解析函数的级数表示ppt课件

1、1. 复数列的极限复数列的极限 设设an =an+ibn(n=1,2,.)为一为一复数列复数列, 又设又设a = a+ib 为一确定的复数为一确定的复数. 假如假如nnlim则称复数列则称复数列an 收敛于收敛于a.第四章第四章 级数级数1 复数项级数复数项级数定理定理bbaannnnlim,limnnlim存在的充要条件是存在的充要条件是2. 级数概念级数概念 设设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列为一复数列, 表达式表达式nnn211称为无穷级数称为无穷级数.sn=a1+a2+.+an 称为级数的部分和称为级数的部分和. 部分和数列部分和数列sn收敛收敛.1nn收敛收敛limn

2、nss 存存在在, , 1nn=1.s且且11nnnnnaib1nna与与1nnb. 0lim, 0lim, 0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbaba收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数 2收敛收敛收敛收敛 3成立且不等式也收敛则收敛如果1111|,|nnnnnnnn.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果nnnn 4 因为因为 的各项都是非负的实数的各项都是非负的实数, 所以它所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定的收敛也可用正项级数的判定法来判定.1|nn例例1 下列数列是否收敛下列数列是否收敛? 如果

3、收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.11)1;innen解解 因因1111cossin111cos,1sin.lim1,lim0innnnnnnneinnnnabnnnnab11lim1innnen收收, ,且且有有解解由于由于 an=n cos in=n ch n,2)cos.nnin因而因而, 当当n时时, an. 所以所以an发散发散.解解2111133 12222nnnSii1limlim3 132nnnnSii133 .2nnii132nni例例2 级数级数 是否收敛？是否收敛？例例3 下列级数是否收敛下列级数是否收敛? 是否绝对收敛是否绝对收敛?111)1;ninn解解 因因 发

4、散发散 ; 收敛收敛,111nnnan2111nnnbn故原级数发散故原级数发散.0(8 )2);!nnin 由正项级数的比值审敛法知由正项级数的比值审敛法知 (8 )8,!nninn18!nnn解解故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.收敛收敛, 为条件收敛为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.1( 1)nnn112nn1( 1)nnn1( 1)13)2nnnin收敛收敛;解解也收敛也收敛,故原级数收敛故原级数收敛.练习：讨论练习：讨论 的收敛性。的收敛性。1nnin1. 幂级数的概念幂级数的概念 设设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数为一复变函数序列

5、序列,其中各项在区域其中各项在区域D内有定义内有定义.表达式表达式) 1 . 2 . 4()()()()(211zfzfzfzfnnn称为复变函数项级数称为复变函数项级数. 2 幂级数幂级数sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为级数的部分和称为级数的部分和.存在存在, 则称复变函数项级数则称复变函数项级数(4.2.1)在在z0收敛收敛, 而而s(z0)称为它的和称为它的和. 如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛, 则它的和一则它的和一定是定是 z 的一个函数的一个函数s(z):s(z) = f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果对于如果对于D内的某一点内的某一点z

6、0, 极限极限)()(lim00zszsnn1( )nnfzs(z)称为级数称为级数 的和函数的和函数当当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或或fn(z)=cn-1zn-1时时, 得到幂级得到幂级数数:2012020120()()()()(4.2.2)(4.2.3)nnnnnnnnnnczacc zac zaczac zcc zc zc z或或0nnnc如果令如果令z-a=z, 那么那么(4.2.2)成为成为 , 这是这是(4.2.3)的形式的形式, 为了方便为了方便, 今后常就今后常就(4.2.3)讨论讨论.定理一定理一 (阿贝尔阿贝尔Abel定理定理).,|,|,)0(00000级数必发

7、散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzzcnnnyz0 xO证nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|, 1|,|, 0lim,而则如果有使对所有的则存在则收敛因.|,1|000000是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzciii) 存在存在a 0, |z|0 ,

