工期网络图的时间——费用优化

1、某施工单位提交的一项目的网络计划资料如表1 所示。如下：活 动紧前 活动正常作业时间（单位：天）最短时间 tti乐观时间 ai最可能时间mi悲观时间 bi正常作业期望时间ti作业时间方差2 i正常期望时间对应直接费用（ 百元）l i直接 费用 （百 元） fi直接费用率ki13333012433CA44105124424DB55116124415MA,B31011916/9129126EC,M6666034727GC,M2910816/957838HD,E13534/9636求： （ 1 ） 每项活动按正常平均时间作业，请绘制相应的网络计划图，指出此时的关键线路（在图

2、上用双色线或色笔标出），并计算出工期。（ 2）接（1） ，如果考虑外部影响导致每项活动作业时间发生的随机波动（见表1 中悲观时间和乐观时间所在列），那么该项目完工概率要达到90%以上，则该工程工期不低于多少天？（ 3）接（1） 。施工单位经分析后，考虑有些工作可适当赶工（见最短时间所在列），并估算出各工作每赶工1 天所需增加的费用（直接费率，见表1 最后一列），间接费用为每天9 百元。给出增加赶工费最少的方案（要求写出每步调整的工作，调整的天数及最后方案的网络计划，并在最后方案的网络计划中标出关键线路）。（ 4）请建立第（3）问对应的线性规划模型。解： （ 1 ）以各工作的正常作业期望时间为工

3、序时间，绘制网络图如下：444 4 044344301310044413498 1314 13 04 13E13 194 41D3910619 1913 19 103413 2114 22事件 i 时间参数标记：i 最早时间tE（i）；事件 i 最迟时间tL（i）19 22双代号网络图的绘图原则如下：（ 1）网络图是有方向的，不允许出现回路，不允许出现从右到左的箭头。（ 2）直接连接两个相邻节点之间的活动只能有一个，如果实在要表示并列关系可用虚 工序。3）箭线首尾必有节点，不能从箭线中间引出另一条箭线。（ 4）网络图必须只有一个网络始点和一个终点。（ 5）各项活动之间的衔接必须按逻辑关系（紧前

4、关系、紧后关系）进行。（ 6）事件节点采用数字编号，在同一网络图中不允许重复使用，每条箭线箭头节点的编号（ J）必须大于其箭尾节点的编号（I ） 。（ 7）尽量避免箭线交叉（采用过桥法或指向处理法）。（ 8）标注出各项工作的准确历时或时间期望值。（ 9）虚工序用虚箭线表示，仅表达一种工作顺序的先后依赖关系，有两种作用：如果 a 工序到 b 工序之间顺着箭头方向仅隔一个虚工序，则a 仍是 b 的紧前活动。如果a、b、 c 三个活动共用一个开始节点i ， 则可用虚工序表示这三个活动并行展开且三者都是末端活动。各活动的正常作业期望时间ti=（ai+4mi+bi）/6， 方差2i=（bi-ai）2/3

5、6， 计算见表1 第 7、 8列。以活动 M 为例，计算如下：t5=（a5+4m5+b5）/6=（3+4 1×0+11）/6=9， 25=（11-3）2/36=16/9。用图上计算法求出各事件时间参数，然后再求出各工作时间参数，计算结果如上图所示。其中总时差为0 的活动组成关键路线（如上图红色箭线所示）： , ；该项目期望完工工期为22 天。 （提问： 某工序开始节点和结束节点的最早时间与最迟时间相等， 它就一定是关键活动吗？答：不一定。比如图中的G活动满足该条件但不是关键活动。）（ 2）该工程按期望时间完工的工期TE 22 天，等于各关键活动期望完工时间之和=4+0+9+6+3）。

6、期望总工期的均方差Ei2j1 0 16/9 0 4/9 1.79505。假设工程工期 5Tk服从正态分布N（22,1.795055 2） ，则完工的概率保证不小于90%的计算表达式为：P（U） P（TK TE） P（TK 22） 09。计算得到，Tk 24.3 25（天 ）E 1.795055 .（ 3）直接费用率Ki =（f i-l i）/（t i-tt i）, 如 A的直接费用率K1=（16-4）/（4-2）=6百元 /天。时间费用优化方法：【优化原则】优化时，首先选择赶工费用率最低的关键活动进行赶工，非关键活动不需要赶工因为还可利用总时差；每赶工 1 天 （单独某活动赶工或者各关键活动同

7、时赶工）增加的直接费用不超过单位间接费用，否则不值得赶工（原则1 和原则 4 得以反映）。每一次允许的压缩时间以符合以下全部原则为限度。原则1 ：该关键活动赶工费用率不大于单位间接费用，否则不值得压缩；原则2：关键活动实际压缩时间不大于自身赶工可压缩时间极限；原则 3：压缩允许时间不大于关键路线与次关键路线的工期之差。（理由：优化只能使关键路线增多，而不能使之越来越少）；原则 4：须同时压缩的各并列关键活动赶工费用率之和不大于单位间接费用，并且不超过各并列关键活动的赶工压缩时间极限。第一步：在关键路线上，直接费用率最低的工作是E（ 2=min（6,2 ） <9， 原则 1），它自身可以赶

