高中数学必修五全套教案95800

1、探索研究在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2,在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，b-Csa-c有sinB，又sinC1asinAbsinBcsinC从而在直角三角形ABC中,sinAbsinBcsinCB思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则asinAbsinB同理可得小sinCbsinB，bsin

2、BcsinCaB（图1.1-3）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC;(2)sinAbsinBasinAbcsinB，sinCbacsinB，sinAsinC从而知正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsinAsinB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，女口sinAasinB。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析

3、例1在ABC中，已知A32.0°,B81.8°,a42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C180°(AB)180°(32.0°81.8°)66.2°根据正弦定理,basinBsinA根据正弦定理，asinCcsinA42.9sin8108080.1(cm);sin32.00竿察74.1(cm).sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2.在ABC中，已知a20cm,b28cm,A长精确到1cm）。解：根据正弦定理，40°，解三角形（角度精确到10，边sinB叱28sin4°

4、00.8999.a因为00vBv1800,当B640时，所以20B640，或B1160.C1800(AB)1800(400640)760,asinC20sin760sinAsin400当B1160时，30(cm).C1800(AB)1800(40°116°)24°,asinCcsinA补充练习已知（答案:1：2:20sin240sin400ABC中,3)13(cm).sinAsinB:sinC1:2:3，求a:b:c）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个

5、问题用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。从而同理可证1-5,ur设CBruua,CAr2rrrrrcccabarrrrrraabb2abr2r2rrab2abb222caruurrrrb,ABc,那么ca2abcosC(图1.1-5)b2b22c2bccosAc22accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即222abc2bccosAb2a2c22accosB222cab2abcosC思考：这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个

6、量,能否由三边求出一角（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论:cosAcosBcosCb22c2a2bc22.2acb2ac222bac2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。般三角思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例1在ABC中，已知a23,c62,B600，求b及A解：t

7、b2a2c22accosB=(2.3)2(.6.2)222.3(.6、2)cos45°=12(、62)243(31)=8b22.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cosAb22bc(22)2(62)2(2.3)21222(苗2)2A60°例2.在ABC中，已知a134.6cm,b87.8cm,c161.7cm，解三角形解：由余弦定理的推论得：cosA87.82161.72134.622 87.8161.70.5543,A56°20;22.2cosBcab2ca134.62161.7287.822 134.6161.70.8398,B32053;C180

8、0(AB)1800(56°2032°53)补充练习在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）IV.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。随堂练习1(1)在ABC中，已知a80,b100,A450，试判断此三角形的解的情况。(2)在1ABC中，若a1,c-,C400，则符合题意的b的值有个。2(3)在ABC中，axcm,b2cm,B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案:(1)有两解；(2)0;(3)2x22)2.在

9、ABC中，已知a7,b5,c3，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知2a22cA是直角ABC是直角三角形a22c2A是钝角ABC是钝角三角形2ab22cA是锐角AB（是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）解：Q725232，即a2b2c2,AB（是钝角三角形。随堂练习2（1）在ABC中，已知sinAsinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。（答案：（1）AB（是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）2在ABC中，A600,b1，面积为，求abcsinAsinBsinC的值1 11分析：可利用三角形面积定理S

10、absinCacsinBbcsinA以及正弦定理2 22abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由S1bcsinAi3得c2,则a2b2c22bccosA=3，即a.3,从而abcsinAsinBsinCasinA川.课堂练习(1)在ABC中，若a55,b16，且此三角形的面积S220.3，求角C(2)在ABC中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积Sb2求角(答案：(1)60°或1200；(2)45°)IV.课时小结(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;(2)三角形各种类型的判定方法；(3) 三角形面积定理

11、的应用。V.课后作业(1)在ABC中，已知b4,c10,B30°，试判断此三角形的解的情况。(2) 设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。(3) 在ABC中，A600,a1,bc2，判断ABC的形状。(4) 三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x60的根，求这个三角形的面积。例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行nmile后达到海岛C如果下次航行直接从A出发到达C此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离(角度精确到，距离精确到mile)解：在ABC中，AB

