1.4.2正弦余弦函数的图像与性质

1、 一、复习回顾 1、作函数的图象，我们在初中学过一种方法描点法。 2、（思考）如果我们仍用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算器或数学用表得来的，大多数是一些近似值，因此不易描出对应点的准确位置，因而画出的图象不够准确。怎么办呢？ 为此，我们应考虑用其它方法来作正弦函数的图象 3、在这里，我们引入一种新的画法利用三角函数线来画三角函数的图象。 那么，我们来复习一下三角函数的几何那么，我们来复习一下三角函数的几何表示表示三角函数线三角函数线。 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正弦线正弦线MPyx x

2、O-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！余弦线余弦线OM正切线正切线AT问题：问题：如何作出正弦的图象？如何作出正弦的图象？途径：途径：利用单位圆中正弦线（表示正弦）利用单位圆中正弦线（表示正弦）来解决。来解决。 步骤步骤：列表，描点，连线：列表，描点，连线1-1022322656723352yx一一. . 用几何方法作正弦函数用几何方法作正弦函数y=sin=sinx，x 0 0， 的图象：的图象：y=sinx ( x 0, )23323461166332656734356112x6yo-12345-2-3-41y

3、=sinx x0,2y=sinx xR正弦曲线正弦曲线终边相同的角的同一三角函数值相等。终边相同的角的同一三角函数值相等。图象的图象的最高点最高点(,1)2图象的图象的最低点最低点3(,1)2图象与图象与x轴的轴的交点交点)0,0()0,()0 ,2(五点作图法五点作图法函数 的图像上的关键点有哪些？sin ,0,2yx x.xyO.2 22 23 32 2xsin x22 23 32 20 0 1 0 -1 01-1二二. .用五点法作用五点法作y=sin=sinx , , x0 0, , 的简图的简图2三、作余弦函数三、作余弦函数 y=cos=cosx ( (xR) R) 的图象的图象思考

4、：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？数？cosxcosxy y x x) )2 2s si in n( ( 注：注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移向左平移 个单位长度而得到。余弦函数个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。的图象叫做余弦曲线。2 2x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 余弦函数余弦函数的图象的图象 正弦函数正弦函数的图象的图象 x6yo-12345-2-3-41向左 平移2余弦曲线余弦曲线(0,1)( ,0)2( ,-1)( ,0)23( 2 ,1

5、)正弦曲线正弦曲线形状完全一样形状完全一样只是位置不同只是位置不同余弦函数的余弦函数的“五点画图法五点画图法”(0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( , 1)2232oxy22321-1例例1、 画函数画函数y=1+sinx，x 0, 2 的简图：的简图： x sinx1+sinx2 23 0 2 010-10 1 2 1 0 1 y=sinx，x 0, 2 y=1+sinx，x 0, 2 步骤：步骤：1.列表列表2.描点描点3.连线连线yx22322-1210知识应用知识应用2 2 2 23 3 2 2 0 0 x x1 1 0 0 1 1- - 0 0 1 1 c co os

6、 sx x1 1- - 0 0 1 1 0 0 1 1- -c co os sx x- -2 2 2 23 3 2 2 O O -11 0 0, ,2 2 x x , , c co os sx xy y 0 0, ,2 2 x x , , c co os sx xy yxy练习：画出练习：画出y=-cosx , x0y=-cosx , x0，2 2 的简图的简图xy yO22122-1-112y 例例2 2、当、当x0 x0，22时，求不等式时，求不等式 的解集的解集. .1cos2x 50233，353x-1O221y y2p2p3变式变式1 1、当、当x0 x0，22时，求不等式时，求不等

7、式 的解集的解集. .1sin2x 656变式变式2 2、当、当 时，函数时，函数 的值域。的值域。sinyx11,36x思考思考：1、函数、函数y=1+sinx的图象与函数的图象与函数y=sinx的图象的图象有什么关系？有什么关系？2、函数、函数y=-cosx的图象与函数的图象与函数y=cosx的图象的图象有什么关系？有什么关系？小结小结1.体会推导新知识时的数形结合思想；体会推导新知识时的数形结合思想；2.理解解决类三角函数图像的整体思想；理解解决类三角函数图像的整体思想；3.对比理解正弦函数和余弦函数的异同。对比理解正弦函数和余弦函数的异同。 02322 232211xykk22,22:

8、单调递增区间Rxxy,sin1 , 1ykk223,22:单调递减区间观察下面图象：观察下面图象：奇函数02322 232211xyRxxy,sin1 , 1y观察下面图象：观察下面图象：:0k对称中心坐标，yx2346021-15 y=sinx (x R) 当当x= 时，函数值时，函数值y取得最大值取得最大值1；k22当当x= 时，函数值时，函数值y取得最小值取得最小值-1k22)0 ,k对称中心（2 kx对称轴：观察下面图象：观察下面图象：02322 232211xykk2 ,2:单调递增区间Rxxy,cos1 , 1ykk2,2:单调递减区间观察下面图象：观察下面图象：偶函数偶函数yx2

9、346021-15 y=cosx (x R) 当x= 时，函数值y取得最大值1；k2当x= 时，函数值y取得最小值-1k2)0 ,2k对称中心（kx 对称轴：观察下面图象：观察下面图象： 函函 数数 性性 质质y= sinx (kz)y= cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx R-1,1-1,1x= 2k时时y ymaxmax=1=1x= 2k+ 时时 ymin=-1周期为周期为T=2周期为周期为T=2奇函数奇函数偶函数偶函数在在x2k， 2k+ 上都是增函数上都是增函数 , 在在

10、x2k- ， 2k 上都是减函数上都是减函数 。(k,0)x = kx= 2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k- - 时时 ymin=-122在x2k- , 2k+ 上都是增函数 , 在x2k+ ，2k+ 上都是减函数.22232(k+ ,0)2x = k+2。x、最小值分别是什么的集合，并说出最大值最小值时的自变量写出取最大值、最小值吗？如果有，请、下列函数有最大值、例3RxxyRxxy,2sin3)2(, 1cos) 1 (大小：性，比较下列各组数的、利用三角函数的单调例41 sin()sin()18102317(2)cos()cos()54（）与与练习：练习：P40 1、

11、2、 3、4练习：练习：P40 5还有其他方法来还有其他方法来比较吗？比较吗？作单位圆用三角函数线作单位圆用三角函数线方法：利用正余弦函方法：利用正余弦函数的的最大（小）值数的的最大（小）值.2 ,2),321sin(5的单调递增区间、求函数例xxy1sin()32yx 1cos()32yx sin(),0,0,.yAx 对对于于求求的的单单调调区区间间 要要注注意意的的情情形形 将将化化为为反反: :再再处处理理思思sin(2 ).6.yx 求求函函数数的的单单练练调调递递减减区区间间习习sin(2 ).6.yx 求求函函数数的的单单调调递递变变一一增增区区间间式式,2,:62kxk结结合合图图象象 由由得得,21223kkxkZ,()21223kkkZ所所求求函函数数的的递递增增区区间间为为22sincos2 3si.ncos yxxxx如如何何求求函函数数的的单单变变式式二二调调区区间间? ?|sin(2 )|sin(2)|,66: yxyx化化为为分分析析,3sin2cos2yxx分分析析: :化化简简 得得2sin(2)6yx 即即( )2sin6.(05)(2)(0),f xx 设设函函例例全全国国数数(1)( ),;8yf xx 图图象象的的一一条条对对称称