高中数学高考导数题型分析及解题方法(2)

1、秋风清，秋月明，落叶聚还散,寒鸦栖复惊。导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值,二、热点题型分析函数的最大值和最小值。题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1.f(xrx3-3x2在区间-1,1】上的最大值是222已知函数y=f(x)=x(xc)在x=2处有极大值，则常数c=633.函数yTS-x有极小值1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1 .曲线y=4x_X在点-1,_3处的切线方程是y=X_242 .若曲线f(x)=x_x在p点处的切线平行于直线3x_y=0，贝yp点的坐标

2、为(1，Q)43若曲线y=x的一条切线I与直线X4y-8=0垂直，则|的方程为4x-y-3=04.求下列直线的方程：(1)曲线y=x3x21在P(-1,1)处的切线；(2)曲线y=x2过点p©,5)的切线；解:(1)；点P(/,1)在曲线y=x3亠x2亠1上,/2/y，=3x22x.k|x一=32=1所以切线方程为y-1二x1，即x-y暇=0_2/(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0=xo又函数的导数为y=2x，所以过A(x0，y0)点的切线的斜率为k二y|xM=2x0，又切线过&冷,)、p(3,5)点，所以有2X0=心X0一3，由联立方

3、程组得,卜二1或*X。二5y。曰凶=25，即切点为(1，1)时，切线斜率为M=2X0=2;；当切点为(5,25)时，切线斜率为k2=2X0"0；所以所求的切线有两条，方程分另I为y-1=2(x_1)或y-25=10(x_5),即卩y=2x-1或y=10x-25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值32仁已知函数f(x)=x+ax+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(x)在x=2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数y二f(x)在3,1上的最大值；(川)若函数y=f(x)在区间2,1上单调递增，求实数b的

4、取值范围解.(1)由f(x)=x3ax2bxc,求导数得f(x)二3x2-2axb.过y=f(x)上点p(1，f(1)的切线方程为：y一f(1)=f(1)(X-1),即y(abc1)=(32ab)(x1).而过y=f(x)上P1,f(1)的切线方程为y=3x1.即a+b=0ac=3y=f(x)在x-2时有极值,故f(-2)=0,.-4a-1232由得a=2,b=4,c=5f(x)=x2x-4x5.(2)f(x)=3x24x-4=(3x-2)(x2).2.-3乞x：-2时，f(x)0;当一2乞x：时，f(x)：0;3当x乞1时,f(x)0.f(x)极大二f(-2)=133又f(1)=4，f(x)

5、在3,1上最大值是13。2(3)y=f(x)在2,1上单调递增，又f(X)二3x2axb，由知2a+b=0。依题意f(x)在2,1上恒有f(x)>0，即3x2-bxb一0.bX二一_1时，f(x)min=f(1)=3bb0,b-6当6bX乞一2时,f(x)min二f(-2)=122bb-0,.b当62兰6兰1时，f(x)min=12b_b>0,则0兰bE6.当b12综上所述，参数b的取值范围是【°，=：)322.已知三次函数f(x)=xaxbxc在x=1和x=_1时取极值，且f(-2)=-4.(1) 求函数y=f(x)的表达式；求函数y二f(x)的单调区间和极值；若函数g

6、(x)=f(xm)4m(m0)在区间m-3,n上的值域为-4,16，试求m、n应满足的条件.解：f(x)=3x2axb,2由题意得，1,-1是3x2ax°的两个根，解得，a=0,b=3.3再由f(卫)=4可得c-2f(x)=x-3x-2.2(2) f(x)=3x-3=3(x1)(x-1)当xc1时，f(x)：0；当x=1时，f(x)=0；当-1：x：1时，f(x)：0；当x=1时，f(x)=°；当x1时，f(x).0.函数f(x)在区间(-：，-1上是增函数；在区间-1，】上是减函数；在区间1厂二)上是增函数.函数f(x)的极大值是f(_1°，极小值是f(1)=V

7、.(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间【一3,n一呵上的值域为Y-4m，16-4m(m0).而f(£)=一2°y_4m=-20，即m=4.于是，函数f(x)在区间【一3,n一4上的值域为一20,0.令f(x)=0得x=-1或x=2.由f(x)的单调性知，-1剟n-42，即3剟n6.综上所述，m、n应满足的条件是：m=4,且3剟n6.3.设函数f(x)=x(x_a)(x_b)(1) 若f(x)的图象与直线5x-y-8=0相切，切点横坐标为2,且f(x)在x"处取极值，求实数a，b的值；(2)

8、 当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解：(1)f(x)=3x-2(ab)xab.由题意f(2)=5,f=°，代入上式，解之得：a=1,b=1.(2)当b=1时，令f(x)=0得方程3x22(a+1)x+a=0.因厶=4(a_a1)0,故方程有两个不同实根xi，x2.II不妨设xi：；x2，由f(X)=3(X-xi)(x-X2)可判断f(x)的符号如下：当X:：捲时，f(X)>0.当为：:：x:X2时，f(x)V0.当x-X2时，f(X)>0因此Xl是极大值点，X2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值

9、点。题型四：利用导数研究函数的图象D)3方程2x36x2十7=0在(0,2)内根的个数为题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1322f（x）x2ax-3axb,0：a:1.1设函数3（1）求函数f（x）的单调区间、极值.a的取值范围.f(x)-x24ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)=0得X1=a,X2=3a列表如下:x(a.3a)3a(3a,+7（2）若当aJa2时，恒有|f（x）|a，试确定f(x)f(x)极小极大f(x)在(a,3a）上单调递增，在（玄）和（3a,+8）上单调递减x=a时,43f极小勺一孑，x=3a时,f极小（x）二b(2)f"(x)=x?*

