13.3.1等腰三角形的判定(2)讲解

1、给我最大快乐的，不是已懂的知识，给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习而是不断的学习.-高斯高斯1 1复习、等腰三角形的复习、等腰三角形的性质性质是什么？是什么？性质性质1 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：（可以简称：等边对等角等边对等角）2 2引入：引入：我们知道，如果一个三角形有两条边我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？有什么关系？性质性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底等

2、腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合边上的高互相重合(等腰三角形三线合一)如果一个三角形有两个角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等那么这两个角所对的边也相等. .简写成简写成”等角对等等角对等边边”. .2、你能证明、你能证明“等角对等边等角对等边”吗？吗？二、合作探究二、合作探究1、大胆猜想、大胆猜想已知：已知：ABC中，中，B=C求证：求证：AB=AC证明：证明：作作BAC的平分线的平分线AD在在BAD和和CAD中，中，1=2，B=C，AD=AD BAD CAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）1ABCD2还

3、有其他证法吗？还有其他证法吗？ AD平分平分BAC ， 1=2如果如果一个三角形一个三角形 有有两个角相等两个角相等，那么这那么这两个角所对的两个角所对的边也相等边也相等. .注意：注意： “等角对等边等角对等边”的前提是的前提是一个一个 三角形三角形 如图如图,下列推理正确吗下列推理正确吗? ? A AB BC CD D211=2 BD=DC（等角对等边）（等角对等边）1=2 DC=BCABCD21（等角对等边）（等角对等边）错，错，因为都不是在因为都不是在同一个三角形同一个三角形中。中。辩一辩辩一辩3、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定： 如果一个三角形中有两个角相等如果一个三角形中有两

4、个角相等,那么这两那么这两个角所对的边也相等个角所对的边也相等.(简称为简称为:等角对等边等角对等边)4、等腰三角形的性质与判定有区别吗、等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:等边 等角判定是:等角 等边符号语言：符号语言：在在ABC中中 B=C AB=AC （等角对等边等角对等边）ABC5、归纳总结名名称称图图 形形概概 念念性质与边角关系性质与边角关系 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有两边有两边相等的相等的三角形三角形是等腰是等腰三角形。三角形。2.等边对等角等边对等角,3. 三线合一。三线合一。4.是轴对称图形是轴对称图形.2.等角对等边等角对等边1.两边相

5、等。两边相等。1.1.两腰相等两腰相等. . 例例1 1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。求证：求证：AB=ACAB=AC已知：已知：如图，如图，CAE是是ABC的外角，的外角，AD平分平分CAE ， ADBC。证明证明：ADBC，1=B（两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等） 2=C（两直线平行两直线平行,内错角相等）内错角相等） AD平分平分CAE 1=2，B=C， AB=AC(等角对等边）。等角对等边）。 。ABCDE12 例例2、已知等腰三角形的底边等于

6、、已知等腰三角形的底边等于a，底边，底边上的高等于上的高等于b，你能用尺规作图的方法作出，你能用尺规作图的方法作出这个等腰三角形吗？这个等腰三角形吗？abMDCBAN作法：（作法：（1）作线段）作线段BC，使，使BC=a；（2）作）作BC的的垂直平分线垂直平分线MN，交，交BC于于D；（3）在）在MN上截取上截取DA=h,得得A点；点；（4）连结）连结AB、AC，则，则ABC即为所求等即为所求等腰三角形。腰三角形。问题：问题：1.1.如右图所示如右图所示ABCABC是等腰三角形是等腰三角形,AB=AC,AB=AC,倘倘若一不留心若一不留心. .它的一部分被墨水涂没了它的一部分被墨水涂没了, ,

7、只留下一条只留下一条底边底边BCBC和一个底角和一个底角C.C.同学们想一想同学们想一想, ,有没有办法有没有办法把原来的等腰三角形把原来的等腰三角形ABCABC重新画出来重新画出来? ?大家试试看大家试试看. .A AB BC CB BC C方法一方法一：用角的相等来画：用角的相等来画.B BC CA A方法二方法二：用过一边中点作垂线的方法来画：用过一边中点作垂线的方法来画.A1.1.在在ABCABC中中, ,已知已知A=40A=40,B=70,B=70, , 试判断试判断ABCABC是什么三角形是什么三角形, ,为什么为什么? ?答答: : ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。理由：

8、理由：在在ABCABC中，中， A=40,B=70, C=180 C=180AABB（三角形内角和等于（三角形内角和等于180180）=180=70=70B=C=70B=C=70AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）即即ABCABC是等腰三角形是等腰三角形1、已知：如图，、已知：如图，ABC中，中， A=B=C求证：求证：AB=AC=BCABC证明：在证明：在ABC中中 A=B（已知）（已知）BC=CA（等角对等边）（等角对等边）同理同理 CA=ABBC=CA=ABCBAD122、已知：如图，、已知：如图， A= DBC =360， C=720。计算计算1和

