长沙市一中2019届高三月考试卷(五)数学(理科)

1、长沙市一中2019届高三月考试卷(五)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿时量：120分钟满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=2,0,1，集合B=x|x|<a且xZ，则满足AB的实数a可以取的一个值是()A.3B.2C.1D.02. 若(12x)4=a°+a1x+

2、a2X2+a3x3+a4X4，则a°|+|af+血|+念|+|a4|的值为()22和4的矩形区域，E是D内位于函数y=x图象下方30个点，则落在E内的点的个数约为A.1B.16C.81D.413. 如图，设D是图中边长分别为的区域(阴影部分)，向D内随机抛掷A.15B.20C.5D.104.已知命题p:"a=1是x>0,x+a>2的充分必要条件”，命题q：x“x0R,x2+X02>o”，则下列命题正确的是()A. 命题B. 命题C. 命题D. 命题"pAq”是真命题"pA(nq)”是真命题“(np)Aq”是真命题是真命题5n则sinC5

3、"2a的值为()(np)A(nq)”3，-n、5.已知cos(6a=112A.3B.3C.32D.36已知函数f(x)=2a(x>2)则f(log45)等于(B)f(x+2)(x<2),A.25B.45C.3.5D.57.已知实数x,y满足线性约束条件大x-y+2>0x+y-4>0,目标函数z=yax(aR)，若z取最2x-y-5<0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,0)C.(1,+s)D.(s,1)8. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5

4、可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()1 3112A.6B.20C.d.15二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9幕函数f(x)=xa(a为常数)的图象经过(3,3)，则f(x)的解析式是.10. 函数f(x)=exlnx-1的零点个数是个.11. 按下图所示的程序框图运算：若输出k=2,则输入x的取值范围是.开始T辅只需/上了1*|工=加+1，*心丘+1卜/输岀:结束112. 数列an满足：a1=2,a*=1-(n=2,3,4,)，则a12=.an-113. 已知函数f(x)=x-2|,若a0,且a,bR，都有不等式|a+b|+|a-

5、b|>|a|f(x)成立，则实数x的取值范围是.14. 在厶ABC中有如下结论：“若点MABC的重心，贝UMA+MB+MC=0”，设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边，点MABC的重心.如果aMA+bMB+cMC=0，则内角A的大小为;若a=3,则厶ABC的面积为.15. 给定集合A=a1,a2,a3,，an(nN,n3)，定义ai+aj(1wi<jwn,i,jN)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L(A)表示，若A=2,4,6,8，则L(A)=;若数列an是等差数列，设集合A=a1,a2,a3,，am(其中mN*,m为常数)，则L(A)关于m的表达式为.三、解

6、答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2) 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.17. (本小题满分12分)n1已知函数f(x)=2sin3xcos(3汁$)+(w>0的最小正周期为4n(1) 求正实数3的值；(

7、2) 在厶ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足2bcosA=acosC+ccosA,求f(A)的值.18. (本小题满分12分)已知数列a*的前三项与数列bn的前三项对应相等，且ai+2a2+2务+2n1an=8n对任意的nN*都成立，数列b*+1b*是等差数列.(1)求数列an与bn的通项公式；是否存在kN*，使得bkak(0,1)?请说明理由.19. (本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7<xw10)时，一年的产量为(11x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护

8、环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1waw3).(1) 求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2) 当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润20. (本小题满分13分)设函数y=f(x)的定义域为(0,+I,且在(0,+上单调递增，若对任意x,y(0,+1111R都有：f(xy)=f(x)+f(y)成立，数列an满足：a1=f(1)+1,f(石)+f(+右)=2an+12an2an+12an0.设Sn=a2a2+a2a3+a2a2+a-1an+aari+1.(1)求数列an的通项公式，并求Sn关于n的表达式；设函数g(x)对任

9、意x、y都有：g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy，若g(1)=1,正项数列bn满足：bn=g(2n),Tn为数列bn的前n项和，试比较4Sn与T的大小.21. (本小题满分13分)定义F(x,y)=(1+x)y，其中x,y(0,+).(1) 令函数f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)，其图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在X0(4<X0<1)处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；(2) 令函数g(x)=F(1,log2(lnx1)ex+x)，是否存在实数x°1,e,使曲线y=g(x)在点x=X0处的切线与y轴垂直？若存在，求出X0的值；若不存在，

10、请说明理由(3) 当x,yN，且x<y时，求证：F(x,y)>F(y,x).题号12345678答案ACDCBBCD数学（理科）答案、选择题、填空题:12.-113.0,414.15.2m-39. f(x)=x110.111.(28,57三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）c11解：（1）每次取到一只次品的概率P1=CC3=4，119则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率p=c3q）2（11）=64.（5分）依题知X的可能取值为0、1、2、3.（6分）且P（X=。）=即3,399P（X=1）=聞=44，3299P

11、（X=2）=石勺勺=云，32191八P（X=3）=石荀运为=云.（8分）则X的分布列如下表：X0123P3_9_旦1444220220(10分)ex=0专+1x44+2喘+3哦=妆12分)17. (本小题满分12分)nn1解:(1)/f(x)=2sin®x(cos3xcos6sinwxs%)+(2分)=J3sinwxcoswxsin2wx+；fsin2wx1(1cos2wx片2=sin(2wx+6).(5分)又f(x)的最小正周期T=4n贝Uw=.(6分)2 w4(2)由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(

