高中数列求和公式

1、数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式:n(a1an)Sn厂na!n(n1)d22、等比数列求和公式:&內(1qn)1q(q1)芒(q1)3、Snkh(n21)自然数列4、Snk2k11n(n1)(2n1）自然数平方组成的数列例1已知log3x的前n项和.解：由log3xlog23log3xlog32由等比数列求和公式得Sn（利用常用公式）1丄_x(1xn)_2(12n)1x_112例2设S=1+2+3+n,nN,求f(n)Sn的最大值.(n32)Sn1式）解：由等差数列求和公式得S2n(n11)，5齐1)(n2)（利用常用公

2、Snf(n)=(n32)Sn1nn234n641_64n34n(n8)n1丄25050当亦2，即n=8时，f(n)max丄V850二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).例3求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1解：由题可知，(2n1)xn1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn1的通项之积设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn.(

3、设制错位)一得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn(错位相减)1n1再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x-X(2n1)xn1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2例4求数列彳#，|3，罟，前n项的和.解：由题可知，甲的通项是等差数列2n的通项与等比数列丄的通2n2n项之积设Sn2£葺222232n知右令贵1(设制错位)得(1£)Sn££££吕窖(错位相减)2222222k1k1二Sn42n练习：*提示：不要觉得重复和无聊，乘公比错位相减的关键就是熟练!通项为anbn.1、an是自然数列，bn

4、是首项为1，q为2的等比数列2、an是正偶数数列,3、an是正奇数数列,4、an是正偶数数列,5、an是正奇数数列,bn是首项为1，bn是首项为1，bn是首项为3,bn是首项为3,q为2的等比数列q为2的等比数列q为3的等比数列q为3的等比数列6、an是自然数列，bn是首项为3,q为3的等比数列三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆幵,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例5求数列的前n项和：11,丄4,丄7,-4r3n2，aaa解：设Sn（11）（丄4）（丄7）（二3n2）aaa将其每一项拆幵再重新组合得11Sn(12aa1n1

5、)(147a3n2)(分组)当a=1时，Sn(3n1)nn=21丄1an(3n1)n(3n1)n2（分组求和）当a1时，Sn1aan(3n1)n112=a12a例6求数列n（n+1）（2n+1）的前n项和.解：设akk(k1)(2k1)2k33k2nn32Snk(k1)(2k1)=(2k3kk)将其每一项拆幵再重新组合得nnnS=2k33k2k(分组)k1k1k1=2(1323n3)3(1222n2)(12n)22n(n1)2如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联,裂项相消法：那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有:n（n丄k211)n1k2111n丄(2n(n1)(n2

6、)2(.n1-n)1；n(nk)1)，-k1k1112n(n1)2(n1n1(1k'n1k11；亠;nk)；1(k1)kn1)(n2)(n1)!n2n12(K111；(k1)kk1k；11n!(n1)!例7求数列In、n1的前n项和.解：设an-n1.n(裂项)n(n1)(2n°n(n1)(分组求和)22n(n1)2(n2)2四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）女口：（1）an1丄=升级分母是n（n+2）呢？-重点掌握这个n（n1）nn1型则Sn1匚11(裂项求和)1<2丁2V35"n1=G.2,1)c、3.2)(.n1.、n)=.n111)例8在数