三角形的证明

1、三角形的证明基本方法：1 、 逆推综合法：从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”2、分析法： 有时， 这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”3、综合分析法：顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。基本思路 1 、当条件都满足时，结合已知条件，顺推论证2、当问题的条件不够时：添加辅助线构成新图形? 形成新关系? 使分散的条件集中? 建立已知与未知的桥

2、梁? 把问题转化为自己能解决的问题。这是证明题目常用的基本思路。1 、不等关系： 基本定理：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在同一个三角形中大角 对大边 基本思路：通过构造全等、平移或者截取的方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上 基本定理来证明。例 1： 已知： 如图， P 是ABC内任一点，求证：AB+AC> BP+PC。如图，延长BP 交 AC 于点 D 在 BAD 中 AB+AD>BD即： AB+AD>BP+PD 在 PDC 中， PD+DC>PC 得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC 即 AB+AC>BP+PC例 2 如图A

3、D 为 ABC的中线，求证：AB AC> 2AD。分析：要证ABAC>2AD，由图想到：ABBD>AD,ACCD>AD，所以有ABACBDCDAD AD 2AD， 左边比要证结论多BD CD， 故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至 E，使DE=AD，连接BE，则AE 2ADAD为ABC的中线（已知）BD CD （中线定义）在ACD和EBD中BD CD（已证）ADCEDB（对顶角相等）AD ED （辅助线的作法）ACDEBD （ SAS） BE CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB B

4、E> AE（三角形两边之和大于第三边） AB AC> 2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）例 3： 如图AD为ABC的中线，且12，34，求证：BE CF> EF证法 1：延长ED至 M，使DM=D，连接ECM， MF。在BDE和CDM中，BD CD（中点的定义）1 CDM （对顶角相等）ED MD （辅助线的作法） BDECDM （ SAS） BE=CM又 12，34（已知）1234 180°（ 平角的定义） 32=90°，即： EDF 90° FDM EDF 90°在EDF和MDF中ED MD （辅助线的作法） EDF FDM

5、 （已证）DF DF （公共边） EDFMDF （ SAS） EF MF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CF CM> MF（三角形两边之和大于第三边） BE CF> EF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。证法 2：分析： 要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE， CF， EF移到同一个三角形中，而由已知1= 2，3= 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN， FN， EF 移到同个三角形中。证明：在DA上截取DN=DB，连

6、接NE， NF，则DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（辅助线作法） 1= 2（已知）ED=ED（公共边）DBE NDE（ SAS） BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在EFN中 EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） BE+CF>EF。注意： 当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素:例 4：已知如图：在ABC中，AB>AC，1= 2， P为 AD 上任一点求证： AB-AC>PB-PC分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证

7、的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。证明： （ 截长法）在 AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中AN=AC（辅助线作法） 1= 2 （已知）AP=AP（公共边）APNAPC（ SAS） , PC=PN（全等三角形对应边相等）BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）BP-PC<AB-AC延长AC至 M，使AM=AB，连接PM，证明： （ 补短法）在 ABP和 AM中JB=AM（辅助

8、线作法）<Z 1 = Z2 （已知）AP=AP（公共边）， AB 眸 AMP（SA9PB=PM（全等三角形对应边相等）又在 PCW 有：CM>PM-P*角形两边之差小于第三边 ）AB-AC>PB-PG2、相等关系:A加倍延长中线/B=30°, AD 平分 ZBAC，交 BC 于例1:如图，已知在 ABC中，/C=90",点D.求证：BD =2CD证明：延长 DC到E,使得 CE=C型结 AE/ C=90ACXCD-.CD=CE.AD=AE/ B=30 Z C=90 . / BAC=60'. AD 平分/ BAC.Z BAD=30DB=DA Z AD

9、E=60 °/ ADE=60 AD=AE.ADE为等边三角形.AD=DEDB=DA.BD=DEBD=2DC（2）如图，D是 MBC的边BC上的点，且 的中线。求证：AC =2AE o证明：延长 AE到点F,使得EF=AE联结DFCD =AB , ZADB = /BAD , AE 是 AABD在 ABE 和 FDE 中BE =DE AEB= FED AE=FE ABE FDE（ SAS） AB=FD ABE= FDE AB=DC FD = DCADC= ABD+ BADADB BADADC=ABD+BDAABE=FDEADC=ADB+FDE即 ADC = ADF在ADF 和ADC中AD

10、=AD ADF = ADCDF =DCADF ADC(SAS) AF=AC AC=2AE小结 :熟悉法一、法三 “倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型 ”和 “倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。练习：如图所示，AD 是 ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交AD 于 F，且AC=BF。求证：AE=EF。证明：延长AD 至点G，使得DG=AD，联结BD在 ADC 和 GDB 中AD=GD ADC= GDBBD=DC ADC GDB（ SAS）得 AC= BG CAD = BGDAC=BF. BG= BFZ BFG&qu

