积分变换第2讲

1、单位脉冲函数单位脉冲函数2 2、 单位脉冲函数单位脉冲函数1 1、 单位脉动函数单位脉动函数 .,0,0,1)(其其它它tt (t)1/Ot 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, , 有许多物理现象具有脉冲性质有许多物理现象具有脉冲性质. . 例如断电以后的突然来电等例如断电以后的突然来电等; ; 在力学中在力学中, , 机械系统受冲击机械系统受冲击力作用后的运动情况等力作用后的运动情况等. . 研究此类问题就会产生我们要介研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数绍的单位脉冲函数. .物理学家狄拉克首先引入，此后在物理物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用及工程技术中

2、被广泛地采用. 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, , 某一瞬时某一瞬时( (设为设为t=0) )进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, , 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, , 则则 .0,1,0,0)(tttq.)()(lim)()(0ttqttqdttdqtit 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即即 所以所以, 当当t 0时时, i(t)=0, 由于由于q(t)不连续不连续, 从而在普从而在普通导数意义下通导数意义下, q(t)在这一点是不能求

3、导数的在这一点是不能求导数的.如果我们如果我们形式形式地计算这个导数地计算这个导数, , 得得.1lim)0()0(lim)0(00 ttqtqitt 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度数能够表示这样的电流强度. . 为此为此, , 引进一称为狄拉引进一称为狄拉克克(Dirac)(Dirac)的函数的函数. . 有了这种函数有了这种函数, , 对于许多集中于对于许多集中于一点或一瞬时的量一点或一瞬时的量, , 例如点电荷，点源例如点电荷，点源, , 集中于一点集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等的质量及脉冲技术中的非

4、常窄的脉冲等, , 就能够象处就能够象处理连续分布的量那样理连续分布的量那样, , 以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决. . .0,0,0)(ttti广义函数，广义函数，没有普通意义没有普通意义下的函数值下的函数值. .2.1 单位脉冲函数的定义单位脉冲函数的定义定义定义对于任何一个对于任何一个无穷次可微无穷次可微的函数的函数 f(t), 称满足称满足)1()()(lim)()(0tdtfttdtft .)(.)(是是单单位位脉脉动动函函数数这这里里函函数数为为的的tt 2.2 单位脉冲函数的性质单位脉冲函数的性质(1) 积分性质积分性质12( ).() t d t .11)(lim)(

5、00 tdtdttdt证明：证明： 一些工程书中，一些工程书中，- -函数常用一个长度等于函数常用一个长度等于1 1的有向线段来表示的有向线段来表示. .tO(t)1)3().0()()(ftdtft 0001( ) ( )lim( ) ( )lim( )t f t dtt f t dtf t dt0001lim( )lim()(0)f t dtff(2) 筛选性质筛选性质对于无穷次可微的函数对于无穷次可微的函数 f(t)，有，有证证明：明： 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用泛的应用. . 工程上将以下两个式子作为单位脉冲函数工程上将以下两个

6、式子作为单位脉冲函数的理解和定义的理解和定义. .0,0(1)( ),0 ttt21( )( ). t dt 一般地一般地)4(. )()()(00 tftdtftt 求求单位脉冲函数的傅氏变换单位脉冲函数的傅氏变换. .解：解：.1)()(0 ttitietdetF 可见可见, 单位脉冲函数单位脉冲函数 (t)与常数与常数1 1构成了一构成了一傅傅氏变换对氏变换对； 同理同理, , (tt0)和和 亦构成了一个亦构成了一个傅氏傅氏变换对变换对. .0tie 这是因为这是因为000()i ti ti tt ttt edtee.)( dttf 需要指出的是，此处的广义积分是按需要指出的是，此处的

7、广义积分是按(1)(1)式计式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换氏变换为广义的傅氏变换. . 根据傅氏积分公式，函数根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即变换的前提条件是它首先应绝对可积，即 实际上这个条件非常强，它要求实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点，因而一些常见的函数都不满足这一点. .如如2sin , cos ;,tttett及多项式等都不满足绝对可积的条件及多项式等都不满足绝对可积的条件! 如此一来，较强

8、的条件使得傅立叶变换的应用受到如此一来，较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换傅氏变换. 实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证.比较典型的有比较典型的有：u(t)（单位阶跃函数单位阶跃函数）, sin t, cost 同前面一样,此时 仍然可以这样说仍然可以这样说: : 象函数象函数 F(w w)和象原函数和象原函数 f (t) 亦构成一个傅氏变换对亦构成一个傅氏变

9、换对. . 0, 0, 0, 1)(tttu称为单位跃阶函数称为单位跃阶函数.首先注意，这里的变换显然指的是广义变换首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察我们用考察逆变换逆变换的方法证明的方法证明. .则则事事实实上上，设设),(1)( iFdeitfti )(121)().(1)( itu的的傅傅氏氏变变换换为为证证明明dedeititi )(21121(*).21sin1d)(21sin210 dtedtti由于由于,2sin0 dxxx所以所以当当 t0 时，有时，有.2sinsin000 duuudtutt时时综上所述，根据综上所述，根据(*), 有有)(1)(1 iFtf

10、 0, 021210, 12121tt).(tu 证毕证毕! !解：由定义，有解：由定义，有 )(01Fdeti )(210)()(0和和 例例3 求求的傅氏逆变换的傅氏逆变换. .210tie 特别地特别地 )(1F.21).(200 tieF12().F 或者写成或者写成.)(200构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对和和即即 tie002()(). (*)ited t 例例4 4 求正弦函数求正弦函数 f (t)=sin 0 t 的傅氏变换的傅氏变换. .解：解：0()sinitFetd t 2()ted t 002itititeeed ti 同理，可得同理，可得0012()()it

