第八讲 总体率的比较

1、一、总体率的近似正态检验一、总体率的近似正态检验总体率的显著性检验在医学领域经常用到总体率的显著性检验在医学领域经常用到总体率是具有某种特性的个体在总体中占的比例总体率是具有某种特性的个体在总体中占的比例总体率的定义总体率的定义两个总体的总体率是否具有显著差别两个总体的总体率是否具有显著差别关心的问题：关心的问题：单个总体的总体率是否与某已知率有显著差别单个总体的总体率是否与某已知率有显著差别a. a. 单个总体率的检验单个总体率的检验 例例1 1：用某药物治疗了：用某药物治疗了226226例，结果有例，结果有200200例有效。例有效。试判断该药物的有效率是否高于试判断该药物的有效率是否高于

2、0.80.8？例例2 2：根据以往临床资料统计，一般胃溃疡患者：根据以往临床资料统计，一般胃溃疡患者有有20%20%发生胃出血症状。某医生观侧发生胃出血症状。某医生观侧6565岁以上岁以上胃溃疡病人胃溃疡病人120120例，其中有例，其中有4040例发生胃出血症状。例发生胃出血症状。问老年患者是否比较容易出血？问老年患者是否比较容易出血？b. b. 两个总体率的比较两个总体率的比较例例3 3：为比较两种药物的疗效，甲种药物治疗病人：为比较两种药物的疗效，甲种药物治疗病人154154例，其中有效例，其中有效126126例；乙种药物治疗病人例；乙种药物治疗病人286286例，例，其中有效其中有效2

3、04204例。试推断甲种药物的有效率是否高例。试推断甲种药物的有效率是否高于乙种药物的有效率？于乙种药物的有效率？单个总体率的检验和两个总体率的比较可用本单个总体率的检验和两个总体率的比较可用本节所讲的节所讲的大样本近似正态检验法大样本近似正态检验法 两种方法均要求样本容量取得相对多一些两种方法均要求样本容量取得相对多一些多个总体率的比较可用以后讲的多个总体率的比较可用以后讲的独立性独立性2 2检验法检验法1 1、单个总体的总体率与一已知率的比较、单个总体的总体率与一已知率的比较例例2 2：根据以往临床资料统计，一般胃溃疡患者：根据以往临床资料统计，一般胃溃疡患者有有20%20%发生胃出血症状

4、。某医生观侧发生胃出血症状。某医生观侧6565岁以上胃岁以上胃溃疡病人溃疡病人120(n)120(n)例，其中有例，其中有40(m)40(m)例发生胃出血症例发生胃出血症状。问老年患者是否比较容易出血？状。问老年患者是否比较容易出血？记老年患者出血率为记老年患者出血率为p p0-10-1总体总体X X症状老年胃溃疡患者无出血，症状老年胃溃疡患者有出血01,X) 1(XPp2 . 0:2 . 0:0100ppHppH一般地，单个总体总体率的检验分为以下三类一般地，单个总体总体率的检验分为以下三类0,:0100ppHppH（1 1）0,:0100ppHppH（2 2）0,:0100ppHppH（3

5、 3）右侧检验右侧检验左侧检验左侧检验双侧检验双侧检验检验假设检验假设这是有关单个总体率的假设检验，备择假设为右侧这是有关单个总体率的假设检验，备择假设为右侧1 , 01000NnpppXUn 检验统计量及其渐近分布检验统计量及其渐近分布X总体率总体率p p的估计的估计在在H H0 0成立下有成立下有0)(pXEnppXV/ )1 ()(00对统计量的解释对统计量的解释: :中心极限定理中心极限定理1 , 0)()(NXVXEXUn nmX/双侧检验法则双侧检验法则02/0.,|HrejuU02/0.,|HaccuU双侧双侧P P值值|)|20UUPP0.HrejP0.HaccP00.,Hre

6、juU00H.acc,uU左侧检验法则左侧检验法则00H.rej,uU00.,HaccuU右侧检验法则右侧检验法则单侧单侧P P值值|)|0UUPP0.HrejP0.HaccP例例2 2结果结果651531202012020120400./ ).(.U双侧双侧P P值值00026020.|)U|U(PP单侧单侧P P值值0001300.|)U|U(PP样本容量的估计样本容量的估计2200)()1 ()1 (21uuppppn22/200)()1 ()1 (21uuppppn单侧检验单侧检验双侧检验双侧检验其中其中p=pp=p0 0+例例3 3：为考察一种新药的疗效，拟与标准药物的：为考察一种新

