线性代数课件4学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh)课件课件4第一页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形1BABU AnAUAUBB定义、对于 阶矩阵 、 ，若存在可逆矩阵 ，使得，就称矩阵，记作与 相似1(1,2,)kkkkkAnnUU AUB kAB为 阶矩阵，任取 阶可逆阵，作得到无数个与 相似的矩阵 ，它们有一系列共同性质，如：相似矩阵秩相等，行列式值相等。kBA本章要研究的问题是 中能否有对角形矩阵，即要解决与 相似的对角形矩阵的存在性及其求法。第1页/共23页第二页，共23页。线性代数 第四章 矩阵(j zhn)的标准形 第1节 矩阵(j zhn)的特征值

2、和特征向量第一节 矩阵(j zhn)的特征值和特征向量第2页/共23页第三页，共23页。线性代数 第四章 矩阵(j zhn)的标准形 第1节 矩阵(j zhn)的特征值和特征向量 11111212122211211nnnnnnnnnnAnAnAfaIAaaaaaaIAaaaaa定义 、设 为 阶矩阵， 为变量，矩阵为 的，它的行列式 是关于 的首项系数为 的 次多项特征矩阵特式，称为 的，征多项式记作12,1,2,0niinAAinIA X 在复数范围内它一定有 个根，称为 的(或特征根)，记作。对于 的每个特征值，考虑齐次线性方程组特征值第3页/共23页第四页，共23页。线性代数(xin x

3、n di sh) 第四章 矩阵的标准形 第1节 矩阵的特征值和特征向量0iiIAA由于，故它必有非零解，称每一个非零解为 属于特征值 的特征向量1122,nnnAAnA 注： 阶矩阵 的行列式等于 的 个特征值的乘积，即0iiiiiiiAXAAXXX为 的一个特征值，为 的属于特征值 的特征向量 0nAA阶矩阵 为可逆矩阵的特征值均不为 。第4页/共23页第五页，共23页。线性代数 第四章 矩阵(j zhn)的标准形 第1节 矩阵(j zhn)的特征值和特征向量1221224242AA 例、设，求矩阵 的特征值与特征向量例2、证明(zhngmng)相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值

4、。113102 11iiiiiiAnAAAAA例 、 为 阶可逆阵， 为 的特征值， 为 的属于 的特征向量。证明： ） 的任一个特征值）是的特征值，且 是的属于的特征向量40mAnmAA例 、设 为 阶方阵，若存在正整数 使，则 所有的特征值均为零。第5页/共23页第六页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第1节 矩阵的特征值和特征向量212*62,112AAAIA AAAI例 、三阶矩阵 的特征值为，求（1） （2） （3）的特征值1011( )(0)()( )mmmmiiiiif xa xa xaxaAff A 例5、设，且，则为的特征值。第6页/共2

5、3页第七页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第2节 矩阵的对角标准形第二节 矩阵的对角(du jio)标准形第7页/共23页第八页，共23页。线性代数 第四章 矩阵(j zhn)的标准形 第2节 矩阵(j zhn)的对角标准形AA定义、若矩阵 能与一个对角形矩阵相似，则称此对角形矩阵为 的对角标准形nAAn、一个 阶矩阵 能与对角形矩阵相似的定理充分必要条件为有 个线性无关的1特征向量111()(1, )niiinAUUUU AUAUUin：若 相似于对角形矩阵，则存在可逆矩阵且注使1AAnAAkk： 的对角标准形的主对角线元素为 的 个特征值（包括重根）

6、，因而若 相注似于对角形矩阵，且 有 重根 ，则属于的线性无关的特征向量一定是2个。第8页/共23页第九页，共23页。线性代数 第四章 矩阵的标准(biozhn)形 第2节 矩阵的对角标准(biozhn)形121233122122424222121072012AAU 例、矩阵，时，；时，问 能否与对角形矩阵相似?若能求出可逆矩阵 与对角标准形。121212,.,.,2,.,sssA 、设为 的互不相等的特征值,是分别属于它们的特征向量，则定理线性无关。nAnAnA、若 阶矩阵 有 个不同的特征值，则 一定有 个推论线性无关的特征向量，从而 一定能与对角形矩阵相似。第9页/共23页第十页，共23

7、页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第2节 矩阵的对角标准形 121212121111122,.,.,1,.,.,.,.,.3.,issin riiiiin rn rn rssArrIAis 、设为 的互不相等的特征值,属于 的线性无关的特征向量为，定理其中，则线性无关11,siisiinAsnrIAnAnrIAnA、若 阶矩阵 有 个不同的特征值，且则 一定能推论与对角形矩阵相似；若则 不能与对角形矩阵相似。第10页/共23页第十一页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第2节 矩阵的对角标准形 2P1084114232 1023

