阵为矩阵A的维数，的维数， 称为

15、称为系统的可控性判别阵。系统的可控性判别阵。1nSB ABAB注：注：秩判据是一种比较方便的判别方法。秩判据是一种比较方便的判别方法。第17页/共66页第十七页，共66页。18证明：充分性：已知证明：充分性：已知rankS=n，欲证系统完全，欲证系统完全(wnqun)可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，采用反证法。反设系统为不完全(wnqun)可控，则有：可控，则有： 1110(0, ),0TtAtTA tWteBB edtt 为奇异，这意味着存在为奇异，这意味着存在(cnzi)某个非零某个非零n维常向维常向量量使使111000(0, )TtTTAtTA ttTTAtTAtWteBB ed

16、teBeBdt 1,0,TAteBtt 0 将上式求导直到将上式求导直到(n-1)次，再在所得次，再在所得(su d)结果中令结果中令t=0，则可得到则可得到:21,TTTTnBABA BAB0000第18页/共66页第十八页，共66页。1921,TTTTnBABA BAB000021TnTB AB A BABS 0 由于由于0，所以上式意味着，所以上式意味着S为行线性相关的，即为行线性相关的，即rankSn 。这显然与已知这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立相矛盾。因而反设不成立(chngl)，系统应为完全可控，充分性得证。系统应为完全可控，充分性得证。必要性：已知系统完全可控，

17、欲证必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n ，采用反，采用反证法。反设证法。反设rankSn ，这意味着，这意味着S为行线性相关，因此为行线性相关，因此必存在一个必存在一个(y )非零非零n维常向量维常向量 使使成立。成立。1TTnSB ABAB0 第19页/共66页第十九页，共66页。201TTnSB ABAB0;0,1,1TiA Bin0 （由凯莱哈密尔顿定理(dngl)）0,0,1,2,TiA Bi 10t1( 1)0;0,;0,1,2,!i iiAtBttii 第20页/共66页第二十页，共66页。21110(0, )TtTAtTA tTeBB edtWt 因为已知因为已知0 ，

18、若上式成立，则格拉姆矩阵，若上式成立，则格拉姆矩阵W(0, t1)为奇异，为奇异，即系统为不完全即系统为不完全(wnqun)可控，和已知条件相矛盾，所以可控，和已知条件相矛盾，所以反设不成立。于是有反设不成立。于是有rankS=n ，必要性得证。，必要性得证。 2 23 322331112311230,TAtTTTTeBIAtA tA tBBABtA BtA Bttt ！0第21页/共66页第二十一页，共66页。22例例3-6：已知：已知判断判断(pndun)其能控性。其能控性。401052xxu 2n 解：系统解：系统(xtng)阶次阶次，确定(qudng)出可控判别阵14210SBAB2r

19、ankSn，所以系统为完全可控。 第22页/共66页第二十二页，共66页。23例3-7：判断下列(xili)系统的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：213254112244112244S矩阵矩阵(j zhn)S的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故rankS =23，系统不可控。，系统不可控。第23页/共66页第二十三页，共66页。24补充：可控性判别(pnbi)矩阵 （）：npS线性定常连续(linx)系统的状态方程0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt其中：其中：x为为n维状态向量；维状态向量；u为为p维输入向量；

20、维输入向量；A和和B分别为分别为(nn) 和和(np)常阵。该线性定常连续系统常阵。该线性定常连续系统(xtng)完全可控的充要条件是：完全可控的充要条件是：n pn prankSrank BABABn其中：其中： prankBpp，注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。第24页/共66页第二十四页，共66页。25例例3-8：用可控性判别矩阵：用可控性判别矩阵(j zhn) 判别例判别例3-7所示所示系统的可控性。系统的可控性。 npS11122233132210201101311xxuxxuxx解：n=3, 系统(xtng)输入向量是2维的列向量，即p = 2

