函数第一轮复习

1、一、知识结构:1、函数的概念般地，设A, B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合中A任意一个数x,在集合中B都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 y f(x),x A.2、函数的表示方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.3、区间的定义：区间是数集的一种表示形式，具体如下：一、有限区间 (1)开区间例如:xa<x<b=(a,b)(2)闭区间例如:x|a < x& b=a,b(3) 半开半闭区间 例如:x|a<x < b=(a,b, x|a < x<b=a,b)二、无限区间

2、 例如： x | a < x = a, +8 ) x | a<x = ( a,+00 )R)是函数吗？ x | x < a = ( -00, a x | x<a =(-(-巴 + OO )思考：1. y 1(x°°, a ) x | xCR =2. y dx(x 0)是函数吗？3. y <773 <1 x是函数吗？4、函数的定义域与值域一、函数定义域：1 .函数定义域：函数自变量的取值范围。2 .函数定义域的求法：(1)含有分式的：分母不等于 。求函数的定义域。求函数的定义域，(2)含有偶次根式的：偶次方根下开方式大于等于0一加 一玄_4

3、),例2.(1)求函数卜+卜2的定义域。(2)求函数A二出了二14卜+1)。的定义域。(3)特定函数的定义与要求(对数函数，指数函数)(4)抽象函数的定义域：例3.已知/(工)的定义域为0,1,求/。)的定义域。例4.已知,(工+D的定义域为-2 , 3),求f(x 2)的定义域。二、函数的值域：1 .值域：函数值的集合叫做值域。注意：必须用集合表示。2 .函数值域的求法：(1)观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。(2)最值法：对于闭区间上的连续函数， 利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法。例1.求函数口 = -21+5戈+6的值域。例2.设xi、X

4、2为方程4x2 4m*n+2=0的两个实根，当 m=时，x，+x22有最小值例3.函数解析式的求法：(换元法或凑配法)(1)已知 f(x) x2 4x 3, f (x 1); 已知 f (x 1) x2 2x,求 f(x).三、函数单调性、奇偶性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1<x2时，都有f x1f x2 ,则f x在这个区间上是增函数；若当x1<x2时，都有f x1f x2 ,则f x在这个区间上是减函数。若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=

5、f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 7.复合函数单调性的判断.“同增异减法”，即y=f(u)增增减减u=g(x)增减增减y=fg(x)增减减增8.奇函数，偶函数: (1)偶函数：f( x) f(x) 设(a，b)为偶函数上一点，则( a,b)也是图象上一点偶函数的判定：两个条件同时满足21)定义域一定要关于 y轴对称，例如：y x 1在1, 1)上不是偶函数.f(x)12)满足 f( x) f(”或 f( x) f(x)°,若 f(x)0 时，f( X).(2)奇函数：f( x) f(x) 设(a，b)为奇函数上一点，则( a，b)也是图象上一点奇函数的判定：两

6、个条件同时满足31)定义域一定要关于原点对称，例如： y x在1, 1)上不是奇函数.f(x) 12)满足 f( x) f(x),或 f( x) f(x) 0,若 f(x) 0 时，f( x)例1.已知函数f (x)在(一1, 1)上有定义，f (2)=1，当且仅当0Vx<1时f(x)<0,且对任意x、 2y C ( 1,1)都有 f (x)+ f (y)= f ( y ),试证明：1 xy(1)f(x)为奇函数；(2) f(x)在(一1,1)上单调递减.例2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(00 ,0)内单调递增，f (2 a2+a+1)<f (3 a212

7、2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=( - ) a 3a 1的单调递减区间.2二、自我检测1、设 A=a,b,c , B=x,y,z,从 A到 B 的对应是其中是映射的是()A日C D 、2.已知函数f(x尸x 1 (x1)5则ff(一)等于x 3 (x1)2(A)593(B)5(C) 9(D) 3222121A.关于x轴对称C.关于原点对称4 .函数f (x)= V1 x x 1的图象() .1x2x 1B.关于y轴对称D.关于直线x=1对称f(x)=x 2, g(x)= ( Vx)4 D f(x)= I x |5 .下列四组函数f(x)、g(x)表示同一函数的是()A、f(x

8、)=1, g(x)= B、f(x)=1 , g(x)=x 0xg(x)=, x23x x26 .已知f (x),则函数f (x)的7E乂域为()|x 1 | 1(A) 0, 3(B) 0, 2)(2,3(C) (0, 2) (2,3(D) (0, 2)(2, 3)27 .已知 f (3x) 2x 1 ,求 f (x)8 .(1) f(x)在其定义域(1,1)上单调递增，且f(a 1)f(1 a2),求a的取值范围。3(2)求证函数f(x)二二-在区间(1 , +00)上是减函数.(x2 1)2x x 29 .已知函数 f(x)=a+ ( a>1).x 1(1)证明：函数f(x)在(一1, +°°)上为增函数.(2)用反证法证明方程 f(x)=0没有负数根.