高中数学经典50题(附答案)

1、高中数学题库1. 求下列函数的值域:(沪严2+smz(2)lj=cos2+sinrCl)解法1丿=一1+44工W宅4,32+siiix解法2由原式，得4,T一lWsinxWl,-lW2+$inxW3,2+sinx二即函数的值域为p3,沁=兰匕乩/|smr|<l|2(1-7)|W|l+H此不等式等价于4(iryw(i+总解之，扌旬勺.(2)解法1TcoA=l血轨.'.sin2x+sinx+1=(sinx-)+.2 431119/-lWsinxWl,-Wsmx/.X(sinr)运一，2 2224(t)+?WywZ即函数的值域为7-9444解法2令t=sinx,贝Uf(t)=-t2+1

2、+1,|sinx|<1,/|11<1问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值.'/抛物线的对称轴站=丄三一“又抛物线开口向T故皿=贰丄)=上一224比较心丙恥的知得如=7.“i丹本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处

3、，当此慧星离4地球相距m万千米和一m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3兀十n和一，求该慧星与地球的最近距离。23解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F(-c,0)处，椭圆的方程为22U1ab(图见教材P132页例1)。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为二时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只3-12能满足NxFA=二（或±xFA-）。作AB丄Ox于B，则FBTFA十m3 323ca2m(c)故由椭圆第二定义可知得ac4m3ca22(cm)ac31 c213两式相减得一mm,.a=2g代入第一式得m=-（4c-c）c,3 a3222 2.cm.a-c=cm.

4、332答：彗星与地球的最近距离为-m万千米。3说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a-c，另一个是a-c.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6Km，C在B正北偏西30:,相距4Km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4

5、S后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1Km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）解：如图，以直线BA为X轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（3,0）,A（3,0）,C（5,2j3），因为PB=PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上。因为kBc一3,BC中点D（-4,.3），所以直线PD的方程为y-一31（x4）（1）V3又PB-PA=4,故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设P（x,y），则双曲线方程为221（0）（2）。联立（1）（2），得x=8,y=5，4 5所以P（8,5.、3）.因此kPA=3，故炮击的方位角北偏东30。8-3说明

6、：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2-2py(p.0)。将B(4,-5)代入得P=1.6.x2=-3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过2则A(2,yA),由2=-3.2yA得Ya=-1.25因为船露出水面的部分高0.75米所以h=|yaI+0.75=2米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行思维点拔注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛

7、物线方程解决实际问题的技巧。5. 如图所示，直线li和12相交于点M,Ii_l2，点h，以A、B为端点的曲线段C上任一点到丨2的距离与到点N的距离相等。若AMN为锐角三角形，AM|=,AN|=3,且NB=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。解：以直线h为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以J为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。设曲线段C的方程为y2=2px(p-0)(xA-x_xB,y0)，其中xA,xB为A、B的横坐标，pMN，所以M(遗,0),N(#,0)，由AM*17,AN=3，得(Xa-p)22pXA=17(1)

8、(Xa号)2»9(2),(1)(2)联立解得Xa=-，代入(1)式，并由p0p解得P=4或Ma=1，因为Ma=2AMN为锐角三角形，所以卫Xa，故舍去*2P=2，所p=4iXa=1P由点B在曲线段C上，得XB=BN-匚=4,综上，曲线段C的方程为22y=8x(1乞x乞4,y0)思维点拔本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6. 设抛物线y'=4ax(a0)的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，丨AB丨为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M,N。点P是MN的中点。(1) 求丨AM|+|

9、AN丨的值(2) 是否存在实数a,恰使|AM|AP|AN|成等差数列？若存在，求出a,不存在，说明理由。解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M',N',P'.|AM|+|AN|=|MM'|+|NN'|=XM+XN+2a又圆方程x-(a4)2y2=16将y2=4ax代入得x2-2(4-a)xa28a=0.XmXn=24-a得|AM|+|AN|=8(2)假设存在a因为|AM|+|AN|=|MM'|+|NN'|=2|PP'|所以|AP|=|PP'|,P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。27.抛物线y