8、工2 天（ =6-4， 原则2） 。次关键路线是 , 和 , ，时间长度都为 21 ，决定了关键路线这一步只能赶工1 天（ =22-21 ， 原则3） 。因此，工作E 赶工 1 天 （=min（1,2） ，剩余赶工时间为1 天（ =2-1 ） 。这时，关键路线变为两条： , ， , ，工期都为 21 天，工作G的 1天时差用完而成为关键活动；次关键路线为 , 和 , ，时间长度都为 20 天。第二步：在上一步赶工以后得到的两条关键路线上，直接费率最低的工作仍是E（ 2=min（6,2,3 ） <9原则 1），其并列关键活动G自身允许赶工1 天（ =8-7 ， 原则 4 后半句 ） ，因此

9、 E 和 G同时赶工 （ 2+3<9, 原则 4 前半句 ） 1 天 （=min（1（ 原则 2）,8-7,21-20 （ 原则3） ） ，之后 E 不能再赶工（0=1-1 ） ； G 不能再赶工。这时，关键路线仍为 , ， , ，工期都为 20 天。次关键路线为 , 和 , ，时间长度都为 19 天。第三步：在上一步赶工以后得到的两条关键路线中，工作E、 G、 H、 M、, 都不能再赶工，唯有工作A可以赶工（6<9， 原则 1），它自身可以赶工2 天 （=4-2, 原则 2），但次关键路线决定了它只能赶工1 天 （=min（4-2,20-19 （ 原则3） ） ， 之后 A的赶工

10、时间还剩余1天（ =2-1 ） 。这之后，关键路线变为四条： , 、 , 、 , 以及 , ，工期都为 19 天。次关键路 线为两条：和，时间长度都为 15 天。第四步：在上一步赶工以后得到的四条关键路线中，工作E、 G、 H、 M、, 、,都不能再赶工，关键 A 和 B 同时赶工（6<9 ， 3<9 原则 1 ； 6+3=9, 原则 4 前半句 ）1 天（ =min（1（ 原则 2）,3-2（ 原则 4后半句 ）， 19-15 （ 原则3） ） ），则总费用不变但工期缩短了。赶工以后，关键路线仍是上一步中所述的那四条。第五步：在四条关键路线中，所有关键活动都不能再赶工，所以优化过

11、程结束。综上所述，在第四步赶工优化以后，各工作的正常工作时间（同原始数据）和赶工后的实际工作时间（见括号中的数字），以及 4 条关键路线（ 见图中红色箭线） 如下图所示。5 G4(2)6(4)(4-2)× 6+(3-2) × 3+(6-4)× 2+(8-7)× 3=22(百元)，导致间接费用节约额（22-18） × 9=36（百元），所以该项目的总费用降低了14 百元（=36-22）。因此，优化后的总费用TC1=TC0-14=22 × 9+li-14=198+（4+1+2+2+12+3+5+6）-14=219 （百元） 。（ 4） 设

12、节点 i 的实际开始时间为第tj+1 天初，t7为项目的最早完成时刻；设工序 （ ij）实际的赶工压缩时间为yij天。min z 9t7 6y12 3y13 2y25 y36 2y56 3y574 1 2 2 12 3 5 6t10,t7 22t2t1y12 4, y124- 2t3t1y13 3, y133-2t5t2y25 5, y255-4t6t3y36 6, y366-4t4t20, y240s.t. t4t30, y34 0t5t4y459,y459- 9t6t5y566,y566-4t7t5y576,y578-7t7t6y67 3, y673-3 tj 0 j 1,2,L ,7 y

13、ij 0 i和 j取值见上述条件中出现过的变量习题 2：样题：已知下列资料，见表1 所示：表1活动期望作业时间/天紧前活动赶工后最短完成时间/ 天赶进度一天所增 加的直接费用 (元)乐观时间 /天悲观时间 /天最可能时间 / 天A B C D5265A、 BA3144600200300100414163106525.55.75工程的间接费用500(元/天)要求：1. 请画出该工程的工期网络图(试题比本题略复杂，考单代号网络图绘制)。2. 在图上求出所有事件、活动的各种时间参数(自由时差可以不求)，以图例标注各种 参数符号。3、请算出在12 天以内完工的概率。若完工概率不低于90%，则工期可为多