8、 |z| b 时时, 级数发散级数发散.2. 收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径幂级数的收敛情况不外乎三种幂级数的收敛情况不外乎三种:对所有的正实数都是收敛的对所有的正实数都是收敛的. 这时这时, 根据阿贝尔根据阿贝尔 定理可知级数在复平面内处处绝对收敛定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除对所有的正实数除z=0外都是发散的外都是发散的. 这时这时, 级级 数在复平面内除原点外处处发散数在复平面内除原点外处处发散.显然显然a1, 所以原级数在收敛圆所以原级数在收敛圆上是处处收敛的上是处处收敛的. . 2) 1(1)nnzn, 1limlim11nnnncncn, 即即 R=

9、1. 在收敛圆在收敛圆|z1|=1 上上, , 当当 z=0 时时, , 原级数成原级数成为为11( 1)nnn, 级数收敛级数收敛; ; 当当 z=2 时时, , 原级数原级数成为成为11nn, 发散发散. . 这个例子表明这个例子表明, , 在收敛在收敛圆周上即有级数的收敛点圆周上即有级数的收敛点, ,也有级数的发也有级数的发散点散点. . 3) 因因为为 1cosch()2nnncinnee, 所所以以 111limlimnnnnnnnnceeecee 故故收收敛敛半半径径 1Re. 例例2 求幂级数求幂级数nnnzzzz201) 1( ,1112zzzzzzsnnn解解 级数实际上是等

10、比级数级数实际上是等比级数, 部分和为部分和为的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当 象实变幂级数一样象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行复变幂级数也能进行有理运算有理运算. 设设2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn在以原点为中心在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径中较小的一个为半径的圆内的圆内, 这两个幂级数可以象多项

11、式那样进行这两个幂级数可以象多项式那样进行相加相加, 相减相减, 相乘相乘, 所得到的幂级数的和函数分所得到的幂级数的和函数分别就是别就是f(z)与与g(z)的和的和,差与积差与积. 4. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn更为重要的是代换更为重要的是代换(复合复合)运算运算.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz时则当解析且满足内又设在时如果当这个代换运算

12、这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时在把函数展开成幂级数时, 有有着广泛的应用着广泛的应用.例例 3 把函数把函数bz 1表成形如表成形如0()nnnc za的的幂级幂级数数, , 其中其中 a 与与 b 是不相等的复常数是不相等的复常数. 解解 把函数把函数bz 1写成如下形式写成如下形式: nnabazabazabazababazababazbz)()()()()()(1111)()(11322 收敛半径为收敛半径为 R=|ba|. Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛定定理理 设设幂幂级级数数0()nnnc za的的收收敛敛半半径径为为 R,则则 1)它它的的和和函函数数0(

13、)()nnnf zc za是是收收敛敛圆圆|za|R 内内的的解解析析函函数数. 2) f(z)在在收收敛敛圆圆内内的的导导数数可可将将其其幂幂函函数数逐逐项项求求导导得得到到, , 即即11( )().nnnfznc za 3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即 010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzf或1. 1. 解析函数的解析函数的TaylorTaylor展开展开定理定理(Taylor)(Taylor)：内内解解析析，在在区区域域设设函函数数Dzf)(数数：内内可可展展开开成成唯唯一一的的幂幂级级在在则则Czf)(

14、00)()(nnnzzCzf级数级数的的在在称为称为Taylor0zzf)(级级数数时时称称为为Maclaurin00z其中其中!)()()(210)(10nzfdzzzzfiCnCnn), 2 , 1 , 0(n.,DzzCDz003 泰勒级数泰勒级数证明：（见图）证明：（见图）z0zcD,0zzzCdzfizf)(21)()(1100zzzz0001)(1zzzz00001nnzzzz100zzz Cnnndzzzfi0100)()(21Cdzfizf)(21)()(max,)()(0100fMzzMzzzfCnnn1000zzzzMnn收收敛敛，.)()(0100内闭一致收敛在关于Czz