10、=2px(p>0上有两动点A,B及一个定点M,F为焦点，若AF,MF,BF成等差数列(1)求证线段AB的垂直平分线过定点Q(2) 若MF|=4,OQ=6(O为坐标原点)，求抛物线的方程。(3) 对于(2)中的抛物线，求AQB面积的最大值。解：(1)设A(X1,y1)B(X2,y2,M(x0,y0),则AF|=%+p，BF=x?+号,pXt+x2*、»亠MF=x°+上，由题意得X。=一2，二AB的中点坐标可设为(X0,t)，其中22yi+y2t=-式0(否则AF=MF=BF二p=0),2而kAB二%乞也二卫，故AB的垂直平分线为X1_X2丄(yjy?2)yy2t2py-

11、t二上X-x°，即tX-x°-pyp=0，可知其过定点QX0p,0p(2)由MF=4,OQ=6，得x0+*=4,x0+p=6,联立解得p=4,x0=2二y2=8x。(3)直线AB:4亠222y-tfx-2，代入.y=8x得y-2ty2t-16=0,二yiy2一4心-，4皿2，X1-X2乓八"t2=J(16t2AB=JXX2fy2f二=丄J(16+t206t2)2=；.256t4，又点Q6,0至UAB的距离d二=J6t2，二Sqb=1ABd=11-J(256t4J16+t2)=j4096+256t216t4t64424635令u=4096256t-16t-t,则u=

12、512t-64t-6t,令u=0即512t-64t3-6t5=0,得t=0或t2二-16或t2=16,t2=16二t=3时333（s也qb）=64&6。9思维点拔设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线l:y=tan（x2、2）交椭圆x29y2=9于A、B两点，若为I的倾斜角,且AB的长不小于短轴的长，求a的取值范围。(19tan2：)x236.2tan2:x721a：n9=0，”AB=1+tan2。x2-捲=1tan"吋26tan二"6_219tan:将I的方程与椭圆方程联立，消去y

13、,得21由AB2,得tan2a兰一，二3l的方程由tan给出,的取值范围是_即二思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于兀兀所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。229、已知抛物线y2二x与直线y=k（x1）相交于A、B两点(1) 求证：OA_OB(2) 当；OAB的面积等于.10时，求k的值。2(1)证明：图见教材P127页，由方程组“消去x后，整理得ky+y_k=0。y2二-x上,y=k(x+1)设A(xyjB(X2,y2)，由韦达定理得丫°2=-1；代B在抛物线二x1x2222y1-X1,y2-X2,y1.y1y2y1kOAkOB:x1x2x1X

14、2-1,OA_OBy1y2(2)解：设直线与x轴交于N,又显然k=0,令y=0,则x二-1,即N(-1,0)41y1y2)2-4y2二S©ab=San十Sjobn=2ON|y1SOABSoab10,、10=1、!4,解得k=-2Vk6思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。2解设BC关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y=4x得：y+4ky-4m=0,设B(X1,yj、C(X2,y2),BC中点M(x°,y

15、76;),贝U2y0=(y1+y2)/2=-2k。x°=2k+m22k同两点，"=16k+16m>0把m代入化简得+2k+3点M(X0,y。)在直线上。-2k(2k+m+3,am=-又BC与抛物线交于不k3k2k3,0即(k1)(k-k3)kk解得-1<k<0思维点拔对称问题要充分利用对称的性质特点。11、已知椭圆的一个焦点R(0,-22),对应的准线方程为9、2y=-，且离心率e满足:2/3,e,4/3成等比数列。(1)求椭圆方程；(2)是否存在直线I，使I与椭圆交于不同的两点MN,且线段MN恰被直线x=-!平2分。若存在，求I的倾斜角的范围；若不存在，

