高等数学公式(费了好大的劲)

1、高等数学公式导数公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2( ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )a x ln a1x2(log a x)1(arcctgx )11x2x ln a基本积分表：tgxdxln cosxCdxsec2 xdxtgxCctgxdxln sin xCcos2 xdx2secxdxln secxtgx Csin 2 xcscxdxctgxCcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcsc xctgxdxcscx Ca2x

2、2a arctgaCa xdxa xCdx1xaln ax2a22alnCxashxdxchxCdx1axa2x22alnCchxdxshxCaxdxx2arcsin xCdxln( xx 2a2 )Ca2ax2a222n1I nsin n xdxcosn xdxI n200nx2a2dxxx2a2a2ln( xx2a2)C22x2a2 dxxx 2a2a2 ln xx2a 2C22a2x2 dxxa 2x2a 2arcsin xC22a三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1u2，utg x，dx2du1u 21u 221u2一些初等函数：双曲正弦: shxexe x2双曲余弦:

3、 chxexe x2双曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21x两个重要极限：lim sin x1x 0xlim (11)xe 2.718281828459045.x xxx三角函数公式：·诱导公式：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos

4、 -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：sin 22 sin coscos22 cos211 2sin 2cos2si

5、n2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22·正弦定理：abcR·余弦定理：c2a2b22ab cosCsin Asin BsinC2·反三角函数性质：arcsinxarccosxarctgxarcctgx22高阶导数公式莱布尼兹（ Leibniz）公式：n(uv) ( n)Cnku (n k ) v(k

6、)k 0u ( n) vnu (n 1) vn( n 1) u( n 2 )vn(n 1) ( n k 1) u( n k )v (k)uv (n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)柯西中值定理：f (b)f ( a)f ( )(ba)f (a)f ( )F (a)F ( )当 F( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：Ks.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；M 点的曲率： Klimdy.sds23s 0(1y)直线： K0;半径为 a的圆： K1 .a定积分的近似计算：bba ( y

7、0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y梯形法： f ( x)0yn )y1yn1 an2bba( y0抛物线法： f (x)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3a3n定积分应用相关公式：功： WF s水压力： Fp Am1m2引力： Fkr 2, k为引力系数1b函数的平均值： yf ( x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtba a空间解析几何和向量代数：s： M M 弧长。yn 1 )空间 2点的距离： dM1M2( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2(z2z1 ) 2向量在轴上的投影： Pr ju ABABcos ,是 AB与 u轴的夹角

8、。Pr ju ( a1a2 ) Pr j a1Pr ja2a b ab cosaxbxa ybyazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角： cosax bxa ybyazbzax 2ay 2az2bx 2by2bz2ijkc a baxayaz , cab sin.例：线速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合积： abc (ab )cbxbybzabc cos , 为锐角时，cxc ycz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式： A(xx0 )B( yy0 )C (z z0 ) 0，其中 n A, B,C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxBy

9、CzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平空间直线的方程： xx0m二次曲面：面的距离：dAx0 By0A2B2y y0z z0t ,其中 snpCz0 DC 2xx0mt m, n, p; 参数方程： yy0ntzz0pt221、椭球面： x y a2 b2222、抛物面： xy2 p2q3、双曲面：22单叶双曲面： x y a2 b222双叶双曲面： x y a2 b2z2c21z（,p, q同号）z2c21z2c 2（1马鞍面）多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：zdz f x (x, y)xf y

10、( x, y)y多元复合函数的求导法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx当u，v(x, y)时，u( x, y) vduu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dyFx ，d2 yFxFxdy0dxF ydx2()()x Fyy Fydx隐函数， zFx ，zFyF ( x, y, z) 0xFzyFzF ( x, y,u,v)0(F ,G)FFFuFv隐函数方程组：JuvG( x, y,u,v)0(u, v)GGGuGvuvu1(F ,G)v1(F ,G)xJ( x

11、, v)xJ(u, x)u1(F ,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t), y0 , z0 )处的切线方程： x x0yy0zz0空间曲线y(t)在点 M (x0z(t)(t0 )(t0 )(t0 )在点 M处的法平面方程：(t 0 )( xx0 )(t0 )( y y0 )(t0 )( z z0 )0若空间曲线方程为：F ( x, y, z) 0,则切向量 TFyFzFxFx, Fz,G ( x, y, z) 0G yG z G zG x G x曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向

12、量：n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 )3、过此点的法线方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz( x0 , y0 , z0 )F yG yFz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向导数与梯度：函数 zf (x, y)在一点 p( x, y)沿任一方向 l 的方向导数为： ffcosf sinlxy其

13、中 为 轴到方向的转角。xl函数 zf (x, y)在一点 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxy它与方向导数的关系是 ：f，其中ecosisin j，为方向上的grad f ( x, y) ell单位向量。f 是gradf ( x, y)在l 上的投影。l多元函数的极值及其求法：设 f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB 2A 0, (x0 , y0 )为极大值0时，A 0, (x0 , y0 )为极小值则： AC