12、C=180-75+32=137，根据余弦定理,AC=.AB2BC22ABBCcosABCI122=67.5254.02267.554.0cos137根据正弦定理，BC=ACsinCABsinABCsinCAB=BCsinABCAC=54.0sin137113.155所以CAB=,75-CAB=答:此船应该沿北偏东的方向航行，需要航行mile补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追需要多少时间才追赶上该走私船解：如图，设该巡逻艇沿AB方向

13、经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120222(14x)=9+(10x)-2910xcos120239化简得32x-30x-27=0，即x=，或x=-(舍去)216所以BC=10x=15,AB=14x=21,BCsin12015-353又因为sinBAC=AB21214BAC=3813,或BAC=14147（钝角不合题意，舍去），3813+45=8313答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意

14、义，从而得出实际问题的解IV.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。例7、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到2）(1) 已知a=,c=,B=(2) 已知B=,C=,b=;（3）已知三边的长分别为a=,b=,c=1解：(1)应用S=acsinB,得2S=2根据正弦定理，2b=csinBsinCc=池sinBS=-bcsinA=b2sinCsinA22sinBA=180-(B+C)=

15、180-+=1 2sin65.8sin51.52S=(cm)2 sin62.7(3) 根据余弦定理的推论，得22.2rcabcosB=2ca22238.7241.4227.32=238.741.4sinB=1cos2B.10.76972应用S=!acsinB,得22例3、在ABC中，求证:(1)a2b22csin2Asin2Bsin2C(2)a2+b2+c证明:(1)根据正弦定理，可设a=bsinAsinB显然k0,所以旦=ksinC左边=弟ck2sin2Ak2sin2Bk2sin2Csin2Asin2Bsin2C=右边(2)根据余弦定理的推论，b2c2右边=2(bc2bca2+cac2a2b

16、22ca2.22abc+ab)2ab2=2(bccosA+cacosB+abcosC222222222=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a2+b2+c2=左边变式练习1:已知在ABC中，B=30,b=6,c=6.3,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9、3;a=12,S=18.、3IV.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。1. 数列的定义：按一定次序排列的一

17、列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1项(或首项)，“9”是这个数列中的第6项3.数列的一般形式ai,a2,a3,?an?，或简记为an，其中an是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义中，这是一个数列，它的首项是“11“丄”是这个数列的第“3”项，等等.3从而发现数列的通

18、项公式)对下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系这一关系可否用一个公式表示(引导学生进一步理解数列与项的定义,于一上面的数列，第一-项与.这一项的勺序号有这样的对应关系项111112345序-号123451这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an-来表示其对应关系n即：只要依次用1,2,3代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系4.数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，

19、如数列：1,0,1,0,1,0，它的通项公式可以是an丄亡，也可以是an2|cos|.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,，n)为定义域的函数anf(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、

20、f(2)、f、f(4)，f(n)，6数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列例如数列1,2,3,4,5,6是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列补充练习:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式:2 46810(1)3,5,9,17,33,;(2),0,1,0,1,0,1,3 15356399(4) 1

21、,3,3,5,5,7,7,9,9,;解：(1)an=2n+1;2n可(2n1)(2n1)'*1(1)n；;2(4) 将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,aJ(川an=n+21、通项公式法如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为厂；1"的通项公式为吐T("矿*®；.1111,小34的通项公式为肚;2、图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数町为横坐标，相应的项为纵坐标，即以*：为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列1

22、丄丄丄.二-'为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.3、递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.模型一：自上而下:第1层钢管数为4;即：14=1+3第2层钢管数为5;即5=2+3Hi第3层钢管数为6;即6=3+3第4层钢管数为7;即7=4+3第5层钢管数为8;即8=5+3第6层钢管数为9;即：69=6+3第7层钢管数为10;即：710=7+33(1会若用an

23、表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且ann<nW7)运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系,很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循(启发学生寻找规律)模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即a14;a2541a11;a3651a21依此类推：anan11(2Wnw7)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。(或二表递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1前n项)间的关系

24、可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89递推公式为：a13,a25,anan1an2(3n8)数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用示第一项，用表示第一项，用一“表示第呛项，依次写出成为4、列表法吒卫引卫站.简记为血范例讲解a11例3设数列an满足an1an1(n1).写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出an的第1项即a11，递推公式:anan11解：据题意可知：