7、药的疗效，拟与标准药物的疗效进行比较。已知标准药物的有效率为疗效进行比较。已知标准药物的有效率为0.70.7，要求新药的有效率应高于要求新药的有效率应高于0.850.85。若要求检验精度。若要求检验精度为为=0.05=0.05，=0.05=0.05，问需要安排多大的样本容量，问需要安排多大的样本容量才能符合要求。才能符合要求。选用单个总体总体率的近似正态检验选用单个总体总体率的近似正态检验（右侧检验）（右侧检验）0,:0100ppHppH=0.15=0.15，p p0 0=0.7=0.7，p=0.85p=0.85，=0.05=0.05，=0.05=0.05查表得查表得64. 12/10. 00

8、5. 0uuu这里已知这里已知64. 12/10. 005. 0uuu代入公式代入公式81688.802200)()1 ()1 (21uuppppn22)64. 164. 1(15. 0)7 . 01 (7 . 0)85. 01 (85. 021n2 2、两个总体的总体率的比较、两个总体的总体率的比较 设有两个总体，具有某种特性的个体在总体中占设有两个总体，具有某种特性的个体在总体中占的比例称为总体率的比例称为总体率( (未知参数未知参数), ),关心两个总体的总关心两个总体的总体率间是否有显著差别体率间是否有显著差别. .例如：试验一种新药，考察对治愈某种流行性感例如：试验一种新药，考察对治

9、愈某种流行性感冒是否有效。在冒是否有效。在400400名流感病人中，有名流感病人中，有160160人服用人服用了这种药，其余未服。了这种药，其余未服。5 5天后服药者有天后服药者有130130人痊愈，人痊愈，未服者中有未服者中有190190人痊愈。试依据该试验数据对这人痊愈。试依据该试验数据对这种新药治疗流感的疗效做出统计评价种新药治疗流感的疗效做出统计评价. . 新药痊愈率新药痊愈率p p1 1，未服用药痊愈率，未服用药痊愈率p p2 2211210:ppHppH一般地，两个总体总体率的检验分为以下三类一般地，两个总体总体率的检验分为以下三类0,:211210ppHppH（1 1）右侧检验右

10、侧检验（2 2）左侧检验左侧检验0,:211210ppHppH（3 3）双侧检验双侧检验0,:211210ppHppH检验假设检验假设1 , 0)/1/1)(1 ( )(21NnnppYXUn 检验统计量及其渐近分布检验统计量及其渐近分布YX 总体率总体率p p1 1-p-p2 2的估计的估计在在H H0 0成立下有成立下有0)(21ppYXE22211111n/ )p(pn/ )p(p)Y(V)X(V)YX(V对统计量的解释对统计量的解释: :中心极限定理中心极限定理1 , 0)()()(NYXVYXEYXUn )/1/1)(1 (21nnpp双侧检验法则双侧检验法则00.,HrejuU00

11、H.acc,uU左侧检验法则左侧检验法则020H.rej,u|U|/02/0.,|HaccuU00H.rej,uU00.,HaccuU右侧检验法则右侧检验法则)/()()/()(21212121nnmmnnYnXnp例例3 3结果结果42228611541286154204126286204154126.)(U双侧双侧P P值值0153640.0076820.单侧单侧P P值值|)U|U(PP02|)U|U(PP0样本容量的确定样本容量的确定222211)()1 ()1 (21uuppppn22/22211)()1 ()1 (21uuppppn单侧检验单侧检验双侧检验双侧检验21, pp可用相

12、应的预试验样本估计值替代可用相应的预试验样本估计值替代以前介绍了几种常见的分布以前介绍了几种常见的分布, ,如如: :正态分布正态分布0-10-1分布、分布、二项分布、二项分布、PoissonPoisson分布、指数分布等分布、指数分布等现在涉及一个总体，它的分布未知，我们如何现在涉及一个总体，它的分布未知，我们如何通过抽样对它的分布进行推断？通过抽样对它的分布进行推断？二、分布拟合检验二、分布拟合检验例例4.1.1 4.1.1 已知甲地居民的血型分布见表已知甲地居民的血型分布见表4.14.1第第2 2行行所列（经过以往普查得到的）。现随机抽样调查所列（经过以往普查得到的）。现随机抽样调查了乙

13、地个居民的血型，得到各血型的观测频数见了乙地个居民的血型，得到各血型的观测频数见表表4.14.1第第3 3行。行。表表4.1 4.1 甲乙两地居民血型分布的比较甲乙两地居民血型分布的比较血型血型 O O型型 A A型型 B B型型 ABAB型型甲地甲地 0.3049 0.2751 0.3233 0.09670.3049 0.2751 0.3233 0.0967乙地乙地 1600 1500 1650 2501600 1500 1650 250试根据乙地抽样调查数据，统计推断乙地居民血试根据乙地抽样调查数据，统计推断乙地居民血型分布是否同甲地居民血型分布相同型分布是否同甲地居民血型分布相同分析：分