14、少天？4. 如果要求缩短两天，应该对哪些活动进行赶工？对上述赶工的经济效益进行分析。( 考试题还没有这一问难)解： 1. 该工程按各活动期望时间安排的双代号工期网络图，如图1 所示。50B 工作最早完成时间是2，其紧后活动C 最早开工时间为5，所以B 活动的自由时差为3(=5-2)。 见红色字体标记。0B03325530055D 5 6110 115555C55011111111TE(i)节点 i 的结 束时间TL(i)节点 i 的开 工时间活动代号(i,j)最早开工时间ES(i,j)最迟开工时间LS(i,j)活动总时差TF(i,j)最早完工时间EF(i,j)最迟完工时间LF(i,j)图 1

15、工期网络 “箭线图”及时间参数图解2. 该工程的单代号网络图如下：002 工期网络“前导图”及时间参数图解时间参数的图例说明如下：ESDUEFIDLSTFLF其中，ES、 EF、 LS、 LF、 TF 分别表示最早开始时间、最早结束时间、最迟开始时间、最早结束时间、总时差；DU表示工作历时；ID 表示工作代号。2、求解见图1 或者图 2。关键路线由总时差为零的活动、组成（或者：开始A C结束）。正常工期11 天。3、×（这一问可能在选择题中考查，课本113-115 页有相应的知识点）计算举例：表1 中 C活动的期望时间为6 天，因为6=（4+4× 5.5+10 ）/6 ；A

16、活动时间方差：（6-4） 2/36=1/9 ； C活动时间方差：（10-4） 2/36=1由第 2 问已经求出了关键路线是 , ，即关键活动是 A活动、虚工序、C活动。整条关键路线的时间方差 = A+ C=1/9+1=10/9 ，于是其标准差为天。关键路线的期望长度= A+0+ C=5+6=11 天。因此， 12 天之内完工的概率P（ t 12） =P =P（0.9487）=82.86% （查正态分布表）；设 x天之内完工的概率P =0.9，查正态分布表可得出=1.2816 ，因此 x=1.2816×+11 12.3513天。4、第一步：次关键路线是（或者：开始AD结束），时间长度为

17、10，决定了关键路线这一步最多只能赶工1 天 （ =11-10） 。在关键路线上，活动A、 C的直接费用率分别为600、 300，但只有后者不超过间接费用率500，活动 C可以赶工2天（ =6-4） 。所以， 活动C赶工1 天 （=min（1,2） ，剩余赶工时间为1 天（ =2-1 ） 。这时，关键路线变为两条：（或者：开始A D结束）， , （或者：开始A C结束） ， 工期都为10 天， 工作 D的 1 天时差用完而成为关键活动；次关键路线为 （或者：开始B C结束），时间长度为7 天。关键路线和次关键路线时差为3 天。第二步，在上一步赶工以后得到的两条关键路线上，D 活动直接费率最低（

18、100=min（300,100） ） ， 它可以赶工1 天 （=5-4） ， 其并列关键活动C还可赶工1 天， 而且若二者同时赶工直接费用率之和400（=100+300） 不超过间接费用率500, 因此 D和 C同时赶工1 天（=min（3,5-4,6-1-4） ，之后 C和 D都不能再赶工（0=1-1 ） 。此后，关键路线仍为,（或者：开始AC结束）、（或者：开始A D结束）， 工期都为9 天 。次关键路线为（或者：开始BC结束），时间长度为6天。至此，关键活动A、 C、 D 都不能再赶工，已经达到缩短工期2 天的要求。总成本最大下降幅度=（11-9） × 500-（6-4） &#

19、215; 300+（5-4） × 100=300 元。附录1、双代号网络图的绘图原则如下：（ 1）网络图是有方向的，不允许出现回路，不允许出现从右到左的箭头。（ 2）直接连接两个相邻节点之间的活动只能有一个，如果实在要表示并列关系可用虚工序。（ 3）箭线首尾必有节点，不能从箭线中间引出另一条箭线。（ 4）网络图必须只有一个网络始点和一个终点。（ 5）各项活动之间的衔接必须按逻辑关系（紧前关系、紧后关系）进行。（ 6）事件节点采用数字编号，在同一网络图中不允许重复使用，每条箭线箭头节点的编号（J）必须大于其箭尾节点的编号（I ） 。（ 7）尽量避免箭线交叉（采用过桥法或指向处理法）。（ 8）标注出各项工作的准确历时或时间期望值。（ 9）虚工序用虚箭线表示，仅表达一种工作顺序的先后依赖关系，有两种作用：如果 a 工序到 b 工序之间顺着箭头方向仅隔一个虚工序，则a 仍是 b 的紧前活动。如果a、b、 c 三个活动共用一个开始节点i ， 则可用虚工序表示这三个活动并行展开且三者都是末端活动。2、时间费用优化，即如何赶工需要综合考虑的几个原则，如下：在关键路线上，选择赶工费用率（即直接费用率）最低的活动，首先看其赶工费用率是否不超过每天的间接费用，如果是那么它值得赶工；否则，会导致总费用增加。是否值得赶工，还要看其与之并列的关键活动，即该活动的赶工费用