25、a11,a21-ai补充例题例4已知ai2,ani2an写出前5项c“1,1582,a31-,a41,a5a2a335法一a12a22222a3法二:由an12an-an2an1anan1an2a2an1an2an3a1-anq2n12n并猜想an22223，观察可得an2n即电2an12*1补充练习1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) a1=0,a*1=an+(2n1)(nN);a1=1,an1=2anan2(nN);(3)a1=3,an1=3an一2(nN).解：(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,2an=(n一1)；2122122(

26、2)a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=匚，an=324536n1012(3)a1=3=1+23,a2=7=1+23,a3=19=1+23,34n1a4=55=1+23,a5=163=1+23,二an=1+231等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。.公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；(2) .对于数列a*,若anan1=d(与n无关的数或字母)，n>2,nN，则此数列是等差数列，d为公差。2.等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm

27、)d】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d,则据其定义可得:a2a1d即:a2a1da3a2d即:a3a2da12da4a3d即:a4a3da13d由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：ama1(m1)d即：a1am(m1)d则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)dd=amn即等差数列的第二通项公式anam(nm)d范例讲解例1求等差数列8,5,2的第20项-401是不是等差数列-5,-9,-13-的项如果是，是第几项解：由a!8

28、,d58253n=20，得a208(201)(3)49由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n,使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例3已知数列an的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列若是，首项与公差分别是什么分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1(n>2)是不是一个与n无关的常数。解：当n>2时，(取数列an中的任意相邻两项a.1与an(n>2)anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p为常数-an是等差数列

29、，首项a1pq，公差为p。注：若p=0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q， 若p半0,则an是关于n的一次式,从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差，直线在y轴上的截距为q. 数列an为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。 判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。补充练习1. (1)求等差数列3,7,11,的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项解：根据题意可知：a1=3,d=73=4.该数列的通项公式为：an=3+(n1

30、)X4,即an=4n1(n>1,nN*)a4=4X4仁15,a10=4X10仁39.评述：关键是求出通项公式.(2) 求等差数列10,8,6,的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=810=2.该数列的通项公式为:an=10+(n1)X(2)，即:an=2n+12,a20=2X20+12=28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.(3) 100是不是等差数列2,9,16,的项如果是，是第几项如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=92=7.此数列通项公式为：an=2+(n

31、1)X7=7n5.令7n5=100,解得：n=15,100是这个数列的第15项.1(4) 20是不是等差数列0，3丄，7,的项如果是，是第几项如果不是，说2明理由.177解：由题意可知：a1=0,d=3此数列的通项公式为：an=n+,12n22令7n+=20,解得n47因为7n+=20没有正整数解，所以20不是这个22722数列的项.3有几种方法可以计算公差dd=anan1an d=1anam d=-问题：如果在条件a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列数列，那么A应满足什么由定义得A-a=b-A反之，若A由此可可得:ab小，则2A2A-a=b-Aa,b,成等差数列补充例题例在等差数列

32、a*中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,ag.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手解：an是等差数列+a§=a4+a3=ga3=ga4=g7=2d=a4*3=72=5ag=a4+(94)d=7+5*5=32-a3=2,ag=32已知数列an是等差数列(1)2a5a3a7是否成立2a5aia9呢为什么79(2)2anan1an1(n1)是否成立据此你能得到什么结论(3)2anankank(nk0)是

33、否成立你又能得到什么结论结论：(性质)在等差数列中，若m+n=p+q，则，amanapaq即m+n=p+qamanaPaq(m,n,p,qN)但通常由amanapaq推不出m+n=p+q，amanamn川.课堂练习1在等差数列an中，已知a510,a1231，求首项a!与公差d2.在等差数列an中，若a56a815求a141. 等差数列的前n项和公式1:证明：Sna1a2a3Snanan1an2+：2Sn(印an)(a2ta1ana2an1Snn(a1an)2an1ana2aan1)(a3an2)(anan)a3an22Snn(aian)由此得Sn宁但anai(n1)d代入公式1即得:Snna