14、析：问题涉及两个总体问题涉及两个总体甲地居民和乙地居民甲地居民和乙地居民表现为同一个随机变量表现为同一个随机变量血型（离散型）血型（离散型）记记X=1X=1，2 2，3 3，4 4分别代表分别代表O O、A A、B B、ABAB型血型血 记甲地居民血型的概率分布为记甲地居民血型的概率分布为F F0 0(x)(x)， F F0 0(x)(x)已知已知0967. 0)4(,3233. 0)3(,2751. 0)2(,3049. 0) 1 (0000FFFF记乙地居民血型的概率分布为记乙地居民血型的概率分布为F(x)F(x)， F(x)F(x)未知未知检验假设：检验假设：)()(:)()(:0100

15、 xFxFHxFxFH数学处理方便性原则数学处理方便性原则例例4.1.3 4.1.3 表表4.34.3给出了某地区给出了某地区120120名名1212岁男孩的身高岁男孩的身高资料。检验该地区资料。检验该地区1212岁男孩的身高是否服从正态分岁男孩的身高是否服从正态分布。布。表表4.3 4.3 某地区某地区120120名名1212岁男孩身高资料（岁男孩身高资料（cmcm）128.1 144.4 150.8 146.2 140.6 139.7 134.1 124.3 147.9 143.0 143.1 142.7 128.1 144.4 150.8 146.2 140.6 139.7 134.1

16、124.3 147.9 143.0 143.1 142.7 126.0 125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 133.4 131.0 125.4 130.3 146.3 146.8 126.0 125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 133.4 131.0 125.4 130.3 146.3 146.8 142.7 137.6 136.9 122.7 131.8 147.7 135.8 134.8 139.1 139.0 132.3 134.7 142.7 137.6 136.9 122.7 131.8 147.7 135.8 134.8 139.1

17、139.0 132.3 134.7 138.4 136.6 136.2 141.6 141.0 138.4 145.1 141.4 139.9 140.6 140.2 131.0 138.4 136.6 136.2 141.6 141.0 138.4 145.1 141.4 139.9 140.6 140.2 131.0 150.4 142.7 144.3 136.4 134.5 132.3 152.7 148.1 139.6 138.9 136.1 135.9 150.4 142.7 144.3 136.4 134.5 132.3 152.7 148.1 139.6 138.9 136.1

18、135.9 140.3 137.3 134.6 145.2 128.2 135.9 140.2 136.6 139.5 135.7 139.8 129.1 140.3 137.3 134.6 145.2 128.2 135.9 140.2 136.6 139.5 135.7 139.8 129.1 141.4 139.7 136.2 138.4 138.1 132.9 142.9 144.7 138.8 138.3 135.3 140.6 141.4 139.7 136.2 138.4 138.1 132.9 142.9 144.7 138.8 138.3 135.3 140.6 142.2

19、152.1 142.4 142.7 136.2 135.0 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 142.2 152.1 142.4 142.7 136.2 135.0 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 127.4 146.0 155.8 141.2 146.4 139.4 140.8 127.7 150.7 160.3 148.5 147.5 127.4 146.0 155.8 141.2 146.4 139.4 140.8 127.7 150.7 160.3 148.5 147.5 138.9 123.1 126.0

20、150.0 143.7 156.9 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 138.9 123.1 126.0 150.0 143.7 156.9 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 分析：分析：问题涉及一个总体问题涉及一个总体某地某地1212岁男孩岁男孩总体的随机变量表现总体的随机变量表现身高身高X X（连续型）（连续型）记总体记总体X X的分布为的分布为F(x)F(x)， F(x)F(x)未知未知检验假设：检验假设：)()(:)()()(:0100 xFxFHxxFxFH数学处理方便性原则数学处理方便性原则),(:),(:

21、2120NXHNXH或或其中其中 ， 2 2未知未知1 1、 假定总体假定总体X X为离散型的，假定为离散型的，假定X X所有可所有可能的取值为能的取值为1 1，2 2，k k实际观测频数：实际观测频数： n n1 1 ， n n2 2， n nk ki= 1i= 1，2 2，k k)()(:)()(:0100 xFxFHxFxFH理论观测频数：理论观测频数：E E1 1 ，E E 2 2， E Ek ki= 1i= 1，2 2，k k检验假设检验假设) 1(2,1220kEEnnHkiiiipF F0 0(x)(x)中不含未知参数中不含未知参数) 1(2,1220rkEEnnHkiiiipF F0 0(x)(x)中含中含r r个未知独立参数个未知独立参数K.Pearson Chi-squareK.Pearson Chi-square检验统计量检验统计量未知参数用相应的样本极大似然估计值替代未知参数用相应的样本极大似然估计值替代实际与理论频数之差越大越应该拒绝实际与理论频数之差越大越应该拒绝H0记记p pi0 i0为在为在H H0