16、请说明理由。2j2e=32(1)T-c=c9、2-2.2=，又e=a=3,c=2.2,b=1，又Fi(0,-22),443对应的准线方程为Iy=-土2。椭圆中心在原点，所求方程为:422yx=19(2)假设存在直线I，依题意I交椭圆所得弦MN被x=-丄平分，直线I的斜率存在。设2直线I:y=kxm由x22=1消去y，整理得9(k29)x22kmxm2-9=0直线I与椭圆交于不同的两点M即nl-k2-9<0设M(xi,yi)、N(X2,y2)NU=4k2mf-4(k2+9)(m2-9)>02k292k把代入可解得：k-3或k：-3直线I倾斜角:-JI31|62丿思维点拔倾斜角的范围，

17、实际上是求斜率的范围。lx-y-6乞012、设x,y满足约束条件x-y，2亠0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大x一0,y一023值为12,则的最小值为()ab256C.11答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12，即2a+3b=6,而23=(-3)2a3b=旦.(B.132=空，故选abab66ab66A.点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求

18、函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求最小值常用乘积进而用基本不等式解答.13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元.答案：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为xy<300,元，由题意得<500x+2

19、00y<90000,x>0,y>0.目标函数为z=3000x2000y.xy<300,二元一次不等式组等价于5x2y<900,x>0,y>0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.平移直线，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值.x分钟和y分钟，总收益为z如图：作直线l:3000x-2000y=0，即3x2y=0.x+v=300,联立解得x=100,y=200.点M的坐标为（100,200）.5x+2y=900.zmax=3000x2000y=700000（元）.点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的

20、关系,找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一.214、设a为实数，函数f（x）=2x（x-a）|x-a|（i）若f（0）_1,求a的取值范围；求f（X）的最小值；设函数h（x）=f（x）,x（a：），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）-1的解集.fav0解析：（1）若f（0-1，则-a|a|亠1：2:a_-1；la釘'2f（a）,a丄02a,a丄0（2）当x_a时，f（x）=3x2-2axa2,f（x）min二a=2a2，|f（；）,ac0斗ac

21、0.3.32a2,a：0f(x)=X22ax-a2,f(x)min二f(：),a00二-2：,a_0,lf(a),av012a,a<0综上f(x)min-2a2,a一0=2a2门；,a0.3(3)X(a,时，h(x)_1得3x2-2axa2-1-0,=4a2_12(a2_1)=12_8a2当a一于或a一于时gx(a：)；.6、6a:22时，>0,得：（xxaa-.3-2a2w)(x十_0；讨论得：当a(，)时，解集为(a,：)；当冷时，解集为(a,严一a产：)；a+J3_2a2时，解集为，:：).3点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用

22、数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.1 3215、知函数f(x)xx-2.3(I)设：anJ是正数组成的数列，前n项和为Sn,其中ai=3.若点(a*,a；.1-2a“1)(nN*)在函数y=f'(x)的图象上，求证：点(n,Sn)也在y=f'(x)的图象上；(n)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.解析：(I)证明：因为f(x-xx2-2,所以f'(xx22x,32122由点(an,an舟2an书)(nN)在函数y=f(x)的图象上，a-2玄井=an+2a“(an1an)(an1-an)二2(anan1),又an-0(nN),所以a

23、n1-an=2,faj是=3,d=2的等差数列，所以&=3nnn卫2二n22n,又因为f(n)=n22n,所以S=f(n),2故点(n,Sn)也在函数y二f'(x)的图象上.(n)解：f(x)=x22x=x(x2),令f(x)=0,得x=0或x二-2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(-m,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)/极大值注意到(a1)a|=1£2,从而2 当a-仁：-2:：:a,即-2:a：-1时,f(x)的极大值为f(-2)=,此时f(x)无极小3值； 当a-1：0：a,即0：a:1时,f(x)的极小值为f(0)-2，此时f(