11、ot; BGF Z CAD =Z BGDZ BFG= Z CAD/ BFG=ZAFEZ AFE=Z FAE .AE =AFB、借助角平分线造全等如图，已知在 ABC中，Z B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0D 证明：在AC上截取AF=AE在乙 ABC 中，Z B+Z BAD+Z ACB=180 Z B =60 ./ BAD+Z ACB=120 . AD 平分/ BAG中Z BAC= 2/ OAC. CE 平分/ ACBZ ACB= 2/ ACO 2Z OAC+2Z ACO=120(ASA) .Z OAC+Z ACO=60° Z AOE=

12、Z OAC+Z ACOZ AOE=60° 在4 AOE 和 AOF 中AE=AFZ EAO=Z FAOAO = AO.'.A AOE AOF (ASA)Z AOE=Z AOEOE=OF Z AOE=60Z AOE+Z AOE+Z FOC=180ZF0C=60 Z AOE=Z CODZ COD=60 在COD和 ACOF'Z DCO =Z FCOV、 co=co、/D0C4F0C.CO g/OF-.OD =OF , OE=OF .OE=OD如图，ABC 中， BAC=90 度，AB=AC， BD 是 ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE 交

13、BA 的延长线于F求证：BD=2CE证明：延长BA， CE 交于点F，在 BEF 和 BEC 中，1= 2， BE=BE，BEF= BEC=90°， BEF BEC，EF=EC，从而CF=2CE。又 1+ F= 3+ F=90°，故1= 3。在 ABD 和 ACF 中，1= 3， AB=AC，BAD= CAF=90°， ABD ACF， BD=CF，BD=2CE。【小结】解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。C 旋转例1：如图，已知 ABC=DBE=90°，DB=BE，AB=BC（1）求证：AD=CE，AD CE （2）

14、 若 DBE 绕点 B 旋转到 ABC 外部，其他条件不变，则（ 1 ）证明：如图1ABC=DBE=90°，ABC-CBD=DBE-DBC，即ABD=CBE在ABD和CBE中AB BC(1)中结论是否仍成立?请证明ABD CBEBDBEABDCBE（ SAS），AD=CE，BAD=BCEAGB与CGF是对顶角，AGB=CGFBAD+AGB=90°，GCF+CGF=90°，CFG=90°，AD CE；（ 2） AD=CE， AD CE，理由如下如图2：ABC=DBE=90°，ABC+CBD=DBE+DBC，即ABD=CBE在ABD和CBE中AB

15、BCABD CBEBD BE例 2 .如图在Rt ABC 中 ,AB=AC, BAC=90 ° ,O 为 BC 中点 . （1）写出 O 点到 ABC 三个顶点 A、 B、 C 的距 离关系（不要求证明） （2）如果M 、 N 分别在线段AB 、 AC 上移动,在移动过程中保持AN=BM, 请判 断 O M N 的形状,并证明你的结论（ 1 ）在Rt ABC中，BAC=90°，O为 BC的中点， OA= 1/2 BC=OB=OC 所以 OA=OB=OC（ 2）OMN是等腰直角三角形理由如下：连接 AOAC=AB， OC=OB OA=OB，NAO= B=45°，在

16、AON与BOM中AN=BME ，求证;AB AC+BDNAOB=OA=OBAONBOM（ SAS）ON=O，M NOA= MOBNOA+ AOM= MOB+ AOMNOM= AOB=90°，OMN是等腰直角三角形D、截长补短例 1 如图，AC BD， EA,EB 分别平分 CAB, DBA， CD 过点分析 ： 此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。 但无论延长还是截取都要证明线段的

17、相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF在 ACE 和 AFE 中ACEAFE（ SAS）1. AC/ BQ. ./C+/D =闻口.Z5+Z6=180°6=Z DI/6 = /D；Z3 = Z4Dff _ DE,pA EFBA BDE中1 一. EFEA EDB( AA3.FB=DB，AC+BD=AF+FB=AB法二：如图(2),延长BE,与AC的延长线相交于点 F. AC/ BD=Z4.23= N4F=Z 3t4 = N3AE = AAEFA AEB(AA5 .AB=AR

18、 BE=FEZ5=Z6BE = FEZ4 = Z . BEtA FEC( ASABD=FC AB=AF=AC+CF=AC+BD例 2 如图，在 AABC 中，/ABC=60° , AD、CE 分别平分 / BAC、Z ACB,求证：AC=AE+CD证明：在 AC上取AF=AE连接OF. AD平分/ BAG . / EAON FAQ在 AESfAFO中，AE AF EAO FAOAO AOAEOAFO( SAS)，AOE= AOF； AD、 CE分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=0.5ACB+0.5BAC=0.5(ACB+BAC)=0.5 ( 180° -B)=60°则AOC=180° - ECA- DAC=120°；AOC= DOE=120°，AOE= COD= AOF=60°，则COF=60°，COD= COF，在FO