21、。2111211prankBrankp3 2213211221122S显见显见(xinjin)矩阵矩阵S3-2的第二行与第三行线性相的第二行与第三行线性相关，关，故故 ，系统不可控。，系统不可控。23nprankS第25页/共66页第二十五页，共66页。26线性定常系统(xtng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：对矩阵(j zhn)A的所有特征值 ， (1,2, )iin1,2,irankIABnin均成立，或等价地表示为,rank sIABnsC 注：注：当系统矩阵当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，的维数较高时，应用秩判据

22、可能不太方便，此时可考虑用此时可考虑用PBH判据试一下。判据试一下。第26页/共66页第二十六页，共66页。27证明：证明： ，为多项式矩阵，且，为多项式矩阵，且对复数对复数(fsh)域上除域上除i以外的所有以外的所有s都有都有det(sI-A)0，即，即ranksI-A=n，进而有，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明，所以只要证明 即可。即可。,rank sIABnsC 1,2,irankIABnin必要性：系统完全可控，欲证上式成立(chngl)，采用反证法。反设对某个反设对某个(mu )i 有有rankiI A B n，则意味着，则意味着 iIA B为行线性相关。由此，必存在一

23、个非零常向量为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使使iTIAB0 成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：,0TTTiAB 第27页/共66页第二十七页，共66页。28进而(jn r)可得:1,TTTTniBABBAB000 于是(ysh)有1TnTBABABS 0 因已知因已知0，所以，所以(suy)欲使上式成立，必有欲使上式成立，必有rankSn这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。因此，这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。因此，反设不成立，即反设不成立，即rankiI A B=n成立。成立。充分性：充分性：已知式已知式rankiI A B=n成立，欲证系统完全成立

24、，欲证系统完全可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证得充分性。得充分性。第28页/共66页第二十八页，共66页。29例3-9：已知线性定常系统(xtng)状态方程为010001001010000101005020 xxu判断(pndun)系统的可控性。解：根据(gnj)状态方程可写出10001010100010100520sssIABss第29页/共66页第二十九页，共66页。30特征方程： 010001001010rankrank000101005020010001001010rank4000101000030sIAB2det()(5)(

25、5)0sIAsss解得A的特征值为： 12340,5,5 1）当）当 时，有时，有 120s第30页/共66页第三十页，共66页。312）当）当 时，有时，有 35s51010510rank=rank400010020sIAB3）当）当 时，有时，有 35s 51010510rank=rank400010020sIAB所以系统(xtng)是完全可控的。第31页/共66页第三十一页，共66页。32线性定常系统(xtng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件(b yo tio jin)是：A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i

26、，使同时满足,TTTiAB 0 的特征向量的特征向量 。0 注：注：一般的说，一般的说，PHB特征向量判据主要用于理论分析中，特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中特别是线性系统的复频域分析中。第32页/共66页第三十二页，共66页。33证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在(cnzi)一个向量一个向量0，使式，使式 成立，则有成立，则有,TTTiAB 01,TTTTniBABBAB0001TnTBABABS 0由于由于0 ，所以上式意味着，所以上式意味着S为行线性相关的，即为行线性相关的，即rankSn，即系统，即系统(xtng

27、)为不完全可控。与已知条为不完全可控。与已知条件相矛盾，因而反设不成立，必要性得证。件相矛盾，因而反设不成立，必要性得证。充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反(xingfn)的思路来进行，具体推证过程略去。的思路来进行，具体推证过程略去。第33页/共66页第三十三页，共66页。34 当矩阵当矩阵A的特征值的特征值 为两两相异时，线性为两两相异时，线性定常连续系统定常连续系统完全可控的充分完全可控的充分(chngfn)必要条件是：其对角线规必要条件是：其对角线规范型范型 12,n 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txx