24、x)无极大值； 当am-2或-1乞a乞0或a_1时,f(x)既无极大值又无极小值.点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.16、设a.0,b.0.若是3a与3b的等比中项，则11的最小值为(ab1D.-4答案：B解析：因为3a33，所以a1,丄一a1=(ab)=2bab启2+2Jba=4，当且仅当=即abab=b=-时“=”成立，故选择2点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力.17、设数列Q满足a。=0©1二ca；1-c,cN*,其中c为实数.证明：an0,1对

25、任意nN成立的充分必要条件是c0,1；(出)1n1*设0：c，证明：an-1-(3c),nN；312设0：c，证明：a-|2afHIa2n1-3,nN.1-3c解析:(1)必要性：/a1=0,二a2=1-c，又a20,1,二01c1，即c0,1.充分性:设0,1，对n，N用数学归纳法证明an0,1当n=1时，印=00,1假设ak0,1(k-1)33贝Uak1=cak1-c-c1-c=1，且akd=cak1-c-1-c0ak10,1，由数学归纳法知an0,1对所有N*成立.1设0：c，当n=1时，ai=0,结论成立.3当n一2时，/a.=ca31c,.1a.=c(1an)(1a.afj1_20c

26、C，由(1)知an引0,1，所以1+anj+anj<3且1an_xA03.1-a3c(1-an)2n1n11anZ3c(1an)乞(3c)(1-a.)_丨l|_(3c)一(1一印)=(3c)-n1*an_1-(3c)(nN)12设0：c，当n=1时，a；=0、2，结论成立，2 1-3cn1当n_2时，由(2)知a._1-(3c)-0 a；_(1(3c)nJ1)2=12(3c)nJ1(3c)2(n)12(3c)n222222n1 a1论+川+an=a2+|i+an>n123c+(3c)+|+(3c)2(1-(3c)n)1-3c21-3c点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质

27、的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高.18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）1111A.B.C.D.9121518解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个,181共有18个，成等差数列的概率为-，选B.6312点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复.19、等差数列an和bn的前n项和分别用Sn和Tn表示，若Sn4，则色的值为()Tn3n+5bn4n-28

28、n-36n-36n-2ABCD3n16n28n28n3答案：A解析：S2n丄r(2n-1)色归=(2n-1)%;T?.=(2n-1)02.an_S2n_4(2n1)_8n4_4n2bnT2nl3(2n-1)56n23n1点评：考查等差数列的前n项和的变形。220、已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则普)的最小值是.答案：4(a+b)2(x+y)2(2xy)2.解析：.=>=4.cdxyxy点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。21、命题P：实数x满足X2-4ax3a2：0,其中a：0,命题q:实数x满足x2-x-6乞0或x22x-

29、80,且一p是一q的必要不充分条件，求a的取值范围.解析：设A-|x2-4ax3a2:0(a：0)=：x|3a：xa",B-x|x2-x-6三0或x22x-80-:x|x2-x-6：0f_lx|x22x-80:=|-2-x-3,-"x|x：-4或x2Ix|x：-4或x-2'因为一p是q的必要不充分条件，所以q=p，且一p推不出一q而CrB=|-4空x-2匚,CrA="x|x空3a,或x-a'亠3a_-2a_-4所以tx|-4_x：-2f|x_3a或x_a*，贝U或<0lac02即a:：0或a-4.3点评：考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的

30、解集。22、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).(1) 若方程f(x)6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2) 若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.解析：(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x1)(x3)且av0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(24a)x3a(1)由方程f(x)6a=0得：ax2-(24a)x9a=0因为方程(2)有两个相等的根.所以二_(24a)24a9a=0,即卩5a24a1=0.1解得：a=1(舍去)或a=-，5将a=-代入(1)得f(x)的解析式

