极限的应用教学课件

1、说明说明: :v定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在在闭区间上连续的函数闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的在该区间上一定能取得它的最大值和最小值最大值和最小值 下页下页又又至少有一点至少有一点x x2 a b 使使f(x x2)是是f(x)在在a b上的最小值上的最小值 至少有一点至少有一点x x1 a b 使使f(x x1)是是f(x)在在a b上的最大值上的最大值 定理说明定理说明 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 那么那么闭区间闭区间a, b上的连续上的连续函数函数 f(x)也记作也记作( ) , f xC a b注: 1. 如果x

2、0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 2.下页v定理定理2(2(零点定理零点定理) ) 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)与与f(b)异号异号 那么在开区间那么在开区间(a b)内内至少一点至少一点x x 使使f(x x)= =0 .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf= =几何解释例例1：的正根。的正根。至少有一个小于至少有一个小于 112 = = xx证明方程证明方程证：证：,12)( = =xxxf设设内连续，内连续，且在且在1, 0, 01)0( = =f,0112)1( = = = =f由零点定理，由零

3、点定理， 至少存在一点至少存在一点),10( x xx x,0)(= =x xf使使,012)(x x至少有一个根至少有一个根即方程即方程= = = =xxxf.10 x x且且 得证。得证。证证3( )31,1 2f xxx= = 令令该该函函数数是是初初等等函函数数，在在 ，上上连连续续，(1)3 0,(2)10,ff= = = = 又又至少存在一点至少存在一点(1,2),(,)0fx xx x = =使使3310(1,2).xxx x = =方方程程在在内内至至少少有有一一个个实实根根33112.xx=证证明明方方程程在在 和和 之之间间至至少少有有一一实实根根( )( )( ) , F

4、 xf xxF xa b=证明：令，显然在上连续,( )( )0ff xxxxx=分析：欲证，即证以 为零点( ) , ( )( )( , )( )f xa bf aa f bba bfxxx=（书中68题）若函数在上连续，且，证明：在内至少存在一点 ，使得( )( )0( )( )0F af aaF bf bb=，,( , )0,( )a bfxxxx=根据零点定理 至少存在一点使得F(即二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理v定理定理3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)与与f(b)异号异号 那么那么在开区间在开区间(a

5、b)内内至少一点至少一点x x 使使f(x x)= =0 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值 v定理定理4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a) f(b) 那么那么 对于对于f(a)与与f(b)之间的之间的任意一个数任意一个数C 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x x 使得使得f(x x)= =C 结束结束1212( ) , , )()()()( )nnf xa baxxxba bf xf xf xfnx=（书中68题）设函

6、数在上连续，证明：在(内至少存在一点，使得( ) , f xa b解： 函数在上连续， , ( )a bxf x则一定存在M与m，使得对于上任一 ,都有mM12naxxxb1()f x则mM2()f xmM()nf xmM12( )()()nf xf xf xnmnM12()()()nf xf xf xnmM12()()()( )nf xf xf xfnxx=由介值定理存在一点 使得一、微分中值定理观察与思考：设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等 提问：直线AB的斜率k=? f (x)=?提示： f (x)=abafbf)()( k=abafbf)()( 直线AB的斜率上至

7、少有上至少有在曲线弧在曲线弧 AB.AB在该点处的切线在该点处的切线,C一点一点平行于弦平行于弦几何解释几何解释:ab1x x2x xxyo)(xfy= =C如果连续光滑的曲线如果连续光滑的曲线 y = f(x) 在 两 个 端 点 处 的在 两 个 端 点 处 的 纵 坐纵 坐标标相等相等. 那么在此曲线上至少有那么在此曲线上至少有一点一点, 使得曲线在使得曲线在C点的切线平行点的切线平行于于 x 轴（也平行于两个端点的连轴（也平行于两个端点的连线）线） C点处的切线与弦线点处的切线与弦线 AB 平行平行.一、罗尔定理例如例如,32)(2 = =xxxf).1)(3( = =xx,3 , 1

8、上上连连续续在在 ,)3 , 1(内内可可导导在在 , 0)3()1(= = = ff且且, 1= =x x取取. 0)(= =x x f),1(2)( = = xxf罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1）在闭区间）在闭区间 ,ba上连续上连续, （2）在开区间在开区间 内可导内可导, ),( ba),()()3(bfaf= =,),(x x内内至至少少存存在在一一点点那那末末在在ba0)(= = x xf使使得得（罗尔：法国数学家罗尔：法国数学家）),3 , 1(1( 5ln sin,66yx=（ 书 中 155题 ） 验 证 罗 尔 定 理

