复变函数第四版(第三章)

1、第第3 3章章 复变函数的积分复变函数的积分BzzzzzAnkk,1101 1 复变函数的积分定义复变函数的积分定义 定义：设函数 w=f(z) 定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为:.1kkkzzz这里.)()( )(,111knkkkknkknkzfzzfS并作和式点在每个弧段上任意取一.)(,.)(lim)(:.)(,1cnkkkcnnkdzzfCzfdzzfCzfSCn则积分记作为闭曲线如果记作的积分沿曲线为函数那么称该极限值有唯一极限的取法如何及的分法如果不论对趋于零时且无限增加当.max,11knkkkkszzs的长度

2、记ABkz1yx0ck连续，的曲线上在逐段光滑设函数Cyxivyxuzf),(),()( .f z dzc则必存在连续，连续),(),()(yxvyxuzf存在与CCudyvdxvdyudx( )Cf z dz存在.2 2 复积分存在的一个充分条件：复积分存在的一个充分条件：复积分的计算方法：复积分的计算方法： ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,f x ty tz t dt一个复积分的实质是两个实二型线积分一个复积分的实质是两个实二型线积分 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )

3、( )( )CCCf z dzf zdzf z dsML( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：为 的长度.)1 线性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(为常数、baCC2 设为 的逆向曲线，则CCdzzfdzzf)()(3 3 复积分的性质复积分的性质 ：例题1 .Cz dz计算(1):Cii 的直线段；（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1） :11zit t 线段的参数方程为 ,dzidtzitt10111011()22Cz dzt idtitdttdtii （2）参数方程为3,22ize,1iidzie dze33222

4、22iiCz dzie dei ii可见积分与路径有关。. 0) 1(213zzdz例题2 ),Z()(I0nzzdzCn计算积分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i例题3 2,Cz dz计算iC 如图所示：解：1:,0, :11Czx yx 112212;3Cz dzx dx 2:,:0iCze1C2C112220iiCz dzeie d330012.33iii ede 可见，积分仅与起点和终点有关,而与路径无关。例题4 ,811Cdzzz证明:12.Cz证明：

5、CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28 .2222222CCCz dzxydxxydyixydxxydyMNMN()yxyxMNuv yxyxMNvu定理1（Cauchy-Goursat） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零: 注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。cdzzf. 0)( 注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有推论

6、： f z dzc则与路径无关仅与起点和终点有关。cdzzf. 0)(如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，柯西-古萨基本定理还可推广到多连通域: 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则C1CDAB定理定理2 (复合闭路定理)ccdzzfdzzf1.)()(证明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。-闭路变形原理闭路变形原理推论（复合闭路定理）：为简单闭曲线设nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的简单闭曲

7、线，为包含nCCCC,21nCCCCD21为由边界曲线所围成的多连通区域， 内解析，在Dzf)(则上连续在,DD0)(dzzfCiCD.)()(1niccidzzfdzzf例题121,Cdzz求C 如图所示：i3ii解： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。或0,0,20, 30, 3111iiCiidzdzzz 11433iii .3411131322itiidttdzc现设z=it，t从-3变化到1，例题2 求C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解： 21111zzzz现分别以z=0,1为圆心,在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与

8、C2.C1C2C01cdzzz210220ii021222111cccdzzzdzzzdzzz2211111111ccccdzzdzzdzzdzz练习：计算积分3.)2)(1(1zdzzz解：现分别以z=1,2为圆心,在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2.由复合闭路定理知：21321)2)(1(1)2)(1(1)2)(1(1IIdzzzdzzzdzzzcczidzzdzzdzzzIccc21121)2)(1(11111idzzdzzdzzzIccc21121)2)(1(12222. 022)2)(1(1213iiIIdzzzzDC0z0,zD设若 f (z) 在D内解析，则000

9、( )( )ddCz zf zf zzzzzzz闭路变形原理 00fzfz 00001()d2().z zf zzif zzz 分析：分析：cdzzzzf0)(在上节的基础上,我们来进一步探讨如下积分: 定理定理 (柯西积分公式柯西积分公式) 如果如果 f (z)在区域在区域D内处处解析内处处解析, C为为D内的任何一条正向简单闭曲线内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完它的内部完全含于全含于D, z0为为C内的任一点内的任一点, 则则001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cfor f zdiz -解析函数可用复积分表示。).(2)(00zifdzzzzfc 证证 由于由于f

10、(z)在在 z0连续连续, 任给任给e e 0, 存在存在 (e e) 0, 当当 |z z0| 时时, | f (z) f (z0)| e e. 设以设以 z0为中心为中心, R 为半径为半径的圆周的圆周K : |z z0|=R全部在全部在C的内部的内部, 且且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz 00( )()dKf zf zzzz d2.KsRee 00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz ).(2)(00zif

11、dzzzzfc从而有:例题1 计算.cos1izdzizz解： 因为f(z)=cosz在复平面上解析,又-i在 内,所以 1 iz1)cos(2cos2cosiziziizidzizz).(1eei例题2 计算.1sin22zdzzz解：方法1 因为f(z)=sinz在复平面上解析,又-1,1均在 内,所以 2z222)1sin1sin(211sinzzdzzzzzdzzz221sin211sin21zzdzzzdzzz11sin221sin221zzzizi.1sin2 i解：方法2 利用复合闭路定理,分别以-1,1为圆心,作两个互不相交互不包含的圆周C1，C2211sin1sin1sin2

12、222cczdzzzdzzzdzzz.1sin1sin11sin1sin1211izzizdzzzzdzzzzcc.1sin1sin211sin1sin1222izzidzzzzdzzzzcc.1sin21sin22idzzzz练习 计算.111122zdzzz解： 因为被积函数在 内只有一个奇点,所以 11 z112112211111zzdzzzzdzzz.211212izziz例题3 CzrrzCdzzzze)2 , 1(:)2)(1(计算积分解： , 10 rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(21C2C3C01232) 1(32Czdzzzzeiei2) 1(232

13、zzzzeiieiieiei3322, 21 r21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzzzeiiiei32, 2r321CCC 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.定理定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D. )

14、(!2)()(0)(10cnnzfnidzzzzf证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定义0.z 在时也趋向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz 0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz 按柯西积分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz 001( )( )d2Cf zf zzzizzz 0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz 因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz 20001( )1( )

15、dd2()2()( )CCf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz 现要证当z0时I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz 2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |z| 适当地小使其满足 |z| 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cosz在C内却是处处解析的. 5) 1(coszz.12)(cos)!15(

16、2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz 12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i12CCC2C1C.)1(23532cdzzzz练习: 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = 2.解： )!13()235(2)1(2351232 zczzidzzzz.10i因为z=1在 | z | = 2包围的区域D内，又f（z）=5z2-3z+2在复平面上解析.)2)(1(13cdzzzz练习: 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = 3/2.解：由于在 | z | = 3/2内有两个奇点z=0,z=-1，分别分别以0,-1为圆心,作两个互不相交互不包含的圆周C1，C2)2)(1