31、为：f(x)二-1x2-x,55552212a、2a4a1(2)f(x)二ax-2(12a)x3a=a(x)-aa有a<0,可得f(x)的最大值为2a4a1a4a1>0，且a<0.解得：a：-2-或一2.3：a:0,故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(：,-23)U(-2二,0).点评：含参数的未知一元二次方程，求函数表达式以及参数的取值范围。计算量比较大，且要求对一元二次函数的知识熟练。23、已知数列匕中，Sn是其前n项和，并且Sn4an2(n=1,2,川)，3=1,设数列bn=an1-2an(n=1,2,)，求证：数列b*是等比数列；设数列cn=卑，(n=1

32、,2,)，求证：数列cn是等差数列；2求数列、an的通项公式及前n项和。分析：由于bn和Cn中的项都和an中的项有关，an中又有Sn1=4an+2，可由Sn2-Sn4作切入点探索解题的途径.解：(1)由Sn1=4an'2,Sn2=4an.1+2，两式相减，得Sn2-Sn1=4(an1-an)，即an2=4an1-4an-(根据bn的构造，如何把该式表示成bn.1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)an.2-2an1=2(an1-2an)，又bn=an1-2an，所以bn1=2bn已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=

33、3由和得，数列bn是首项为3,公比为2的等比数列，故bn=32心因机二食(口皿所以%厂5=笋诗三笃缈汁2n+1"<又5=异故数列心是首项为占公差是扌的等差数列,J4n_4因为$二声又5=討扌'所以歩三手-扌二)n1当n2时，Sn=4anj+2=2(3n-4)+2;当n=1时，S1=a1=1也适合上式.综上可知，所求的求和公式为Sn=22(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn4an2得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在

34、后面求解的过程中适时应用.24、设实数a=0，数列£n是首项为a，公比为-a的等比数列，记bnFn1g|an|(nN*),Sn二b1b2bn,求证：当a北-1时，对任意自然数n都有Sn=alga21-(-1)nd(1nna)an】(1+a)2解：annaz=a(-a)n°=(-1)nan。bn=anlg|an(-1)n4anlg|(-1)nan|=(-1)nnanlg|a|Sn二alg|a|-2a2lg|a|3a3lg|a|(-1)n'(n-1)an'lg|a|(-1)心nanlg|a|23n-2n-1ndn二a-2a3a亠亠(T)(n-1)a(T)nalg

35、|a|23n-2nJn-4n_记S=a-2a3a亠亠(T)(n-1)a(T)naas=a-2a(-1)(n-2)a(T)(n-1)a(T)na +得(1a)s=aaa(T)a(-1)a(T)na:a-1,(1a)S1_(1_a)(-1)n4nan丄n1nn1a(-1)a(1a)(-1)na(1+a)2a+(1+n+na)(-1)nAan*(1+a)2a1(1nna)(-1)n1an(1+a)2n3n2+n(3n2+n)*-y3Mm-=<lg2.DMa12n3*pn说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对

36、数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力.原式=limIt亠X3na+nTg2=lg2*&二alg弓口.(_1)n1(1nna)an(1a)2说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定Cn二a.6,2.是等差数列,*等比数列。25、设正数数列an为一等比数列，且a2=4，a4=16.求Hm叭+i+粗尙+2+小Hgm加解设数列%的公比为q,显然翌二由于an>0,iifN,故q=2.于是a=2t故=a*q1'1=211因此q十+lg%lh+2關+lg2九(n+1)+(n+2)+-+2n2咗26、(2004年北京春季高考20)下

37、表给出一个“等差数阵”47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，曲表示位于第i行第j列的数。(I)写出a45的值；(II)写出aij的计算公式；(III)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。解：(I)a4549(II)该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列：aij43(j-1)第二行是首项为7公差为5的等差数列：a2j75(j

38、-1)第i行是首项为43(i-1)，公差为2i1的等差数列，因此ay=43(i-1)(2i1)(j-1)=2ijij=i(2j1)j(III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N二i(2j1)j从而2N1=2ij(21)2j1(21)(2j1)即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N1=(2k)(211)，从而N=k(2l1)I二可见N在该等差数阵中。综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。，A

