高中数学圆的方程典型例题

1、高中数学圆的方程典型例题直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种:AxByC=0I22xyDxEyF=00吕相交元二次方程一判别巴t*=0二相切2_4acri+r2：=两圆外离； |O1O2|=r1+r2：=两圆外切； |1-2|01。2|r什2=两圆相交； |O1O2|=|ri-2|：=两圆内切； 0|OiO2|1C.k=4或k=1D.kR2. 方程x1=：1（y1）所表示的曲线是（）A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆类型二：直线与圆的位置关系（一）相交1、（1）求直线|：3x-y-6=0被圆C:x2y2_2x-4y=0所截得的弦AB的长度；（2）过点P（0,1）的

2、直线|与圆C:x2y2-2x-4y=0相交截得的弦长为4，求直线I的方程。2、圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且与直线y=x相交所得弦长为2、7，求该圆的方程（二）相切221、已知直线5x12ya二0与圆x-2xy=0相切，则a的值为.2、已知圆O:x2+y2=4，求过点M（1,J3）及P（2,4）与圆O相切的切线方程3、过圆x2y2=1外一点M（2,3），作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。（三）相离（四）切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5线.例6两圆C1:x2y2D1xE1yF0与C2:x2y2D2xE2yF2=0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所

3、在直线的方程.练习:2252、过坐标原点且与圆xy-4x2y0相切的直线的方程为25解：设直线方程为y=kx，即kx_y=O.T圆方程可化为（x_2）（yT）2,圆心为（2,2*102k亠1ioi-1）,半径为.依题意有=1=一，解得k=3或k=-，直线方程为y=-3x或2、严231yx.33、类型三：弦长、弧问题例9、直线.3xy-2、.3=0截圆x2y2=4得的劣弧所对的圆心角为、2222例10、求两圆xy-x，y-2=0和xy=5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线i3xy-2、.3二0和圆x2y4，判断此直线与已知圆的位置关系例12、若直线y=xm与曲线y=4-x2有且

4、只有一个公共点，求实数m的取值范围例13圆(x-3)2(y-3)2=9上到直线3x，4y-11=0的距离为1的点有几个?方法总结：到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.练习：2、直线xy=1与圆x2y2-2ay=0(a.0)没有公共点，贝Ua的取值范围是3、圆X2y22x4y3=0上到直线xy1=0的距离为2的点共有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4、过点P-3,-4作直线l，当斜率为何值时，直线I

5、与圆C:x-12y22二4有公共点,5.已知圆(x-2)2(y1)2=16的一条直径通过直线x-2y，3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A.2xy-5=0B.x-2y=0C.2xy-3=0D.x-2y4=06.曲线y=14x2(|x氏2)与直线y二k(x-2)V有两个交点时，实数k的取值范围是(A53m5A.EB.（1?：）135c.（打D.%）7. 设点(xo,yo)在圆x2-y2=r2的外部，则直线xxyy=r2与圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定8. 过圆x2y2=4外一点M(4,-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A.4x-y-4=0B

6、.4xy-4=0C.4xy4=0D.4x-y4=09. 已知P是直线3x4y0上的动点，PA,PB是圆x2y2-22y0的两条切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为类型五：圆与圆的位置关系例14、判断圆C1:x2y22x-6y-26=0与圆C2:x2y24x，2y，4=0的位置关系,2222例15：圆xy-2x二0和圆xy40的公切线共有条。1：若圆xy-2mxm-4=0与圆xy24my4m-8=0相切，则实数m的取值集合是.2：求与圆x2y2=5外切于点P(-1,2)，且半径为25的圆的方程类型六：圆中的对称问题例16、圆Xy_2x-6y9=0关于直线2xy5=0对称