12、A+C).又A+B+C=n贝y2sinBcosA=sinB.(8分)1n而sinBO,贝VcosA=.又A(0,n，故A=3.(10分)由(1)f(x)=sin(X+，从而f(A)=sin(n><2+=sin=半.(12分)18. (本小题满分12分)解：(1)已知印+2a2+22a3+-+2n爲.=8n(nN*).n>2时，a1+2a?+2务+2n务-1=8(n1)(nN). 一得2n1an=8,解得an=24n，在中令n=1,可得aj=8=241,所以an=24n(nN*).(4分)由题意b1=8,b2=4,b3=2，所以b2b1=4,b3b2=2,数列bn+1bn的公差

13、为2(4)=2,bn+1bn=4+(n1)>2=2n6,bn=b1+(b2b1)+(b3b2)+(bnbn-1)=8+(4)+(2)+(2n8)=n27n+14(nN*).(8分)(2)bkak=k?一7k+142°：当k4时，f(k)=(k2，+2°*单调递增，且f(4)=1,所以k>4时，f(k)=k27k+1424一k>1.又f(1)=f(2)=f(3)=0，所以，不存在kN*，使得bkak(0,1).(12分)19. (本小题满分13分)解：(1)依题意，L(x)=(x3)(11x)2a(11x)2=(x3a)(11x)2,x7,10.(4分)(2

14、)因为L'x)=(11x)22(x3a)(11x)=(11x)(11x2x+6+2a)=(11x)(17+2a3x).由L'x)=0，得x=ll7,10或x=耳+仝.(6分)因为Kaw3,所以詈w口+23.1917+2a 当寸w+aw7,即卩1waw2时，L'刈在7,10上恒为负，则L(x)在7,10上为减函3 3数，所以L(x)max=L(7)=16(4a).(9分) 当7<+aw23即2<aw3时，L(x)max=L(辽+弓=27(8a)3.(12分)即当1waw2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4a)万元.当2<aw3时，则每件

15、产品出厂价为17+空元时，年利润最大，为77(8a)3万元.(13分)32720. (本小题满分13分)解：(1)当x,y(0,+g时，有f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1得f(1)=2f(1)，得f(1)=0，所以a1=f(1)+1=1.(1分)111111因为f(2T)+f(+肓)=0，所以f(厂47)=0=f(1).2an+12an2an+12an4an+14an1旷4,(3分)1an=/4n3又因为y=f(x)在(0,+上是单调增函数，所以一占=1,即亠-4an+14anan+111所以数列/是以1为首项，4为公差的等差数列，所以7=4n3,所以anan22_1_1r1-an

16、an+1=_(4n3)(4n+1)44n34n+1c111111111八0=4【11+19+齐时=11时.(5分)2由于任意x,yR都有g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy，则g(2x)=2g(x)+2x,1121121c2111-g(1)=2gq)+2(2=22g(4)+2q)+2=2g()+2+2=222g()+2&)2+22+2=23g(*)+2+；+1"=2ng&)+*+2+十+寺+2=1,1刚21=尹，即卩bn=尹.1又bn>0,bn=尹(9分)11111Tn=+孑+_+歹=1尹，又4Sn=1二2222，4n+1当n=1,2,3,4时，4n+1&g

17、t;2n,.4Sn>Tn；(10分)当n>5时，2n=C+C+Cn1+cn>1+2n+1)=1+n2+n.而n2+n+1(4n+1)=n23n=n(n3)>0，故456(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21. (本小题满分13分)解：(1)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)=x3+ax2+bx+1，设曲线C在x0(4<x0<1)处有斜率为8的切线，又由题设知Iog2(x3+ax2+bx+1)>0,f'x)=3x2+2ax+b,-3x2°+2axo+b=-8存在实数b使得-4<Xo<-132x0+axo

18、+bxo>O 有解，(3分)由得b=83x02ax°，代入得2x°ax°8<0,由22xo+axo+8>O有解，-4<xo<-1得2*4)2+a*4)+8>0或2X(1)2+a«1)+8>0,a<10或a<10,.a<10.(5分)x(2)/g(x)=(lnx1)e+x,x1g'x)=(lnx1)zx+(lnx1)(ex)+1=+(lnx1)ex+1=(+lnx1)ex+1.(6分)xx设h(x)=-+lnx1.则h，x)=吉+-=x1,xxxx当x1,e时，h'x)A0.1h(x)为增函数，因此h(x)在区间1,e上的最小值为Ini=0,即-+Inx1>0.x1，z1gx0)=(xo当X。1,e时，ex°>0,+Inx°10,xo+lnxo1)ex0+1>1>0.(8分)曲线y=g(x)在点x=xo处的切线与y轴垂直等价于方程g'x6)=o有实数解.而g'x(>6，即方程g'x6)=6无实数解.石ln(1+x)故不存在实数xo1,e,使曲线y=g(x)在点x=