算法第6章分枝限界法

1、1第六章第六章 分支限界法分支限界法分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树上搜索问题解的算法。与回溯法的不同（1）求解目标：）求解目标：一般情况下，一般情况下，回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解(极小或极大解)。 （2）搜索方式的不同：）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先以广度优先或以最小耗费优先的方式或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。 （3）活结点成为扩展结点的机会不同：）活结点成为扩展结点的

2、机会不同：在回溯法中每个结点可能有多次机会多次机会成为扩展结点，而分支限界法中每个结点只只有一次机会有一次机会成为扩展结点。一个正在产生儿子的一个正在产生儿子的结点称为扩展结点结点称为扩展结点2分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想3分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想分支限界法基本思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点活结点只有一次机会只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点结点。在这些儿子结点中，导

3、致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 一个自身已生成一个自身已生成但但其儿子还没有其儿子还没有全部全部生成的结点生成的结点称做活结点称做活结点4分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法。常见的两种分支限界法：（1 1）队列式）队列式( (FIFO)FIFO)分支限界法分支限界法将活结点表组织成一个队列队列，并按队列先进先出（先进先出（FI

4、FOFIFO）原则选取下一个结点为当前扩展结点当前扩展结点。（2 2）优先队列式分支限界法）优先队列式分支限界法将活结点表组织成一个优先队列优先队列，并按照优先队列中规定的规定的优先级优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点当前扩展结点。5分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想（2 2）优先队列式分支限界法）优先队列式分支限界法最大优先队列：最大优先队列：规定数值较大的结点优先级较高；最小优先队列：最小优先队列：规定数值较小的结点优先级较高。算法实现时，通常用一个最大堆最大堆来实现最大优先队列，体现最大效益优先的原则；用最小堆最小堆实现最小优先队列，体现最小费用优先的原则。采用优先队列法解

5、具体问题时，应根据具体问题的特点选用最大优先队列或最小优先队列来表示解空间的活结点表。6分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想堆的补充知识堆的补充知识 堆的定义堆的定义满足下列性质的数列R1, R2, , Rn被称为堆堆 或 若满足条件(1)则称最小堆最小堆； 若满足条件(2)则称最大堆最大堆。122 (1)iiiiRRRR221(2) 1,2,2iiiiRRinRR7分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想堆对应一棵完全二叉树，如堆对应一棵完全二叉树，如最小堆最小堆最大堆最大堆8分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想最大堆调整示例：最大堆调整示例：90-1背包问题背包问题设有设有n n个

6、物体和一个背包个物体和一个背包, , 物体物体i i的重量为的重量为w wi i , , 价值为价值为v vi i, , 背包的承背包的承重量为重量为c c, , 若将物体若将物体i i (1(1 i i n)n)装入背包装入背包, , 则有价值为则有价值为v vi i . .目标是找到一个方案目标是找到一个方案, , 使得能放入背包的物体总价值最高。使得能放入背包的物体总价值最高。解空间树：解空间树：100-1背包问题背包问题设有设有n n个物体和一个背包个物体和一个背包, , 物体物体i i的重量为的重量为w wi i , , 价值为价值为v vi i, , 背包的承背包的承重量为重量为c c, , 若将物体若将物体i i (1(1 i i n)n)装入背包装入背包, , 则有价值为则有价值为v vi i . .目标是找到一个方案目标是找到一个方案, , 使得能放入背包的物体总价值最高。使得能放入背包的物体总价值最高。当当n=3n=3时时, , 问题的解空间树：问题的解空间树：例：n=