15、zfnnn逐项积分：逐项积分：0010)()()(21)(nnCnzzdzfizf000)(nnnzzzzC，).,(!)()()()(无关无关与与znzfdzzzzfiCnCnn01021得得任任意意性性知知，）由由2圆周的半径可以任意增大圆周的半径可以任意增大, 只要含在只要含在D内内. 因此如果因此如果f(z)在在z0解析解析, 则使则使f(z)在在z0的泰勒展的泰勒展开式成立的圆域的半径开式成立的圆域的半径R等于从等于从z0到到f(z)的距的距z0最近一个奇点最近一个奇点a的距离的距离, 即即R=|a-z0|. 注注:1) 泰勒展开式是唯一的泰勒展开式是唯一的;z0zcDOxyz0这是

16、因为这是因为f(z)在收敛圆内解析在收敛圆内解析, 故奇点故奇点a不可不可能在收敛圆内能在收敛圆内. 又因为奇点又因为奇点a不可能在收敛圆不可能在收敛圆外外, 不然收敛半径还可以扩大不然收敛半径还可以扩大, 因此奇点因此奇点a只只能在收敛圆周上能在收敛圆周上.推论推论1 1：解解析析在在函函数数0zzf)(的幂级数的幂级数的某邻域内可展开为的某邻域内可展开为在在00zzzzf)(解解析析在在区区域域函函数数Dzf)(的幂级数的幂级数内任一点处可展开为内任一点处可展开为在在0zzDzf)(推论推论2 2：解解析析，在在区区域域设设函函数数Dzf)(),(,DzdistRDz00的幂级数的幂级数内

17、可展开为内可展开为在在则则00zRzzzf)(推论推论3 3：幂级数的和函数在其收敛圆周上：幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点至少有一个奇点( (即使幂级数在其收敛圆即使幂级数在其收敛圆周周上处处收敛上处处收敛 ). ). 例如：例如：,)(0261nnnzCzzzf ; 2R则则其其收收敛敛半半径径 ,)()(0261nnnizCzzzf 5R则则其其收收敛敛半半径径2. 2. 解析函数展开为解析函数展开为TaylorTaylor级数的方法级数的方法!)(0)(nzfCnn), 2 , 1 , 0(n间接法：利用函数的各种特殊性以及幂间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算与性质

18、级数的运算与性质 主要有：主要有：利用几何级数利用几何级数利用已知的级数；利用已知的级数；逐项求导、逐项积分；逐项求导、逐项积分；待定系数法待定系数法直接法直接法:直接计算直接计算例例2 2 .)()(展开式展开式的的在在求求Taylor112iazzzfiaiaR,minizizizf112)(iaaziaazi112iaaziaiaaziai1)(11)(1200) 1()(1) 1()(12nnnnnniaaziaiaaziai011)()(1)(1) 1(2nnnnnaziaiai解解: :.Raz例例3 求对数函数的主值求对数函数的主值ln(1+z)在在z=0处的幂级处的幂级数展开式

19、数展开式.1OR=1xy解解 ln(1+z)在从在从-1向左沿负实轴剪开的平面向左沿负实轴剪开的平面内是解析的内是解析的, -1是它的奇点是它的奇点, 所以可在所以可在|z|1展展开为开为z的幂级数的幂级数.|)()ln(,d)(ddd,)( )ln(111321111111113200000znzzzzzzzzzzzzzzznnznnzzznnn即即逐项积分得逐项积分得因为因为01111lnnnnnzz 在实变函数中有些不易理解的问题在实变函数中有些不易理解的问题, 一一到复变函数中就成为显然的事情到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实例如在实数范围内数范围内, 展开式展开式242211(

20、 1)1nnxxxx 的成立必须受的成立必须受|x|1|x|1的限制的限制, , 这一点往往使这一点往往使人难以理解人难以理解, , 因为上式左端的函数对任何因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的实数都是确定的而且是可导的. . 而如果把函数中的而如果把函数中的x换成换成z, 在复平面内在复平面内来看函数来看函数211z它有两个奇点它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函而这两个奇点都在此函数的展开式数的展开式 1-z2+z4-的收敛圆周上的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只所以这个级数的收敛半径只能等于能等于1. 因而因而, 即使我们只关心即使我们只关心z的实数值的实数值, 但