11、iteed ti 即即000(sin)()() .ti F .)()()(cos000 tF注：我们介绍注：我们介绍- -函数，主要是提供一个应函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性用工具，而不去追求数学上的严谨性. .00001222*()()()() .ii 为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握. 为了叙述方便起见为了叙述方便起见, , 假定在这些性质中假定在这些性质中, , 凡是需凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件要求傅氏变换的函数都满足

12、傅氏积分定理中的条件, , 在证明这些性质时在证明这些性质时, , 不再重述这些条件不再重述这些条件. .1、 线性性质线性性质F F )(1F设设),(1tf )(2F),(2tfF F则则F F).()()()(22112211FkFktfktfk .21为为常常数数，其其中中kk逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质. .2、位移性质位移性质.)()(0的的位位移移函函数数为为称称tfttf .)()(00Fettfti F有有，则则对对于于实实常常数数设设,)()(00tFtf F F00()()itfttftted t F证明：根据定义，得证

13、明：根据定义，得0()itiuef u edu 00()()ettuiutfudu 0()iteF 显而易见，显而易见，位移公式的作用位移公式的作用是：知道了一个函数是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！的变换，便可由此求出其位移函数的变换！.)()(001tietfF F F同理可得同理可得有有，则则对对于于实实常常数数设设,)()(0Ftf F F推论推论),()(21cos)(000 FFttfF F).()(2sin)(000 FFittfF F提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明. .3 3、微分性质、微分性质证明证明：根据定义，

14、得根据定义，得 )()()(tfdedtetftftitiF Ftdeitfetftiti )()( 如果如果 f(t) 在在(- , + )上连续或只有有限个可去间上连续或只有有限个可去间断断点点, , 且当且当|t|+ 时时, f(t)0, 则则).()( tfitfF FF F ).(tfiF F ).()()()(tfitfnnF FF F 类似地可推得象函数的导数公式：类似地可推得象函数的导数公式： 一般地，如果一般地，如果 在在(- , + )上连续或只有上连续或只有有限个可去间断点有限个可去间断点, , 且当且当| |t t| |+ + 时时, , 有有)()(tfn).1, 1

15、 , 0(0)()( nktfk则则).()()(ddtftiFnnnnF F .)( 的的傅傅氏氏变变换换经经常常使使用用上上述述公公式式求求tftn例如，设例如，设 . 0, 0);0, 0(0,)(tAtAetft().AFi 22( )().()()AAtf tiiii F F232( ).()At f ti F F思考题：思考题：?)(cos)( Ftttf的的傅傅氏氏变变换换则其付氏变换为则其付氏变换为2( )t f t 的付氏变换为的付氏变换为因而因而( )tf t的付氏变换为的付氏变换为4、积分性质、积分性质).(1d)(0d)()(,tfittfttftgtttF FF F

16、则则时时如如果果当当证明：证明：).()(ddtftdtftt 因因为为得得所以，根据微分性质，所以，根据微分性质，),()()(tgitgtfF FF FF F ).(1)(tfitgF FF F 即即例例1 1 求解微分积分方程求解微分积分方程),()()()(tfdxctbxtxat ()()()(),caiXbXXFi 其中 t+, a, b, c均为常数.解：设解：设),()(),()(tfFtxXF FF F 则则从而从而.)(21)(deXtxti ()().FXcbia 故故 运用傅氏变换的线性性质运用傅氏变换的线性性质, , 微分性质以及积分微分性质以及积分性质性质, , 可

17、以把线性常系数微（积）分方程转化为代可以把线性常系数微（积）分方程转化为代数方程数方程, , 通过解代数方程与求傅氏逆变换通过解代数方程与求傅氏逆变换, , 就可以就可以得到原方程的解得到原方程的解. . 另外另外, , 傅氏变换还可以用来求解傅氏变换还可以用来求解一些数学物理方程一些数学物理方程. .).(2)(),()( ftFFtfF FF F则则若若5、对称性质、对称性质证明：证明：根据定义，有根据定义，有1122( )()( ),iti ptf tFedF p ed p 1122()( )( ).i pitfF p ed pF t edt .|1)(),()( aFaatfaFtfF

18、 FF F，有有则则对对于于非非零零实实常常数数若若).(2)(ftF F F6、相似性质、相似性质).()(, 1 FtfaF F则则-翻转性质翻转性质. .7 7、帕塞瓦尔等式、帕塞瓦尔等式 ( ) ( ), Ff t若则有F2212( )( )ft dtFd 证明：证明： ( ) ( )( ), i tFf tf t edt由有F ( )( ), i tFf t edt212( )Fd 12( )( )FFd 12( )( )i tFf t edt d 12( )( )i tf tFeddt 2( )ft dt 于是于是2212( )( )ft dtFd 称为帕塞瓦尔等式称为帕塞瓦尔等式2( )( )g tdtg t一般地，称为的能量积分。由此巴斯瓦等式又表明：由此巴斯瓦等式又表明：傅立叶变换保持能量不变傅立叶变换保持能量不变能能量量密密度度表表示示变变换换后后的的象象函函数数的的其其中中2)()(Fs定义：称定义：称2)()(Fs为为f(t)的的能量谱密度能量谱密度等式等式最后简单提一下，我们可借助能量积分计算某最后简单提一下，我们可借助能量积分计算某些广义积分，其原理是巴斯瓦等