34、1n(n1)d2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2.等差数列的前n项和公式2:Snna1n(n1)d2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,ai,an此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d(有时比较有用)由例3得与an之间的关系由Sn的定乂可知，当n=1时，S1=a1;当n2时，an=Sn-Sn1,即anS1(n1)SnSn1(n2)1.等差数列的前n项和公式1:Snn1a.)22.等差数列的前n项和公式2:Snna1n(n1)d2结论：一般地，如果一个数列an,的前n项和为Snpn2qnr，其中p、q、r为常数,且p0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是，它的首项与公差

35、分别是多少由Snpnqnr，得S3pqr当n2时anSnSn1=(pn2qnr)p(n1)2q(n1)r=2pn(pq)danan12pn(pq)2p(n1)(pq)=2p对等差数列的前n项和公式2:Snnajn(n1)d可化成式子:2-J-JSn-n2(ai-)n，当d*0，是一个常数项为零的二次式22对等差数列前项和的最值问题有两种方法：(1) 利用an：当an>0,d<0,前n项和有最大值.可由an>0，且a.i<0，求得n的值.当an<0,d>0,前n项和有最小值.可由an<0，且ani>0，求得n的值.(2) 利用Sn:d2n(a12川

36、.课堂练习1.一个等差数列前的通项公式。由Sn-)n利用二次函数配方法求得最值时2n的值4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列2差数列an中,a4=15,公差d=3,求数列an的前n项和Sn的最小值。IV.课时小结1.前n项和为Sn2pnqn其中p、q、r为常数，且p0,定是等差数列，该数列的首项是日p公差是d=2p通项公式是anSnSnP12pnqr,当n1时(pq),当n2时2. 差数列前项和的最值冋题有两种方法(1)当an>0,d<0，前n项和有最大值可由an>0,且an1<0,求得n的值。当an<0,d>0,前n项和有最小值

37、.可由an<0，且an1>0，求得n的值。dd(2)由Sn一n2(a1-)n利用二次函数配方法求得最值时n的值221等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示a(q丰0),即：一=q(q丰0)an11“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)an成等比数列n2隐含：任一项an0且q0an丰0”是数列an成等比数列的必要非充分条件.3 q=1时，an为常数。2等比数列的通项公式1：ana1qn1(a1q0)由等比数列的定义，有：a2ag;2a3a?q(aqag；a4a3q(

38、ae2)qa3；n1ananea1q佝q0).m13等比数列的通项公式2：anamq®q0)4 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动一一等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：等比数列an的通项公式ana1qn1(a1q0),它的图象是分布在曲线y旦1qxq(q>0)上的一些孤立的点。当印0,q>1时，等比数列an是递增数列；当印0,0q1，等比数列an是递增数列;当a10,0q1时，等比数列an是递减数列;当印0,q>1时，等比数列an是递减数列；当q0时，等比数列an是摆动数列；当q1时，等比数列a.是常数列。补充练习4

39、12. (1)一个等比数列的第9项是，公比是一，求它的第1项(答案：a,=2916)93(2)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项(答案：a1=邑=5,qa4=a3q=40)1等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab(a,b同号)如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，则GGan1an1(n1)是否成立你据此能得到什么结论ankank(nk0)是否成立你又能得到什么结论abGab,aG反之，若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列。二a,G,b成等比数列G2=ab(abaG丰

40、0)例题证明：设数列an的首项是a1，公比为q1；bn的首项为d，公比为q?，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：a1q1n1b1q2n1与a1q1nb1q2n即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)nan1bn1叭(胸2)“qqanbna1bj(Q|q2)它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列anan11bn1拓展探究：对于例题中的等比数列an与bn，数列an也一定是等比数列吗bn探究：设数列an与bn的公比分别为q和q2，令Cnn，则Cnbn(2)Cn1Cnan1bn1,an1、bn1、()a)ananbnbn虫，所以，数列色也一定是等比数列

