难题突破专题三新定义问题

1、难题突破专题三新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.类型1新法则、新运算型Q-12017枣庄我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq(p,q是正整数，且pwq).在n的所有这种分解中，如果p,q两

2、因数之差的绝对值最小，我们就称pxq是n的最佳分解.并规定：F(n)=P.q3 例如12可以分解成1X12,2X6或3X4,因为12-1>62>4-3,所以3X4是12的最佳分解，所以F(12)=.4(1) 如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m总有f(m=1；(2) 如果一个两位正整数t,t=10x+y(1wxwyw9,x,y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3) 在所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值.例题分层分析

3、(1) 对任意一个完全平方数m设m=n2(n为正整数)，找出m的最佳分解为，所以F(nj=;(2) 设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t'，贝Ut'=，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为，进而求出所求即可；(3) 利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可.”解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键.类型2新定义几何概念型门22017金华如图Z3-1,将厶ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰BED和等腰DHC勺底边上的高线EF,HG折叠，折

4、叠后的三个三角形拼合形成一个矩形类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.rZ八ff少”c图Z3-1(1) 将？ABCD纸片按图Z3-2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG则操作形成的折痕分别是线段；S矩形AEFG:S?ABCB=如图Z3-2，四边形ABCD氏片满足AD/BCADBCABLBC(2) ?ABCD氏片还可以按图Z3-2的方式折叠成一个叠合矩形EFGH若EF=5,EH=12,求AD的长.AB=8,CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出ADBC的长.例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形

5、成的折痕,根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S矩形AEFG:SaBCD?(2) 由矩形的性质和勾股定理可求得FH=,1 1再由折叠的轴对称性质可知HD=,FC=，/AHE=，/CFG=q，从而可得/=Z再证得AEHPACGF可得，进而求得AD的长；(3) 根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求ADBC的长.*解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的.专题训练1. 2017潍坊定义x表示不超过实数x的最大整数，如1.8=1,-1.4=-2,-3=-3.函数

6、y=x12的图象如图Z3-3所示，则方程x=的解为（）HiO-图Z33A.0或2B.0或2C.1或2D.2或22. 2017莱芜对于实数a,b,定义符号mina,b,其意义为：当a>b时，mina,b=b：当avb时，mina,b=a.例如min2,1=1.若关于x的函数y=min2x1,x+3，则该函数的最大值为（）2 45A.B.1C.D.；3 33113. 2017成都在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点Rx,y），我们把点P'Q，了称为点kP的“倒影点”.直线y=x+1上有两点A,B,它们的倒影点A',B'均在反比例函数y=-的图象上.若A

7、B=22,X则k=.4. 2017齐齐哈尔经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图Z34,线段00是ABC勺“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBDAABC相似，/A=46°,则/ACB的度数为DB图Z345. 2017湖州对于任意实数a,b,定义关于“？”的一种运算如下：a?b=2ab.例如：5?2=2X52=8,(3)?4=2X(3)4=10.(1) 若3?x=2011,求x的值；(2) 若x?3<5,求x的取值范围.6. 2017义乌定义：

8、有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图Z35，等腰直角四边形ABCDKAB=BC/ABC=90°. 若AB=CD=1,AB/CD求对角线BD的长. 若AC!BD求证：AD=CD如图Z35，在矩形ABCD中,AB=5,BC=9，点P是对角线BD上一点，且BF=2PD过点P作直线分别交边ADBC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.DD图Z3-57. 2017宁波有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.11如图Z3-6，在半对角四边形ABCDK/B=勺/D,/C=-/代求/B与/C的度数之和；(2) 如图Z3-6，

9、锐角三角形ABC内接于OO若边AB上存在一点D,使得BD=BQ/OBA勺平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,/AFE=2/EAF求证：四边形DBCf是半对角四边形；(3) 如图Z3-6，在(2)的条件下，过点D作DGLOB于点H交BC于点G,当DH=BG时,求厶BGHfAABC的面积之比.图Z3-6参考答案类型1新法则、新运算型例1【例题分层分析】n(1)m=nxn1n(2)10y+xy=x+4解：(1)证明：对任意一个完全平方数m设m=n2(n为正整数)，|n-n|=0,nxn是m的最佳分解，对任意一个完全平方数m总有F(m=n=1.设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t

10、'，贝Ut'=10y+x,-1是“吉祥数”， tt=(10y+x)-(10x+y)=9(yx)=36, y=x+4,Tiwx<yw9,x,y为自然数，满足“吉祥数”的为15,26,37,48,59.32163133211(3)F(15)=-,F(26)=,F(37)=,F(48)=,F(59)=.t>>i>513378459451337593所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是4.类型2新定义几何概念型例2【例题分层分析】(1)1：2(2) 13HNFN/AHF/CFHAHECFGFC=AH解：(1)AEGF；1：2.提示：由折叠的性质，得AD=2AGT

