高考数学试题中的线性规划问题

1、高考数学试题中的线性规划问题高中数学教学中的线性规划作为树形结合思想使用的一个典范，且承载着解决实际情况生活中的物质调运、产品安排、下料等问题，成为近年来高考中的热点。纵观近年来全国各地高考，不难发现对于该知识点主要是从“线性约束条件”和“（非）线性目标函数”两个角度实行考察。一、线性约束条件的考察1、对通过实际情况问题创建线性约束条件的水平考察例1:（2006年四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a,、b,千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b千克。甲、乙产品每千克可获利分别为di、d2元。月初中一年级次性购进本月原料A、B各Cl、C2千克。要计划本月生产甲产

2、品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为（）A、axa2y_cbXb2y_C2x_0y_oB、a1xy1ca2xby2Cx_0y_0ax亠a?y_5axa?y=qb1x亠b2y玄C2gxb2y=C2x亠0x_0C、y_0D、y_0解析：(略)答案:C练习：（2008年青岛评估）直线x+2y+3=0上的点P在xy=1的上方，且P到直线2x+y6=0的距离为3J5，则点P的坐标是答案：P(5,1)2、求线性约束条件中的待定系数0例2:（2008年陕西

3、卷）已知实数x、y满足y月备】，如果目标函数z=xy的最小值为1,则实数m等于（）A、7B、5C、4D、3解析：若直线x+y=m过点（1,1）,即m=2时可知z=xy无最小值，同理m2时，z也无最小值。故画可行域如图：令z=0,则作直线I。:y=x,平移直线I。过点C时z有最小值，yy=2x1即c（mJ，3,m+1故Zmin=32m-1）丿，32m-1,=一1，m=5。3练习：（2007年北京卷）若不等式组;xy5_02aC表示的平面区域是一个三角形，则o空夕的取值范围是（）A、a5B、a-7C、5_a73、线性约束条件中的转化化归思想D、a0，b0时，直线ax+by=1，Xy即1在区域的右上

4、方，如图:11ab1由图像得1，a得点P（a,b）确定的平面区域就是一个正方形，如图：易求其面积为1。1ax+by=1练习：（2007年江苏卷）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=（x,y）|x+y_1，且x_0，y-0/，则平面区域B=i（xy,X-y）1（X,y）A/的面积是11A、2B、1C、D、答案：B24二、线性目标函数的考察1、求线性目标函数的最值（最优解）xy_2xii4y_5例4:（2009年北京卷）若实数x、y满足，贝Us=yx的最小值为解析：画可行域，如图:令s=0，作直线：y=x，x+y-2=0平移直线lo知在B点处有最小值,即Smin-2-4-6。x=4yxy=5厂

5、结论：形如z=axby，当a0时,z随直线右平移增大，左平移减小；当a0时，z随直线右平移减小，左平移增大。练习:（2008年青岛模拟）已知变量x、y/2x_y0满足x护50，则z=log2（x5）的最大值为（B、log2510D、log2lOg23答案：B2、求线性目标函数中的待定系数例5:（2008年呼和浩特模拟）已知平面区域为顶点的三角形内部和边界组成，若目标函数得最小值，则a的取值范围是解析：可行域，如图：D是由以A(1,z=axy在区域3），B（2,0），C（3,1）D内仅在点（2，0）处取令z=0，作直线10:y=ax当a=0时，符合题意；当a0时，需一akBc=1，即一1a0时，

6、需一akAB=3,即卩0a3。综上述：一1a3。x+y狂1练习：（2009年陕西卷）若x、y满足约束条件x乙目标函数z=ax，2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A、（1,2）B、（4,2）C、（4,0）D、（2,4）答案：B三、求非线性目标函数的最值1、z=-_-型，常转化成斜率问题，看成过点（a,b）和点（x,y）的斜率。xa:x-y汨例6:（2008年福建卷）若实数x、y满足取值范围是（）A、（0,2）B、（0,2C、（2,+：）D、解析：令k=-，由题意得：即求y=kx的斜率范围。x画可行域，如图：易知k亠=2，故选DXy+2兰0y练习：（2007年辽宁卷）已知变X、y满足约束条件X望7_，则丄的取值范围是X好空x（）99门A、一,6B、（一：，一一.6,+：）C、（一：，3一6,+：）D、3,6答案：A552、z二.（X-a）2（y-b）2，常转化为距离问题，看成点（a,b）到点（x,y）的距离。点，那么|po|的最小值等于，最大值等于。答案：42，质例7、（2007年安徽卷）如果点P在平面区域/2x-y2_0X亠y-2102yV0点Q在曲线x2（y2）2=1上，那么|PQ|