8、 21820032143222 3254245AAA例 （例 ）判断下列矩阵能否与对角形矩阵相似，若能，写出对角标准形。10222325424 5AA例 、设矩阵，求第11页/共23页第十二页，共23页。线性代数 第四章 矩阵的标准(biozhn)形 第3节 实对称矩阵的对角标准(biozhn)形第三节 实对称矩阵(j zhn)的对角标准形第12页/共23页第十三页，共23页。线性代数 第四章 矩阵的标准(biozhn)形 第3节 实对称矩阵的对角标准(biozhn)形一、向量一、向量(xingling)的正交概念和施密特正交化的正交概念和施密特正交化11111,niiiniiinnababa

9、bab定义 、设，称实数为向量 与 的，记作内积,TT 注：向量内积可用矩阵乘法表示为。1, ）对称性 2,kkk ）线性性 3,000 ）正定性 当且仅当时，第13页/共23页第十四页，共23页。线性代数 第四章 矩阵(j zhn)的标准形 第3节 实对称矩阵(j zhn)的对角标准形2,1,0, 定义 、对向量 ，称为向量（或），记作， 作非零向量 的数乘称为对(单位化)；若两个向量满足，称向量 与 正交，的长度模标准化记作123,.,01,.,0 ij; ,1,1siijiisi js 定义 、一个向量组，其中若，称这个向量组为；若又有就称这向量组正交向量组标准为正交向量组。12,.,s

10、 、一组正交向量组的向量必是命题线性无关的第14页/共23页第十五页，共23页。线性代数 第四章 矩阵的标准形 第3节 实对称(duchn)矩阵的对角标准形12,.,s 将已知线性无关向量组施密特标准正交化过程为：111111 . 1q令222112221, . 2qqq333223113331, . 3qqqqqssssssssssqqqqqqq1, . 41122111212,.,.,ssq qq 得到一个与等价的标准正交向量组第15页/共23页第十六页，共23页。线性代数 第四章 矩阵的标准(biozhn)形 第3节 实对称矩阵的对角标准(biozhn)形121120,112TT 例 、

11、求与向量均正交的单位向量。123421 100 ,1010 ,1001 ,111 1 例 、将化为标准正交向量组 1,00n r AnAXAX 2设为 元齐次线性方程组的一个基础解系，求的一个标准正交基础解系。 11,n r An r Aq qq 22将施密特标准正交化，得到标准正交向量组，即为一个标准正交基础解系。第16页/共23页第十七页，共23页。线性代数 第四章 矩阵(j zhn)的标准形 第3节 实对称矩阵(j zhn)的对角标准形二、实对称矩阵的对角二、实对称矩阵的对角(du jio)标准形标准形定理(dngl)1、实对称矩阵的任一特征值一定是实数。定理2、实对称矩阵的属于不同特征

12、值的特征向量正交。12112,.,TnnnTT ATT ATA 、任意一个 阶实对称矩阵一定正交相似于实对角矩阵，即存在正交矩阵使其中为 的定理3全部特征值第17页/共23页第十八页，共23页。线性代数 第四章 矩阵的标准形 第3节 实对称(duchn)矩阵的对角标准形nAT对于 阶实对称矩阵 求正交矩阵 及对角标准形的具体步骤：1A）求出 的全部特征值 1120,iiiiin riiiinAIA XqqrrIAAnqq）对于 的每一个不同的特征值 ，求出属于特征值 的线性无关的特征向量(即求出齐次线性方程组的一个基础解系)，并将其施密特标准正交化得属于特征值 的标准正交特征向量，其中，最后得

13、到 的个标准正交特征向量121213nTnTq qqT ATT AT）令正交矩阵，则 第18页/共23页第十九页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第3节 实对称矩阵的对角标准形11201222023ATT ATA例 、设，求正交矩阵 ，使为对角形矩阵，并写出 的对角标准形。12222254245ATT ATA例 、，求正交矩阵 ，使为对角形矩阵，并写出 的对角标准形。第19页/共23页第二十页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第4节 相似矩阵第四节相似矩阵第20页/共23页第二十一页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第4节 相似矩阵1nABUBU AUBABA定义、对于 阶矩阵 、 ，若存在可逆矩阵 ，使得，就称矩阵 与 相似，记作相似关系有以下相似关系有以下(yxi)性质：性质：1)nAAA反身性：对任一 阶矩阵 ，有2),ABBA对称性：若则3),ABBCAC传递性：若且则第21页/共23页第二十二页，共23页。线性代数(xin xn di sh) 第四章 矩阵的标准形 第4节 相似矩阵相似矩阵有以下相似矩阵有以下(yxi)性质：性质：1) 相似矩阵行列式值