9、 对在上 的 正 确 性5lnsin,66yx=证明： 函数在上连续，5ln sin,66yx=函 数在 () 内 可 导 ，5( )()ln266ff= 5,66可知函数在上满足罗尔定理条件5cot0,662yxx=由在()显然有解,( )02fxx=令则设例例1. 设函数设函数 f (x) = (x 1)(x 2)(x 3), 试判断方程试判断方程 f x= 有几个实根有几个实根, 分别在何区间分别在何区间?解解: 因为因为 f (1)= f (2)= f (3), 且且f (x)在在1, 2上连续上连续,在在(1,2)内可导内可导, 由罗尔定理由罗尔定理, x x1 (1, 2),使使

10、f (x x1=;同理同理, xx2, , 使使 f (x x2=;又因又因f (x=是二次方程是二次方程, 至多两个实根至多两个实根,故故f (x=有两个实根有两个实根, 分别位于分别位于(1,2) 和和(2,3)内内.1414罗尔定理罗尔定理-典型方法与例题典型方法与例题证：证：012,na a aa设是满足1200231naaaan=的实数，2012( )(0,1)nnf xaa xa xa x=证明多项式在内至少有一个零点.例例3（第二届（第二届10分）分）1231120( )231nnnnaxa xa xa xf xa xnn=证明：设0,1在内连续，(0,1)内可导(0)(1)0f

11、f=且2012,0，至少存在一（ )=xxxxx=nnfaaaa例例4. 设设a0, a1, , an 满足满足, 011121110=nnananaa证明证明 方程方程a0+a1x+an 1xn 1+anxn =0 在在(0, 1)内至少有一实根内至少有一实根证证: 令令1121012)(=nnnnxnaxnaxaxaxf则，则，f (x) C(0, 1)，在在(0, 1)内可导。内可导。又又 f (0)=0,012) 1 (110=nanaaafnn即即 f (0)=f (1)故故 f (x)满足满足Rolle定理条件定理条件.由由Rolle定理，定理，命题获证命题获证.0)(),1 ,

12、0(1110=nnnnaaaafxxxxx使得17175.（第一届10分）证：证：1818罗尔定理罗尔定理-能力提升与方法能力提升与方法证：证：证证在在 内可导，且内可导，且 . 1 , 0 xfxxfxF = = 可得可得又由又由0)1(= =f. 010= = =）（）（FF，使使）内内有有一一点点，由由罗罗尔尔定定理理，在在x x10( , 0= = x xF xxfxF= = xF1 , 0设设 ，显然，显然 在在 上连续上连续; , 0)(= = x xx xx xff即即 .x xx xx xff = = 如果函数)(xf满足 （1） 在闭区间 ,ba上连续； （2） 在开区间),

13、(ba内可导； 则在则在),(ba内至少有一点)(ba x x x x, 使等式 )()()(abfafbf x x= = 成立. 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 ).()(:bfaf= =去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(x x = = fabafbf结论亦可写成结论亦可写成弦弦AB斜率斜率切线斜率切线斜率此条件太苛刻此条件太苛刻拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件: )()(bfaf= =则为罗尔定理；则为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件: )()(bfaf= =则推广为拉格朗日定理。则

14、推广为拉格朗日定理。 知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。例例1上上满满足足在在区区间间验验证证函函数数 = =2, 0cos)( xxf拉格拉格 朗日中值定理朗日中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上连连续续在在区区间间因因为为函函数数 = = xxf内内可可导导，在在)2,0( 满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的条件的条件xxfsin)( = = 而而02)0()2( ff)0cos2(cos2 = = 2 = =，由由 x x2sin = = x x2arcsin= =解

15、得解得)2, 0( )()()(x xfabafbf = = .x x并求并求 （书中165题）证明若f (x)在a, b上可微，则至少存在一点)( )()()(xxxffabaafbbf=x(a, b), 使证证(分析): 与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数., ),( )(baxxfxxF=( ) , .F xa b则在上满足拉格朗日的条件，ax即在( ,b)内至少存在一点 ，( )( )( )F bF aFbax=( )( )( ) ( )bf baf affbaxxx=( )(1)( )( )( )0f xfff xf cfxx=例3：假设函数在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0, (0)与B(1,的直线与曲线相交于点C（c,),其中0c 0时时, .)1ln(1xxxx 证证: 改写原式改写原式,. 1)1ln(11 xxx(利用公式利用公式)()()(x xfabafbf = = 证不等式时证不等式时, 往往要把待证式中的一部分写成往往要把待证式中的一部分写成的形式的形式, 以便构造函数以便构造函数 f (x).