39、是线钱AA的中点,27、已知点的序列哉(“，0)，八1亍，其中=0，"j二叭第?JA是线段的中点,(I)写岀S与！丨、之间的关系式(>3)(II)设I匕亠：，计算二，一1，由此推测数列、的通项公式，并加以证明,_+也Aj(I)解：当n3时，-由此推测X*+兀-I证法一：因为-1，且"-5'"_证法二土二1匕兀）二一打点（n>2）所以（用数学归纳法证明：）/1胃<_2>(i)当时,a，公式成立,a（ii）假设当它一I时，公式成立，即a成立。那么当：丨1时，'厂八川£一1212)a式仍成立。根据（i）与（ii）可知，对

40、任意二-'，公式a成立评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。28、（94年全国理）设an2是正数组成的数列，其前n项和为Sn,并且对所有自然数的等差中项等于Sn与2的等比中项.n，an与2（1）写岀数列an2的前三项；（2）求数列an2的通项公式（写岀推证过程）；(3)令bn=2I如叙丿(nN),求：bi+b+b-n.尙+2解：由题意an>0令n=1时，亠Si=ai解得ai=2令n=2时有亠=ai+a2解得a2=6+2令n=3时有二S3=ai+a2+a3解得a3=l0故该数列的前三项为2、6、10.an的通项解法一：由(1)猜想数列an

41、有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列公式是an=4n-2(nN)1°当n=1时，因为4X1-2=2,又在(1)中已求得ai=2，所以上述结论正确得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得S=2k22°假设n=k时，结论正确，即有ak=4k-2由题意有由题意有Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得2=2(ak+1+2k)整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+1>0，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2这就是说n=k+1时，上述结论成立根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立.解法二：由题意

42、有,整理得(an+2)由此得Sn+1=F(an+1+2)所以an+1=Sn+1-Sn=_22(an+1+2)-(an+2)1理得(an+1+an)(3n+1-an-4)=0由题意、知an+1+an0,所以an+1-3n=4即数列an为等差数列，其中所以an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)(3)令6=4-1,a1=2,公差d=4，即通项公式an=4n-2.则Cn=2l也凯务+1丿=2丿辽n+1丿=2n-l2n+lb+b2+l>-n=C1+C2+Cn2n+1J2n+l说明：该题的解题思路是从所给条件岀发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想岀一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明

43、.对于含自然数n的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力29、(江苏18)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k(1) 当直线PA平分线段MN，求k的值；(2) 当k=2时，求点P到直线AB的距离d;(3) 对任意k>0，求证：PA丄PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.解:(1)由题设知，a=

44、2,bi2,故M(-Cl'直线AC的斜率为，°),N(°,-.、2),所以线段mn中点的坐标为(-1,，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点，所以-122y=2x代入椭圆方程得+"=1,(2)直线PA的方程42|Kin解得22424x=_3,因此P(打,A(=1,故直线AB的方程为|-3_|242因此,d=333(3)解法一:将直线PA的方程y=kx代入2x422=1,解得x=2.12k2'记,12k2则PCk),A(,k),于是C(»0)故直线AB的斜率为y=-(x-),代入椭圆方程得(2k2)x2

45、-2ik2x2(3k22)=0,其方程为2xi2或x解得2k2-因此B(4(3k2+2)4k3、2k2，2k2)于是直线PB的斜率532一2k2i(3k22)2k2k3-k(2k2)3k22-(2k2)y2-(-yi)X2-(-Xi)2y；-2y；22x2-xi(x|2y；)X；-x；4-422x2-xi因此kik=-1,所以PA_PB.解法二：设P(Xi,yJ,B(X2,y2),则花Ox0,为=x?,A(Xi,yJ,C(Xi,0)kO-（yJyikk2设直线PB,AB的斜率分别为ki，k2因为C在直线AB上，所以人-（-Xj2xi2从而kiki-2kik2i-2y2一yix2_xi因此kik