14、B 20时，无极 值ACB 20时 ,不确定重积分及其应用：f (x, y)dxdyf (r cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面积 A1zzxdxdyDyM xx( x, y) dM yy( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM(x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy2(x, y) d,对于 y轴 I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M(0,0,a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz ，其中：Fxf( x, y) xd，Fyf(x, y) yd，Fzfa(x, y

15、) xd333D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin , f ( x, y, z) dxdydz F ( r , , z)rdrd dz, z z其中： F (r , z)f (r cos , r sinx r sin cos球面坐标： y r sin sin ，zr cos, z)dvrdr sinddrr 2 sindrdd2r (, )f ( x, y, z)dxdydzF (r , ) r 2 sindrddddF (r ,)r 2 sindr0001x dv,y1ydv

16、,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM转动惯量： I x( y2z2 )dv，I y(x 2z2 )dv，I z( x2y 2 )dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f ( x, y)在 L上连续， L的参数方程为： x(t ) ,(t),则：y(t )f ( x, y) dsf (t),(t )2 (t)2 (t )dt()特殊情况：xtLy(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设 的参数方程为x(t )，则：Ly(t )P( x, y) dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t)Q(t),(t )(t ) dtL两类曲线积分之间的关 系：PdxQdy

17、( P cosQ cos，其中 和 分别为)dsLL上积分起止点处切向量 的方向角。L格林公式：(QP)dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL当Py, Qx，即： QP时，得到D的面积：Adxdy1xdy ydxxy22 LD平面上曲线积分与路径 无关的条件：·、是一个单连通区域；1G、，Q( x, y)在G内具有一阶连续偏导数 ，且 QP 。注意奇点，如，应2P( x, y)xy(0,0)减去对此奇点的积分， 注意方向相反！·二元函数的全微分求积 ：在 Q P 时， Pdx Qdy才是二元函数 u( x, y)的全微分，其中：x y(

18、 x, y)，通常设x0。u( x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f (x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z) dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z)dxdy，取曲面的上侧时取正 号；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP(x, y, z)dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正 号；D yzQ(x, y, z)d

19、zdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正 号。D zx两类曲面积分之间的关 系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds高斯公式：( PQR )dvPdydz Qdzdx Rdxdy( P cos Q cosRcos )dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divPQR 即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失.xy,z通量：A ndsAnds，(P cos Q cosR cos )ds因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( RQ )dydz ( PR)dzdx (

20、QP )dxdyPdxQdy Rdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无 关的条件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量场 沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzA t dsA常数项级数：等比数列：q2qn11q n1q1q等差数列：23n(n1)n12调和级数：111 是发散的123n级数审敛法：、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛1设：limnun，则时，级数发散1n时，不确定1、比值审敛法：2时，级数收敛U n 1 ，则1设：lim时，级数发散

21、U n1n时，不确定1、定义法：3sn u1u2un ; lim sn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数 u1u2u3u4(或 u1 u 2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：如果交错级数满足unun1 ，那么级数收敛且其和 su1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。lim un0n绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中 un为任意实数；(2) u1u2u3un如果 (2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果 (2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而( 1) n 收敛；nn级数：1收敛；n21 时发散p级数：n pp1时收敛

22、幂级数：x1时，收敛于11 x x2x3x n1 xx1时，发散对于级数 (3)a0a1 x a2 x2an xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在 R，使xR时发散 ，其中 R称为收敛半径。xR时不定10时， R求收敛半径的方法：设 lim an 1，其中 an， an 1是 (3)的系数，则0时， Rnan时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x)f (x0 )( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!f (n 1) ( )(x x0 )n 1, f ( x)可以展开成泰勒级数

23、的充要条件是： lim Rn0余项： Rn(n 1)!nx0 0时即为麦克劳林公式：f ( x) f (0)f (0)x2f (n) (0)nf ( 0) xx2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1mxm(m1)x 2m(m 1)( mn 1)xn( 1 x 1)x3x52!1) n 1x2n1n!sin x x(x)3!5!( 2n1)!欧拉公式：eixeeixcosx2cosx i sin x或eixesin x2ixix三角级数：f (t) A0An sin( n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， an An sinn， bnA

24、n cos n， tx。正交性：sin nx, cosnx任意两个不同项的乘积在 , 1, sin x,cos x,sin 2x, cos2x上的积分 0。傅立叶级数：a0( an cosnx bn sin nx)，周期2f ( x)2n 1an1(n 0,1,2)f ( x) cosnxdx其中bn1f ( x)sinnxdx( n1,2,3 )11211111252223242381112111122426222324224正弦级数： an2f ( x) sin nxdx0， bn0余弦级数： bn2f (x) cosnxdx0， an0周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：2（相加）62（相减）12n1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数n0,1,2f ( x)a0an cosnx是偶函数2f ( x)a0( an cosnxbn sin nx )，周期2l2n1llan1 lf ( x) cos nx dx(n0,1,2)其中lll1lf (x)sin nx dxbn( n1,2,3)lll微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf (x, y) 或 P( x, y)dxQ(x, y)dy0可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为g ( y)dy的形式，解法：f (x)dxg ( y) dyf ( x)dx得： G( y)