11、S矩形AEFG=AE"AGS?abcs=AEAD,-cAE-AG,小S矩形AEFG-S?ABCD=、=1:2.AE-ADT四边形EFGH是叠合矩形，/FEH=90°, FH=EF2+EH=52+122=13.11由折叠的性质可知，HD=HN,FC=FN,/AHE=/AHF/CFG=-/CFH四边形ABCDi平行四边形， AD/BC/A=ZC/AHF=ZCFH/AHE=ZCFG/EH=FGAEHmCGFFC=AH AD=AH+HD=FC+HN=FN+HN=FH=13.(3) 本题有以下两种基本折法，如图，图.按图的折法的解法:由折叠的性质可知，AD=BF,BE=AE=4,CH

12、=DH=5,FG=CG四边形EBG是叠合正方形，HG=BG=4,:.CG=3,FG=CG=3,BF=BG-FG=1,BC=BG-FCG=4+3=7,AD=1,BC=7.按图的折法的解法:设AD=x.由折叠的性质可知，AE=EM=BE=4,MH=AD=x,DN=HN,HG=CGFC=FH1由DN=HNHG=CG贝UGN=gCD=5.四边形EFGNi叠合正方形，EF=FG=GN=5,MF=BF=3,FC=FH=x+3./B=ZEFG=/CG=90/BEF+ZBFE=ZBFEZCFG=90°,:丄BEF=ZCFGGFCoBEFFGFC即4=字,解得x=苧,454BEEF'AD=14

13、3,BC=BF+FC=3+苧+3=乎.444专题训练1. A解析由函数图象可知，当一2Wx<1时，y=2,即有x=2,此时方程无解；当一Kx<0时，y12=1,即有x=1,此时方程无解；当0<x<1时，y=0,即有x=0,此时方程为0=qx,解得x=0;当Kx<2时，y=1,即有x=1,此时方程为1=x2，解得x=2或x=,2（不在x的取值范围内，舍去）.综上可知，方程x=1x2的解为0或.2.4 52. D解析当2x1>x+3时，x>-,y=min2x1,x+3=x+3,最大值为-.3345当2x1<x+3时,XV,y=min2x1,x+3=2

14、x1,y的值都小于一.335综上，该函数的最大值为5.解析A,B两点在直线y=-x+1上，设A(a,-a+1),B(b,b+1),aB=(ab)+(a+1+b1)=2(ab)=(2p2),(ab)=4,ab=±2.1111ab两点的“倒影点”分别为A(a，1a)，b(£,匸pk1111t点A',B'均在反比例函数y=的图象上，-=k=-，二a(1a)=b(1b)，变形得(ab)(1xa1ab1bab)=0,/ab=±2,1ab=0.综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.由<ab=2，1ab=0解得由a-b2,1ab=0解得11a2=3X(

15、2)a=32,11a2=(-2)X3=4综上，k=3.4.113°或92°解析CBDAABC相似,./BCD=ZA=46设/ACB=x,则/AC=x46/ACD是等腰三角形，又/ADC>ZBCD：/ADC>ZA即AOCD若AC=AD则/AC=/AD=x46°,/46°+x46°+x46°=180°,x=113°.若AD=CD则/ACD=/A,即46°=x46°,综上所述，/ACB勺度数为113°或92°.5解：（1）根据题意，得2X3x=2011,解这个方程，得x

16、=2017.根据题意，得2x3V5,解得xV4,即x的取值范围是xv4.6解：（1）TAB=CD=1且AB/CD四边形ABCD1平行四边形，又AB=BC四边形ABCDI菱形./ABC=90°,.四边形ABCD1正方形，BD=AC=.12+12=.2.证明：如图中，连结ACBD/AB=BCACLBD/ABD=/CBD/BD=BDABDCBDAD=CD若EFLBC贝UA字EF,BFEF,四边形ABFE不表示等腰直角四边形，故不符合条件.若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5.当BF=AB时,如图，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5,/DE/BF,BP=2PD-BF：DE=2:1,二DE=2.5,AE=92.5=6.5./A+ZB+ZC+ZD=360°,3ZB+3ZC=360°,.ZB+ZC=120°,即ZB与ZC的度数之和为120°.证明：在厶BEDABEO中,BD-BQ(ZEBD=ZEBQBE=BE,BEDABEQSAS,ZBDE=ZBQE11又/BCF-ZBQEZBCF-qZBDE如图，连结QC设ZEAF-a,则ZAFE=2a, ZEFC=180°ZAFE=180°2a./QA=QC ZQAC=ZQC叶a, ZAQC=180°2a