9、和2，并说明，并说明图中有哪些等腰三角形？图中有哪些等腰三角形？ 解：解：1=720 2=360等腰三角形有：等腰三角形有： ABC ABDBCDCBAD125 5、如图、如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC, A=36,AB=AC, A=36, ,你能把你能把ABCABC分成三个等腰分成三个等腰三角形吗三角形吗?(?(提供两种以上不同的作图方案提供两种以上不同的作图方案) )ABCDEA BCD EABC动手画一画动手画一画ABCABCABC3、如图，把一张矩形的纸沿对角线、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一个等腰三角折叠，重合的部分是一个等腰三角形吗？为什么？形吗？为什

10、么？ABCGDE123解：重合部分是等腰三角形。理由：由ABDC是矩形知 ACBD 3= 2由沿对角线折叠知 1 = 2 1= 3 BG=GC（等角对等边） 证明：证明： BA=BC，BCA=A=60（等边对等角）（等边对等角） CE=CD，E=CDE=30 （三角形外角性质）（三角形外角性质） BD是是AC边的中线，边的中线，DBC=30（等腰三角形的性质）（等腰三角形的性质）DE=DB（等角对等边）（等角对等边）4如图，如图，ABC中，中，BC=BA，A=60，BD 是是AC边的中线，延长边的中线，延长BC到到E，使，使CE=CD， 求证：求证：DE=DBABCDE5 5、上午、上午10

11、10 时，一条船从时，一条船从A A处出发以处出发以2020海里海里每小时的速度向正北航行，中午每小时的速度向正北航行，中午1212时到达时到达B B处，从处，从A A、B B望灯塔望灯塔C C，测得，测得NAC=40NAC=40， NBC=80NBC=80求从求从B B处到灯塔处到灯塔C C的距离的距离NBAC80804040北解：解：NBC=A+CNBC=A+CC=80C=80- 40- 40= 40= 40 BA=BC BA=BC（等角对等边）（等角对等边）AB=20AB=20（12-1012-10）=40=40BC=40BC=40答：答：B B处到达灯塔处到达灯塔C40C40海里海里1

12、、如图、如图ABC中，中，AB=AC，B=36，D、E分别是分别是BC边上两点，且边上两点，且ADE=AED=2BAD，则图中等腰三，则图中等腰三角形有（角形有（ ）个。）个。 C共有6个。 即ABC、 ADE、 AEC、 ABD、BED ABE。 ADC、3 3思考：思考：在在ABCABC中中, ,已知已知 , ,BOBO平分平分ABC,COABC,CO平分平分ACBACB.（1 1）请问图中有多少个等腰三角形）请问图中有多少个等腰三角形? ?说明理由说明理由. .（2 2）线段）线段EFEF和线段和线段EB,FCEB,FC之间有没有关系之间有没有关系? ?若有是什么关系若有是什么关系? ?

13、FE0BCAACAB 若AB=ACABACB B0CAE EF F过点过点O O作直线作直线EF/BCEF/BC交交ABAB于于E,E,交交ACAC于于F.F.ABCDE4.4.已知在等腰已知在等腰ABCABC中，中，A=36A=36， B=72B=72，C=72C=72，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰ABCABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？只要作只要作 B B的角平分线即可！的角平分线即可！只要再做只要再做 BDC B

14、DC的角平分线即可！的角平分线即可！以下步骤重复下去即可！以下步骤重复下去即可！趣味数学趣味数学1.1.（烟台（烟台中考）如图，等腰中考）如图，等腰 ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20A=20. .线线段段ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E，连接连接BEBE，则，则CBECBE等于等于( )( )A.80A.80 B. 70 B. 70 C.60 C.60 D.50 D.50【解析解析】选选C. C. 因为因为AB=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC= ABC= （180180-A-A）=80=80，因为，因为DED

15、E垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以ABE=A=20ABE=A=20，所以，所以CBE=ABC-ABE=80CBE=ABC-ABE=80-20-20=60=60. .21A AE EC CB BD D2.2.（日照（日照中考）已知等腰梯形的底角为中考）已知等腰梯形的底角为4545，高为高为2 2，上底为，上底为2 2，则其面积为（，则其面积为（ ）A.2 B.6 C.8 D.12A.2 B.6 C.8 D.12【解析解析】选选C.C.过上底的两个顶点分别作下底的垂线，又因过上底的两个顶点分别作下底的垂线，又因为底角为为底角为4545，高为，高为2 2，则下底的长等于，则下底的长等于2+2+2

16、=62+2+2=6，S=S=12（2+62+6）2=8.2=8. 3.3.（泰州（泰州中考）等腰中考）等腰ABCABC的两边长为的两边长为2 2和和5 5，则第三边长，则第三边长为为 【解析解析】因为因为2,5,52,5,5能构成三角形，能构成三角形，2,2,52,2,5不能构成三角形，不能构成三角形，所以第三边长为所以第三边长为5.5. 答案：答案：5 51、等腰三角形的判定方法有下列几、等腰三角形的判定方法有下列几种：种： 。2、等腰三角形的判定定理与性质定理、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是的区别是 。3、运用等腰三角形的判定定理时，、运用等腰三角形的判定定理时，应注意应注意 。定义，定义，判定定理判定定理 条件和结论刚好相反。条件和结论刚好相反。在同一个三角形中在同一个三角形中 6.在正方形在正方形ABCD内找一点内找一点