41、。q2bn已知数列an是等比数列，(1)2a5a3a7是否成立afa1a9成立吗为什么2an2an结论：2.等比数列的性质:若m+n=p+k，贝Vamanapak在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢由定义得：ammiaiqnianaiqpapaiqakai2mamanaiq,apaka/qpk2则amanapQk1、等比数列的前n项和公式:i时，Sn晋或Snaianqi当q=i时，Snnai当已知ai,q,n时用公式；当已知ai,q,an时,用公式公式的推导方法一:般地，设等比数列ai>a2a3,an它的前n项和是Snaia2a3an由Snanaia2a3ni

42、aiqan得SnqSn2aiaiqaiq2aiqaiqnaiq(iq)Snaiaiqn当qi时，Sn当q=i时，Sn公式的推导方法二:有等比数列的定义,根据等比的性质，有£ai即qSian3aiqnaiqniaiqiaiqai(1naja2aia2qn)iqa3a2a3aa?an或Snan1an(iq)Snaianqaia“qiqaiSnSnan（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.公式的推导方法三：Sna1a2a3an=a1q(a1a2a3an1)=a1qSn1=a1q(Snan)(1q)Sna1anq(结论同上)n讲授新课1、等比数列前n项，前

43、2n项，前3n项的和分别是Sn,S2n,S3n,求证：SnS2nSn(S2nS3n)2、设a为常数，求数列a,2a2,3a3，nan,的前n项和;(1)a=0时，Sn=0(2)a丰0时，若a=1，则Sn=1+2+3+n=n(n1)2若az1,Sn-aSn=a(1+a+an-1-nan),Sn=(1-1(n1)annan1a)21、数列数列的通项公式ana1S1(n1)SnSn1(n2)数列的前n项和Sna1a2a3an2、等差数列等差数列的概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母等差数列的判定方

44、法1 .定义法：对于数列an，若an1an2 等差中项：对于数列an，若2an1等差数列的通项公式如果等差数列an的首项是a1，公差是d说明该公式整理后是关于n的一次函数。n(a1an)2等差数列的前n项和1.Sn说明对于公式2整理后是关于n等差中项如果a,A,b成等差数列，那么d表示。d(常数)，则数列anan2，则数列anan是等差数列。是等差数列。，则等差数列的通项为ana1(n1)d。2.Snna1n(n1)d2的没有常数项的二次函数。A即或2Aab2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前A叫做a与b的等差中项。即:说明:在一个等差数列中，从第一项与后一项的等差中项；事实上等

45、差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质1等差数列任意两项间的关系：如果且mn,公差为d，则有anam2.对于等差数列an，若nman是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项,(nm)dpq，则anamapaq。aian也就是：a1ana2an1a3an2，如图所示：a1,a2,a3,，an2，an1，ana2an13若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*,那么Sk,S2kSk，S3kS2k成等差数列。如下图所示：S3kaa?a3ak'ak1a2ka2k1a3kSkS2kSkS3kS2k3、等比数列等比数列的概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的

46、前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。等比中项如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么-，即G2ab。aG等比数列的判定方法0),则数列an是等比数列。2an1，则数列an是等比数列。1. 定义法：对于数列a.,若加q(qan2等比中项：对于数列a.，若a.an2n1ana1q°1时，Snam是等差数列的第m项,等比数列的通项公式如果等比数列an的首项是ai，公比是q，则等比数列的通项为等比数列的前n项和Sn(q1)辺SnT(q1)当q1

47、q1q等比数列的性质1 等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项,且mn，公比为q，则有annmamq3对于等比数列an，若nmuv，贝Uanamauav也就是：a1ana2an1a3an2如图所示：a1,a2，a3，an2，an1，an日2an14若数列an是等比数列,Sn是其前n项的和，kN，那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列。如下图所示:S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSkS2kSkS3kS2k4、数列前n项和(1)重要公式：n(n1)n22222n(n1)(2n1)123n61323n32n(n1)2*(2)等差数列中，SmnSmSnmnd(3)等

48、比数列中，SmnSnqrlSmSmqmSn(4)裂项求和：111;(nn1n!(n1)!n!)n(n1)n（第1课时）课题§不等式与不等关系【教学目标】1 知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2 过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3 情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。【教学

49、难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。【教学过程】1课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。2讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1:限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是：v40引例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量p应不少于，写成不