#数学试验线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法试验报告内含matlab程序代码

1、西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强实验课题线性方程组的J-迭代，GS迭代，SOR迭代方法。实验目的熟悉线性方程组的J-迭代，GS迭代，SOR迭代方法。实验要求运用Matlab/C/C+/Java/Maple/Mathematica等具中一种语言完成。实验内容线性方程组的J-迭代；线性方程组的GS迭代；线性方程组的SOR迭代。成绩教师实验四实验报告一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR迭代。二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS迭代，SOR迭代,SSORt代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线55xi

2、+2x2=10性方程组6x1+4x2+x3=18的根，提图matlab编程能力。Jx12x25x3-14三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。四、实验原理：1、雅可比迭代法(J-迭代法)：线性方程组 A*X=b,A*X=b,可以转变为:其中BJ=I-M,A=M，(L+U),f=M%,称BJ为求解A*XA*X4 4 的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令X(k)=(X1(k),X2k)，.X；k),由雅可比迭代公式有i-1nMX(k*=(L+U)X(k)+b,既有aijXi(k+)=-SajX，-ajXj+bi,于j1jT1是，解 A*X=b

3、A*X=b 的雅可比迭代法的计算公式为迭代公式XX(0)(k1)=BjX(k)fk=0,1,2,.fv(0)(v(0)v(0)v(0)TX(X1X2-Xn)i1nY*4)_1/hvoy(k)VoY(k)Xi(bi-乙a/j-乙aijXj)、aiij=1j=k书2、高斯-赛德尔迭代法(GS迭代法)：GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了4(0)_7(0)(0)(0)TX=(X1,X2，.Xn)迭代公式：I(k)1J(k-H)，(k)Xi(bi一乙a。Xj一乙a。Xj)、aiij4j1平其余部分和雅克比迭代类似。3、逐次超松弛迭代法(SOR迭代法)：选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参

4、数w,将之作为分裂矩阵MM=LD-WL),其中，w0为可选择的松弛因子，w又(1)公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为Bs三I-w(DwL)A从而得到解 A*XA*X4 4 的逐次超松弛迭代法。X(0)X(k1)-BsX(k)fk=0,1,2,.其中 Bs=(D-Bs=(D-WL)(1-w)D+wU)w)D+wU)f=w(D-wL)f=w(D-wL)4 4b b由此，解 A*XA*X 丑的SOR迭代法的计算公式为0(0)_/Y(0)乂乂X(X1,X2，.Xn)i4n(2)Xi(k-=Xi的心(biaijX(k+)-EaijX；k71aiijfj=i:+观察(2)式，可得结论:(1)、当w=1时，S

5、OR迭代法为J-迭代法。(2)、当w1时，称为超松弛迭代法，当wepsx2=M*x1+g;a=norm(x2-x1,inf);x1=x2;k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解：);disp(x1);x2=x1-y;a=norm(x2,inf);fprintf(误差：.6f;迭代次数：%dn,a,k);%2.GS迭代functionx1=G_S(A,b,y)n=100;m=input(请输入迭代次数m:);eps=input(请输入精度eps:);D=diag(diag(A);L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;难成矢!阵M,向量gM=(D-L)U;g

6、=(D-L)b;%迭代首项x1=eye(n-1,1);x2=eye(n-1,1);fori=1:n-1x1(i)=1;x2(i)=0;enda=1;k=0;whileaepsx2=M*x1+g;a=norm(x2-x1,inf);x1=x2;k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解：)；x2=x1-y;a=norm(x2,inf);fprintf(误差：%.4f;迭代次数：%dn,a,k);%3.SORt代functiona=p(A)n,n=size(A);x=eig(A);a=0;fori=1:nb=abs(x(i);ifbaa=x(i);endenda=abs(

7、a);functionx1=SOR(A,b,y)%y为精确解力超松弛迭代D=diag(diag(A);L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;%求最佳松弛因子w-6-M=D(L+U);w=p(M);w=2/(1+sqrt(1-wA2);ifw2disp(迭代不收敛,);return;end难成矢!阵M,向量gM=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);g=(D-w*L)b*w;力进行迭代w=1;k=0;%x1=eye(n,1);whilew1e-6x2=M*x1+g;w=norm(x2-x1,inf);x1=x2;k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解：);disp(x1);x2=x1-y;w=norm(x2,