2018年高考理科数学试题(含答案)

1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12i_A.43.一一|551-2i一B./3iC.a4iD./*5555552,已知集合A=«x,y)x2+y2W3,xWZ,yWz,则A中元素的个数为A.9B,8C,5D,4x-x4,已知向量a,b满足|a|=1,ab=T,则a(2a-b)=A.4B.3C

2、.2D.0225 .双曲线-4=1(aA0,b>0)的离心率为73,则其渐近线方程为abA.y=2xB.y=3xC.y=-2xD.y=-3x226 .在ABC中，cos=,BC=1AC=5则AB=25A.42B.30C.29D.257.111一十+一499100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A.B.i=i28.C.D.i=i3i=i4我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是1A.一121B.141C.151D.

3、一189.在长方体ABCDABiGDi中，AB=BC=1,AA=点，则异面直线Ad与DB1所成角的余弦值为10.若f(x)=cosx-sinx在-a,a是减函数，则a的最大值是兀A.一4A.-50C.2D.503兀C.一411 .已知f(x)是定义域为(q,F)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=2212 .已知F-F2是椭圆C:。+冬=1(ab>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为,1的直线上,6abPF1F2为等腰三角形，/F1F2P=120°,则C的离心率为1C.32A.一3二、填空题：本题

4、共4小题，每小题5分，共20分。13 .曲线y=2ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为x+2y-5之0,14 .若x,y满足约束条件dx2y+3之0,则2=*+丫的最大值为x-5<0,15,已知sina+cos3=1,cosa+sin3=0,贝Usin(a+3)=.16. 已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为7，SA与圆锥底面所成角为45。，若SAB的面积为5炳,则该圆锥的侧面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17. (12分

5、)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a=7,S3=-15.(1)求，的通项公式；(2)求&,并求Sn的最小值.18. (12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,，17)建立模型：？=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,，7)建立模型：？=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪

6、个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19. (12分)设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8.(1)求l的方程；(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20. （12分）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=272,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明：PO_L平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPA_C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值.C21. （12分）已知函数f（x）=ex-ax2.(1)若a=1,证明：当x之0时，f(x)>1;若f(x)在(0,")只有一个零

7、点，求a.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)x=2cos0,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(。为参数)，直线l的参数方程为j=4sin0(t为参数)!x=1+tCOSa,y=2+tsina(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23. 选彳4-5：不等式选讲(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时，求不等式f(x)之0的解集;(2)若f(x)<1,求a的取值范围.参考答案：一、选择题1.D

8、2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题13.y=2x14,915,-16.40我兀2三、解答题17 .（12分）解：（1）设an的公差为d,由题意得3a1+3d=15.由a1-7得d=2.所以aj的通项公式为an=2n9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=（n-4）2-16.所以当n=4时，Sn取得最小值，最小彳1为-16.18 .（12分）解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为?=-30.4+13.5父19=226.1（亿元）.利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为?=99+17.5黑9=256.5（亿

9、元）.（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y?=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠(ii)从

10、计算Z果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19.(12分)解：(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2)，y=k(x-1),_9由2得k2x2_(2k2+4)x+k2=0.y=4x2八一2k24A=16k+16>0,故x1+x2=2k2,2_4k4所以|ABRAF|BF|-(x11)(x21)=k4k24由题设知一=8,解得k=

11、1(舍去)，k=1.k因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则(x01)22(y0-x0+1)+162Jx0=3,_Lx0=11,解得或y0=2y0-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20.(12分)解：(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点，所以OP_LAC,且OP=2j3.连结OB.因为一.2AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,2且OB_LAC,-1-OBAC=2.2由OP2+OB2=P

12、B2知PO-LOB.由OP1OB,OP1AC知PO_L平面ABC.urn(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.uuu由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0，丁3)AP=(0,2,2&),取平面PAC的法uuu向量OB-(2,0,0).uuur设M(a,2-a,0)(0<a<2),则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).uuruuu223z=0一一,鹿，3|cos,OB,n尸石由APn=0,AMn=0得/y"0，可取n=(T3(a4),73a,

13、a),ax(4-a)y=0uuu2、,3(a-4)所以cos(OB,n)=-f.由已知得23(a-4)23a2a22431a-4|.34所以I2!2=一.解得a二一4(舍去)，a=一2、3(a-4)3aa23所以n=(8；334.334uuu,-).又PC=(0,2,-2>/3),所以cos：PC,nH£所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21 .(12分)【解析】(1)当a=1时，f(x)至1等价于(x2+1)e'1E0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x22x+1)e-x=(x-1)2e-x.当x#1时，g'(x)<0

14、,所以g(x)在(0,收)单调递减.而g(0)=0,故当x20时，g(x)<0,即f(x)之1.设函数h(x)=1-ax2e”.f(x)在(0,+g)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,十比)只有一个零点.(i)当aE0时，h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时，h'(x)=ax(x2)e.当xw(0,2)时，h'(x)<0；当xw(2,F)时，h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,十无)单调递增.故h(2)=1-4a是h(x)在0,)的最小值.2若h(2)>0,即a(土，h(x)在(0,收)没有零点;

15、42若h(2)=0,即a=e-,h(x)在(0,也)只有一个零点;42e若h(2)<0,即a由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点,4,.tx216a316a316a31由(1)知，当x>0时，ex>x2,所以h(4a)=1a-=1>14=1>0.e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,f)有两个零点.2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a=e.422 .选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)22【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为人+L=1.416当cos口#0时，l的直角坐标方程为y=tan£x+2-tana,当cosa=0时，l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程2、，2(1+3cosa)t+4(2cosot+sina)t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为ti,t2,则ti+t2=0.又由得t1+t2=_4