46、一i,所以PAPB.230、（安徽理2i）设扎°，点A的坐标为（i,i），点B在抛物线y一x上运动，点Q满足BQMQA，经过Q点与mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QMMMP,求点P的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养解：由QM='MP知q，m，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设2222P（x,y）,Q（x,yo）,M（x,x）,则x一y°=（yx）,则y°=（1）x-y.再设B（x1,y1）,由BQ二QA,即（x-洛.y&#

47、176;-）Vx,仁y°）,X=（1+扎）x-几，解得y=（1+Qy°-人.将式代入式，消去y°，得Xi=（1+丸）X-丸,y=（1+k）2x2入（1+扎）yk._2_2_2又点B在抛物线y=x上，所以y1=x1，再将式代入=x1，得（1一儿）2x2（1一儿）y=（1r）x）2,（1：）2x2f（1：.,）y-=（1：；，J2x2f2（1：:'）x；2,2（1）x-（1）y-（1）=0.因0,两边同除以（V）,得2x-y-1=0.故所求点P的轨迹方程为y=2x一1.31、（北京理19）x22G:_+y=1x2+v2B两点.已知椭圆4.过点（m,0）作圆xy

48、-1的切线I交椭圆G于A，（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.（19）（共14分）解：（I）由已知得a=2,b=1,所以椭圆G的焦点坐标为(-3°),(、3，°)离心率为(n)由题意知，|m|J-33彳彳(1,号)，(1，-寻)，当m-1时，切线I的方程X-1，点a、b的坐标分别为22此时丨AB1-3当m=-1时，同理可得1AB3y=k(x-m),2X2+y=1.14当|m|/时，设切线I的方程为y=k(x_m),得(14k2)x28k2mx4k2m2-4=0设A、B两点的坐标分别为(X1,yJ(X2,y2)，则8k2mx1x2

49、_14k2,x1x24k2m2-4214k2又由x2y2I与圆=1相切,得|km|1.所以|AB|(X2-&)2M-yj2(1k2)4764km-22(14k)224(4km-4)14k由于当m=3时，ABF*3431m|-if.|AB|2,m(：,-11,二)所以m23因为|AB|=4-3|m|m2-34.3|m|m|<2,且当m一.3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.32、（福建理17）已知直线I:y=x+m,mR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线I相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线I关于x轴对称的直线为I，问直线I与抛物线C:x2=4

50、y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：（I）依题意，点P的坐标为（0,m）因为0-mMP丄I，所以20解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径r=|MP|二J2-0)2(0-2)2=2&,22故所求圆的方程为（X-2）y=8-（II）因为直线丨的方程为y=Xm,所以直线l'的方程为y=_x_m丄y'二-X_m,口22得x4x4m=0由x=4y2:=4-44m=16(1-m)（1）当m刊,即八=0时，直线I'与抛物线c相切（2）

51、当m=1，那二-0时，直线I'与抛物线C不相切。综上，当m=1时，直线I'与抛物线C相切;当m=1时，直线I'与抛物线C不相切。解法二：2*22（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x2）节"依题意，所求圆与直线1:X-ym=0相切于点P（0,m）,223 mr,|2-0m|r迈，m=2,解得r=2''2.2所以所求圆的方程为（X-2）2小y8.（II）同解法一。33、（广东理19）设圆C与两圆（x5）（1）求C的圆心轨迹L的方程;y2=4,(x-'5）y二4中的一个内切，另一个外切。（2）已知点（痘心）口冠）M55，且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时点P的坐标.(1)解:设C的圆心的坐标为（x,y），由题设条件知i.(x5)2y2-.(x-5)2y2|=4,2-1.（2）解：过M,F的直线1方程为y八2（x-5），将