7、的圆的方程是例17.束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y3)2=1的最短路程是.思考：自点A_3,3发出的光线|射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆22C:xy-4x-4y*7=0相切(1)求光线I和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程.类型七：圆中的最值问题例18:圆x2y2-4x-4y一10=0上的点到直线x-y-14=0的最大距离与最小距离的差是_例19(1)已知圆Oj：(x-3)2(y一4)2=1,P(x,y)为圆O上的动点，求d=x2y2的最大、最小值.(2)已知圆O2：(x2)2y2=1,P(x,y)为圆上任一点.求乂三的最

8、大、最小值，求x-2y的x-1最大、最小值.例20：已知A(2,0),B(2,0)，点P在圆(x3)2+(y4)2=4上运动，则PA2+PB2的最小值是.1：已知点P(x,y)在圆x2(y-1)2上运动.(1)求止的最大值与最小值；(2)求2x-y的最大值与最小值.x-222V22设点P(x,y)是圆xy=1是任一点，求u的取值范围.x+13、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2)，点P在圆x2+y2=4上运动，求|PA2+|PB2+|PC|2的最大值和最小值类型八：轨迹问题1例21、已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的比为1，求点M的轨迹方程2例22、已知线段AB的端

9、点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)2y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.220例23、由动点P向圆x-y=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，.APB=60，则动点P的轨迹方程是.例23如图所示，已知圆O:x2y2=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过B做圆0的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹.所以x2，(y-2)2=4(x=0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.例24已知圆的方程为x2y2

10、二r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B，使PA_PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB,PQ交于M，显然0M_AB,AB二PQ,x在直角三角形AOM中，若设Q(x,y)，则M(匕旦竺巴)22222由OM+AM|=OA,即卩/Xa、2/yb、21()()(x-a)(y-b)二r,4nnnnn也即Xy=2r-(ab)，这便是Q的轨迹方程.29o22o解法二：设Q(x,y)、Ag,%)、B(x2,y2)，则x1y1=r2,x2y2=r2.22又PQ=AB，即22222(x-a)(y-b

11、)=(Xi-X2)hi=2r-2&必2y2)又AB与PQ的中点重合，故xx1x2,yy1y2，即222(xa)(yb)=2r2(x1x2y1y2)+，有x2y2二2r2_(a2b2).这就是所求的轨迹方程.解法三：设A(rcos：,rsin：)、B(rcos：,rsin：)、Q(x,y),由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有xa=rcos工rcos:,yb二rsin二rsin:,rsin：-brsin：-b又由PA_PB有1rcosa-arcosP-a联立、消去:.二即可得Q点的轨迹方程为x2y2r(a2b2).说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几

12、何性质，否则，将使解题陷入困境之中.本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法二涉及到了x1、x2、y1、y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2，y2=r2的参数方程，只涉及到两个参数、1,故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解.练习:1、由动点P向圆x2y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B,.APB=60,则动点P的轨迹方程是.解：设P(x,y).NAPB=600，.NOPA=30./OA丄AP,.OP=2OA=2

13、,二x2+y2=2,化简得x2y2=4,.动点P的轨迹方程是x2y2=4.练习巩固：设A(-c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x,y)由PAPB22=a(a0),得:2;严,化简得(1-a2)x2(1_a2)y22c(1a2)xc2(1_a2)=0.宀2;a-12彳+2当a时，化简得x2y22c(1)xc0，整理得(x-打皂c)2y1aa12ac为半径的圆;a2-1当a=1时，化简得x=0.所以当a,时，P点的轨迹是以(Jc,。)为圆心,a21当a=1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(-2,

14、0),B(1,0)，如果动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y).由PA=2PB，得J(x+2)2+y2=2j(x-1)2+y2,化简得(x-2)2y2=4,.点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，二所求面积为4：.4、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y2=1上运动，M是线段AB上的一点，且AMMB,3问点M的轨迹是什么？22例5、已知定点B(3,0)，点A在圆xy-1上运动，.AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是.练习巩固：已知直线y二kx1与圆x2y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程类型九：圆的综合应用22例25、已知圆xy*-6丫5=0与直线x2y-3=0相交于P、Q两点，0为原点，且OP_0