一元一次方程全章复习与巩固提高知识讲解

1、一元一次方程全章复习与巩固(提高)知识讲解【学习目标】1 .经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2 .了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3 .能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性【知识网络】才杈T方程的解法一元一次之和方程的解解方程一等式性质1等式性*2去分母去括号移q合并系敦化就面我问鬟.依据概念解等相关闭髭等式性质的灵活运用一元-"次方程的求解等积变形实际运用-在程问题工程问题总分问题的解答配套问题0a表信息问题从埼警复杂的数量关系中探索等量关系【要点梳理】要点一、一元一次

2、方程的概念1 .方程：含有未知数的等式叫做方程.2 .一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：(1)一元一次方程变形后总可以化为ax+b=0(aW0)的形式，它是一元一次方程的标准形式.1；(2)判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.3 .方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解.4 .解方程：求方程的解的过程叫做解方程.要点二、等式的性质与去括号法则1 .等式的性质：等式的性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式.等式

3、的性质2:等式两边乘同一个数，(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.2 .合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变.3 .去括号法则：(1)括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.(2)括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.要点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.(4)合并：逆用乘法分配律，分

4、别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax=b(aw0)的形式.(5)系数化为1:方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=b(aw0).a(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解.要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1 .等积变形：形状面积变了，周长没变；原体积=变化后体积2 .利润问题：商品利润=商品售价一商品进价3 .行程问题：路程=速度x时间4 .和差倍分问题：增长量=原有量X增长率5 .工程问题：工作量=工作效率X工作时间，各部分劳动量之和=总量6 .银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金x利率

5、x期数7 .数字问题：多位数的表示方法：例如：abcd=a父103+bM102+cM10+d.8 .方案问题：(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.【典型例题】类型一、一元一次方程的相关概念1 .已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值.【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.【答案与解析】解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2

6、m是关于x的一元一次方程，所以3m-4=0且5-3mw0.44.4由3m-4=0斛得m=，又m=-能使5-3mw0,所以m的值是一.3334488将m=一代入原方程，则原方程变为一.5-3Mx=，斛得x=.3.33348所以m=，x=.33【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义.方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4=0,而x的一次项系数5-3mw0,m的值必须同时符合这两个条件.举一反三：【变式】下面方程变形中，错在哪里：(1)方程2x=2y两边都减去x+y,得2x-(x+y)=2y-(x+y),即x-y=

7、-(x-y).方程x-y=-(x-y)两边都除以x-y,得1=-1.-3-7x2x1一.，一一(2)=+2x,去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x,去括号得：9-21x=4x+2+2x.23【答案】(1)答：错在第二步，方程两边不能除以x-y,只有一种可能就是x-y为0了，所以出现了1=-1的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为0的.(2)答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.C2.(2015秋?营山县校级期中)对于ax+b=0(a,b为常数)，表述正确的是()A.当a用时，方程的解是x=-B.当a=0,b4时，方程有无数解aC.当a=0

8、,b=0,方程无解D.以上都不正确【答案】D.【解析】解：A、当a加时，方程的解是x=-,故错误；aB、当a=0,b4时，方程无解，故错误；C、当a=0,b=0,方程有无数解，故错误；D、以上都不正确.【总结升华】此题很简单，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于0.举一反三：【变式】已知|x+1|+(y+2x)2=0,则xy=.【答案】1类型二、一元一次方程的解法3,解方程：解方程32x-1-3(2x-1)+3=5.【答案与解析】解：把2x-1看做一个整体.去括号，得：3(2x-1)-9(2x-1)-9=5.合并同类项，得-6(2x-1)=14.系数化为1得：2

9、x-1=,32斛得x=一一.3【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程.本题也可以考虑换元法：设2x-1=a,则原方程化为3a-(3a+3)=5.5-2z2z-5举一反三：【变式】解方程z-三一2-67z44【答案】解：把方程两边含有分母的项化整为零，得z267z52z2z5z+=十一.44443366一人,111移项，合并同类项得：1z=1,22系数化为1得：z=1.类型三、特殊的一元一次方程的解法4.解关于X的方程:1.解含字母系数的方程1,、1,C、-m(x-n)=-(x2m)【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数X的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解

10、的情况与X的系数和常数的取值都有关系.【答案与解析】解：原方程可化为：(4m-3)x=4mn6m=2m(2n3)4mn6mx二4m-33当m#一时，原万程有唯一解:433当m=4,n=时，原方程无数个解；“33当m=一,n时，原方程无解；42【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax=b,再分类讨论进行求解,注意最后的解不能合并，只能分情况说明.2.解含绝对值的方程一5.解万程|x-2|=3.【答案与解析】解：当x-2>0时，原方程可化为x-2=3,得x=5.当x-2V0时，原方程可化为-(x-2)=3,得x=-1.所以x=5和x=-1都是方程|x-2|=3的解.【总结升华】

11、如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3,所以|x-2|=3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|=3的解为x=-1和x=5.二101234s举一反三:【变式】若关于x的方程2x3+m=0无解，3x4+n=0只有一个解，4x5+k=0有两个解,则m,n,k的大小关系为：（）A.mnkB.nkmC.kmnD.mkn【答案】A类型四、一元一次方程的应用“6.李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少？【

12、思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变.【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为_y_15=_y_3060-1815“口解得:60y千米，则有:45万4515由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为21=1（小时）,3060李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李彳骑摩托车的速度为x千米/时，则有:451-6021一”60=27（千米/时）答：李伟此时骑摩才e车的速度应是27千米/时.【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问

13、题的途径和方法.7.黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：门票每人60元，无优惠；上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元.公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时,问公司租用的四座车和H一座车各多少辆？【答案与解析】.一、，,、，704x,、一解：设四座车租x辆，十一座车租704x辆，依题意得:11706060x1170-4x1110=4920解得：x=1,704x=6114920元”中挖掘两答：公司租用的四座车和H一座车分别是1辆和6辆.【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为个等量

14、关系构建方程求解C8.某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此,该厂某领导提出了两种可行方案：方案1:尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2:将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？【答案与解析】解：（1）若选择方案1,依题意，总利润=2000元X4+500元X（

15、9-4）=10500（元）.（2）若选择方案2.方法一：解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用（9-x）吨鲜奶制成酸奶销售.依题意得，学十匕2=4,13解得x=1.5.当x=1.5时，9-x=7.5.总利润=2000X1.5+1200X7.5=12000（元）.12000>10500,选择方案2较好.方法二：解：设x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.x+3（4-x）=9x=1.54-x=2.51.5X1X2000+2.5X3X1200=12000（元）12000>10500,选择方案2较好.答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片.【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程.例如本题方案2中的方法一，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：每吨利润吨数工效天数酸奶12009-x39x奶片2000x1x1合计94该表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算,同学们可根据理解自己选择.举一反三：【变式】(2015?吴江市一模)现有甲、乙两种金属的合金10kg,如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