10、4ax-3.Ocav1,.对称轴x=2aca+1,f(x)在a+1,a+2上单调递减fMax二-(a1)'4a(a1)-3a二2a-1fmin=-(a24a(a2)-3a?二4a-4依题|f(x)|乞a=|fMax-a,1fmina即12a-1匸a,|4a-4|乞a4.4a-1,1)解得5,又0：a：1a的取值范围是521）求a、b的值与函2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3与x=1时都取得极值数f(x)的单调区间(2)若对x1,2,不等式f(x):c2恒成立，求c的取值范围。解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b21241a

11、+b0由f(3)=93,f'(1)=3+2a+b=0得a=2,b=2f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表：x2(oO,3)232(3,1)1(1,+°0)f(x)1+0一0+f(x)极大值极小值22所以函数f(x)的递增区间是(一:，3)与(1,+：),递减区间是(一3,1)1222(2)f(x)=x32x22x+c,1,2，当x=3时，f(x)=27+c为极大值，而f(2)=2+c,贝Uf(2)=2+c为最大值。要使f(x)<c2(一1,2)恒成立，只需c2>f(2)=2+c,解得X1或c>2题型六：利用导数研究方程的根

12、_1応1.已知平面向量a=(3,1).b=(2,2).(1)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t23)b,y=-ka+tb,x丄y,试求函数关系式k=f(t);据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.7丿-11解：(1)x丄yxy=o即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.i21丄i2整理后得-ka+t-k(t2-3)ab+(t2-3)-b=0221/ab=0,a=4,b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)11讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个数33于是f'(t

13、)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f'(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f'(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-m,-1)-1(-1,1)1(1,+m)f'(t)+0-0+F(t)/极大值极小值/1当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：11(1)当k>2或kv2时，方程f(t)k=0有且只有一解;11当k=2或k=2时，方程f(t)k=0有两解;11当一2vkv2时，方程f(t)k=0有三解.题型七：导数与

14、不等式的综合31设a0,函数f(x)=x-ax在：)上是单调函数.(1) 求实数a的取值范围；(2) 设X。>1,f(x)>1,且f(f(Xo)=X。，求证：f(Xo)=Xo.解:(1)y'f(x)=3x-a,若f(x)在町=上是单调递减函数，则须/:0,即a3x-这样的实数a不存在.故f(x)在上不可能是单调递减函数.若f(x)在L7上是单调递增函数，则a<3x2,由于x«：,故3x-3.从而o<aw3.(2)方法1、可知f(X)在1"=上只能为单调增函数.若1<X。"f(X。)，则f(X。)”：f(f(X。)=xo矛盾,若

15、1wf(Xo)<Xo,则f(f(Xo)：f(Xo),即Xo：f(Xo)矛盾，故只有f(Xo)=X°成立.33方法2:设f(Xo)=U,则f(u)=xo,-Xo-axo二u,u-au=Xo,两式相减得(X。'U)-(Xo'口)=口'X。.(X。'UX。xouuT-)=0厂xo2222二xo+xou+u>3,又0ca兰3二xo+xou+u+1a：>0f(x)=(x2+)(x+a)2已知a为实数，函数2(1) 若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围(2) 若f'(-1)=o，(I)求函数f(x)的单调区间XX“-1

16、o)1f(xiHf(X2)K5(n)证明对任意的Xi、x2(-1,o)，不等式16恒成立323323*f(x)=xaxxa.f'(x)=3x2ax-解：22,2t函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f'(x)=o有实数解.:-4a2-433_0a2>-(一°°,一3血1?应,+°°)2，所以a的取值范围是223/f'(-1)=0二3-2a=092af'(x)=3x49312Xr3(x2)(x1)1x>由f'(x)°,x:：-1或2；由f'(x)<0,一1：x：一丄21(sa1)

17、(+oc)f(X)的单调递增区间是2；单调减区间为(-匕)f(T)=25易知f(x)的最大值为8,f(x)的极小值为fT4916，又f(0)煜f(x)在T，°上的最大值M2749m8，最小值16-对任意X"x2(T,0)，恒有7一宀2)1""161649题型八：导数在实际中的应用32（x一1）2=82x(单位：m故底面正六边形的面积为:、.33.36T（、82xx2）2=W2（82x-x）5(单位:1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点0到底面中心°1的距离为多

18、少时，帐篷的体积最大?解：设001为xm，则1：x：4由题设可得正六棱锥底面边长为：V(x)求导得=（12一3x2）2帐篷的体积为：3屈21J33V（x）-（82x-x2）（x1）1（1612xx）3232（单位：m）令V'(x)二0，解得x-2(不合题意，舍去)，x=2，当1：x：2时，V'(x)0，V(x)为增函数;当2x:4时，V(x)：0，V(x)为减函数。.当x=2时，V(x)最大。答：当001为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16'-3口3。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/13y=x3x+8(0cx兰120).小时)的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距100千米。(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？1002.5解：(I)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，133(40408)2.5=17.5要耗没12800080(升)。100(II)当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=(1128000x8).x280080x1280x15(0：x叮20),4h'(x)二x640800x2x3-8036