28、t12nxxBu中， 不包含元素全为零的。B第34页/共66页第三十四页，共66页。35例3-12：已知线性定常系统(xtng)的对角线规范型为11122233800010103000202xxuxxuxx判断(pndun)系统的可控性。解：由于此规范型中解：由于此规范型中 不包含元素不包含元素(yun s)全为零的全为零的行，故系统完全可控。行，故系统完全可控。B第35页/共66页第三十五页，共66页。36 当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应(duyng)的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。0(

29、 )( )( )(0)0 x tAx tBu txxtABxxuB第36页/共66页第三十六页，共66页。37例3-13：已知约当规范型系统(xtng)如下：2100000000020000010000200000400002000007000031000000000301100000003041xx+u试判断(pndun)其可控性。解：解： ， ，均行线性无关，均行线性无关(wgun)，所以：系统完全可控。所以：系统完全可控。1100040007B2110041B第37页/共66页第三十七页，共66页。38例3-14：证明如下系统(xtng)总是完全可控的。0110100101nxxuaaa

30、 证明(zhngmng)：11001101nnaSarankSn，故完全(wnqun)可控。 该题说明：可控标准型系统完全可控。第38页/共66页第三十八页，共66页。39 若在有限时间间隔若在有限时间间隔(jin g)t0, t1内，存在无内，存在无约束分段连续控制函数约束分段连续控制函数u(t)， ，能使任意初，能使任意初始输出始输出y(t0)转移到任意最终输出转移到任意最终输出y(t1) ，则称此系，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。统是输出完全可控，简称输出可控。 01,tt t第39页/共66页第三十九页，共66页。40设线性定常连续系统的状态(zhungti)空间描述为：01

31、(0),0,xAxBuxx ttyCxDu则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵的秩等于的秩等于(dngy)输出变量的维数输出变量的维数q，即，即10nSCBCABCABD0rankSq注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然联系。第40页/共66页第四十页，共66页。41判断(pndun)系统的状态可控性和输出可控性。例3-15：已知系统的状态空间(kngjin)描述为011121xxu10yx解：1）系统的状态(zhungti)可控性矩阵为1111SBABrank12S ，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为 0110SCB

32、CABD0rank1Sq , 系统输出可控。第41页/共66页第四十一页，共66页。42三三 线性时变线性时变(sh bin)(sh bin)系统的能控性系统的能控性判据判据1 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻(shk) (shk) 为完全能控为完全能控的充要的充要条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻(shk) (shk) ，使如下定义的格拉姆矩阵使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。非奇异。10t0T010) t ,t () t () t () t ,t (,t tTcdtBBtW0t)tt , Jt (t0111第42页/共66页第四十二页，共66

33、页。432 2 秩判据秩判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全为完全(wnqun)(wnqun)能控能控的充分的充分条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立使下式成立n)t (M)t (M)t (Mrank11 -n11100t)tt , Jt (t0111) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (B) t (M2-n2-n1 -n0010第43页/共66页第四十三页，共66页。44 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻完全可观测的充分必要条件是，存在有限时

34、刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。为非奇异。0(0)0 xAxxxtyCx1T10(0, )eeTtA tAtMtC Cdt注意：在应用该判据时需计算注意：在应用该判据时需计算eAt，这在，这在A的维数较高的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。 第44页/共66页第四十四页，共66页。45 线性定常系统线性定常系统完全完全(wnqun)可观测的充分必要条件是可观测的充分必要条件是:或或0(0)0 xAxxxtyCx1nCCAranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：其中：n是系统的维数，是

35、系统的维数，称为系统的可观测称为系统的可观测(gunc)性判别阵，简称可观测性判别阵，简称可观测(gunc)性阵。性阵。1()TTTTnTTVCA CAC第45页/共66页第四十五页，共66页。46例3-16：判断下列(xili)系统的可观性：xAxyCx20,1001AC(1) 解：(1) 101220CrankVrankranknCA 系统(xtng)不完全可观测11101111AC，(2) (2)111020112TTTrankVrank CA Crankn系统(xtng)完全可观测第46页/共66页第四十六页，共66页。47例3-17：证明(zhngmng)如下系统总是完全可观测的。0