21、复平面上的奇点形成了限制但复平面上的奇点形成了限制.4 洛朗级数洛朗级数 一个以一个以z0为中心的圆域内解析的函数为中心的圆域内解析的函数f(z), 可以在该圆域内展开成可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数的幂级数. 假如假如f(z)在在z0处不解析处不解析, 则在则在z0的邻域内就不能用的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示的幂级数来表示. 但是这种情况在实际但是这种情况在实际问题中却经常遇到问题中却经常遇到. 因而因而, 在本节中将讨论在本节中将讨论在以在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法数表示法.讨论下列形式的双边幂级数讨论下列形式的双边幂级数:,

22、)()()()()(nnnnnnnzzczzcczzczzczzc001010100)(.)()()()()()()(负负幂幂项项部部分分正正幂幂项项部部分分nnnnnnnnnnzzczzczzczzczzcczzc010110001000可将其分为两部分考虑可将其分为两部分考虑 正幂项是一幂级数正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为设它的收敛半径为R2, 对负幂项对负幂项, 如果令如果令z=(z-z0)-1, 就得到就得到这是这是z 的幂级数的幂级数, 设收敛半径为设收敛半径为R, 令令R1=1/R, 则当则当|z |R1时时, 负幂项收敛。因负幂项收敛。因而而, 只有在只有在R1|z-z0|

23、R2的圆环域的圆环域, 原级数才原级数才收敛收敛. ,)(221110ccczzcnnnnnn例如：例如： 双边幂级数双边幂级数nnnzzzzzz22211112220121nnnnzz内收敛，内收敛，在在111zznn 内收敛，内收敛，在在220zznn.21内内收收敛敛双双边边幂幂级级数数在在圆圆环环域域z 幂级数在收敛圆内的许多性质幂级数在收敛圆内的许多性质,双边幂级双边幂级数在收敛圆环域内也具有数在收敛圆环域内也具有. 例如例如, 可以证明可以证明,双双边幂级数在收敛域内其和函数是解析的边幂级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且而且可以逐项求积和逐项求导可以逐项求积和逐项求导. 现在反

24、问现在反问, 在圆环域内解析的函数是否在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数一定能够展开成级数?21( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz 函数在及都不解析 但在圆环域及内都是解析的先研究的情形:由此可见在内是可以展开为z的幂级数其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:2121111( )(1)11 (1)11(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1Oxy定理定理 设设 f (z)在圆环域在圆环域R1|z-z0|R

25、2内解析内解析, 那么那么), 2, 1, 0(.d)()(21)()(100nzficzzczfCnnnnn其中C为在圆环域内绕为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭的任何一条正向简单闭曲线曲线.注注1 1：nnnzzCzf)()(000)(nnnzzC10)(nnnzzC)()(zz)(0Rzzr内内解解析析；：解解析析部部分分，在在Rzzz0)(内内解解析析。，在在：奇奇异异部部分分或或主主要要部部分分rzzz0)(注：注：;!)()(nzfCnnn0Laurent0系数系数时，时， 注注3 3：TaylorTaylor级数是级数是LaurentLaurent级数的特殊情形级数的特殊情形内内解解析析时时，在在当当Rzzzf0)();1(0)(2110ndzzzzfiCCnnCnndzzzzfiC10)()(21), 2 , 1 , 0(!)(0)(nnzfn注注4：同一函数在不同区域内的展开式不同；：同一函数在不同区域内的展开式不同；注注5 5：CdzzfiC)(21112)(CidzzfC（即可利用（即可利用LaurentLaurent系数计算积分）系数计算积分）解：解： 函数函数 f (z) f (z) 在圆环域在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) i) 0 |z| 1; ii) 1|