36、110011naaxxa001yx证明(zhngmng)：11101100nnaaVnV rank系统是完全(wnqun)可观测的。 该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。第47页/共66页第四十七页，共66页。48补充：可观测性判别(pnbi)矩阵 （）n qV线性定常连续(linx)系统的状态方程其中：其中：x为为n维状态向量；维状态向量；y为为q维输出向量；维输出向量；A和和C分别为分别为(nn) 和和(qn)常阵。该线性定常连续系统完全常阵。该线性定常连续系统完全(wnqun)可观测的充要条件是：可观测的充要条件是：其中：其中： 0(0)0 xAxxxtyCxn qn qCCAra

37、nkVranknCAqrankCqq，适用于多输出系统第48页/共66页第四十八页，共66页。49例3-18：判断(pndun)例3-16所示系统2）的可观性。11101111AC，解：系统(xtng)输出向量是2维的列向量，即q = 2。10211qrankCrankq2 21011V2n qrankVn故 ，系统(xtng)完全可观测。第49页/共66页第四十九页，共66页。50 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分完全可观测的充分(chngfn)必要条件是：对矩阵必要条件是：对矩阵A的所有特征值的所有特征值 ，均有，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niirank;1,

38、2,IiCninA( I)CranknsCsA ，成立(chngl)。或等价地表示为第50页/共66页第五十页，共66页。51 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：完全可观测的充分必要条件是：A没有与没有与C的所有行相的所有行相正 交 的 非 零 右 特 征 向 量 。 即 对正 交 的 非 零 右 特 征 向 量 。 即 对 A 的 任 一 特 征的 任 一 特 征值值 ，使同时，使同时(tngsh)满足满足0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(nii,iAC 0 0 的特征向量 。注：注：PHB特征向量判据主要特征向量判据主要(zhyo)用于理论分析中。用于理论分析中

39、。第51页/共66页第五十一页，共66页。5212,nxxyCx 当矩阵当矩阵(j zhn)A的特征值的特征值 为两两相异时，为两两相异时，线性定常连续系统线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 12,n 中， 不包含元素全为零的。0(0)0 xAxxxtyCxC第52页/共66页第五十二页，共66页。53例3-19：已知线性定常系统(xtng)的对角线规范型为800100010,123002xxyx判断(pndun)系统的可观测性。解：由于解：由于(yuy)此规范型中此规范型中 不包含元素不包含元素全为零的列，故系统完全可观测。全

40、为零的列，故系统完全可观测。C第53页/共66页第五十三页，共66页。54 当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中， 中与同一(tngy)特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。0(0)0 xAxxxtyCxACxxy =xC第54页/共66页第五十四页，共66页。55例3-20：约当标准型系统(xtng)如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx试判断(pndun)其可观测性。400020000301010005300yx解：解： 1400030 ,0

41、05C2201130C所以：系统(xtng)完全可观测。是列线性无关的；是列线性无关的；第55页/共66页第五十五页，共66页。56 完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定(ydng)保持原有的可控性或可观测性。例3-21：设完全(wnqun)可控且完全(wnqun)可观测的子系统为11111101021341Sxxuyx ：，222222Sxxuyx ：，求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。第56页/共66页第五十六页，共66页。57解：子系统并联(bnglin)组合后的系统1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判别(pnbi)矩阵：0141413111S第57页/共66页第五十七页，共66页。58可观(kgun)性判别矩阵156123112Vdet4 156 123 100V rankVn该并联组合系统(xtng)不完全可控且不完全可观测。det4 13 16 10S rankSn第58页/共66页第五十八页，共66页。59三三 线性时变系统线性时变系统(xtng)(xtng)的能观测性判据的能观测性判据1 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全为完全