专题03勾股定理知识点串讲解析版

1、专题03勾股定理知识网络分类讨论勾股定理,求边长折晋问题面积间款勾股定理规律探究网格中的勾股定理勾股定理与三角形面积专题03勾股定理动点问即勾股定理的证明重难突破、勾股定理1 .勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c2.22c=ab)-2ab.2 .理解勾股定理的一些变式:22.2.222a=cb,b=ca,典例1.(2018春?泸县期末)在ABC中，AB=17cm,AC=10cm,BC边上的高等于8cm,则BC的长为cm.【答案】见解析【解析】解：过点A作ADLBC于D,由勾股定理得，BD=2-2=15(cm),CD=6(cm),如图1,BC=CD+BD

2、=21(cm),如图2,BC=BDCD=9(cm),A故答案为：9或21.【点睛】利用勾股定理列式求出BD、CD,再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度.作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论.11典例2.（2017秋?漳州期末）如图，ABC中，/C=90°,AC+BC=6,ABC的面积为4cm2,则斜边AB的长是cm.【答案】5【解析】解：:AC+BC=6,.(AC+BC)2=AC2+2AC?BC+BC2=36,_4.ABC的面积为,1_112_4AC?BC, .2AC?BC=11, .AB_5,故答案为：5.1_11【点睛】根据题意得到AC

3、2+2AC?BC+BC2=36,根据三角形的面积公式得到2ac?bc4,根据勾股定理计算即可.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.典例3.（2018春?东辽县期末）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分AFC的面积为.D'【答案】10【解析】解：易证AFD'叁'CFB, ,.D'F=BF,设D'F=x,贝UAF=8x,在RtAFD'中，（8x）2=x2+42,解得：x=3,AF=AB-FB=8-3=5, .Saafc?AF?BC=10.故答案为：10

4、.【点睛】因为BC为AF边上的高，要求AFC的面积，求得AF即可，求证AFD'CFB,得BF=D'F,设D'F=x,则在RtAFD'中，根据勾股定理求x,AF=AB-BF.本题中设D'F=x,根据直角三角形AFD'中运用勾股定理求x是解题的关键.典例4.（2017秋?孟津县期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40,另外四个正方形中的数字8,x,10,y分别表示该正方形面积，则x+y=.【解析】解：:Sa=40,根据勾股定理的几何意义，得x+10+(8+y)=Sa=40,.-，x+y=40-18=22,

5、即x+y=22.故答案为：22.【点睛】先由Sa=40,再根据勾股定理的几何意义，得到x+10+(8+y)=Sa,由此得出x与y的数量关系.以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和.典例5.(2017秋?延庆县期末)如图，OP=1,过P作PP1LOP且PP1=1,根据勾股定理，得OP1=$;再过P1作P1P2LOP1且P1P2=1,得OP2=$；又过P2作P2P3,OP2且P2P3=1,得OP3=2；依此继续，得OP2018=,OPn=(n为自然数，且n>0)【答案】涧西;赤十不【解析】解：由题意得，OP1;OP2；op3=e则OP2018=eUOPn=,故

6、答案为：M函眄；'不五.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b22=C.典例6.(2018春?抚顺期末)如图，平面直角坐标系中的每个小正方形边长为1,ABC的顶点在网格的格点上.(1)画线段AD/BC,且使AD=BC,连接BD;此时D点的坐标是.,AD的长为,BD的长为（2）线段AC的长为*±+1±=7五,AD的长为k+2便,BD的长为中受+13=闻.故答案为：（0,-4）;卢），2用，回.【点睛】（1）根据题意画出图形，进一步得到D点的坐标;（2）根据勾股定理可求线段AC的长，AD的长，BD的长;典例7.（

7、2018春?新洲区期末）如图，四边形ABCD中，/A=/C=90°,ZABC=135°,CD=6,AB=2,则四边形ABCD的面积为【解析】解：延长AB和DC,两线交于O, /0=90°,/ABC=135°, ./OBC=45°,/BCO=90°, ./O=45°, .ZA=90°, ./D=45°,则ob=、2bc,OD=$OA,OA=AD,BC=OC,设BC=OC=x,贝UBO=x, CD=6,AB=2,6+x=镜(dx+2),解得：x=6-2、， .OB=Mx=6&-4,BC=OC=6-2-

8、,OA=AD=2+6-4=6<J_2,11=xxBCxOC，四边形ABCD的面积S=Saoad-Saobc2OAXAD21 1_=-xx0泛x(6-2如x16-2必2 (6-2)2=16,故答案为：16.【点睛】延长AB和DC,两线交于O,求出OB=)收BC,OD=OA,OA=AD,BC=OC,设BC=OC=x,则BO=S,解直角三角形得出方程，求出x,再分别求出AOD和BOC的面积即可.能解直角三角形求出BC的长度是解此题的关键.典例8.(2017秋？嵩县期末)如图，已知ABC中，/B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿

9、A-B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B一C-A方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒.Cc彳5 p<ABp<A辄用图(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间.【答案】见解析【解析】解：(1)BQ=2X2=4(cm),BP=AB-AP=16-2X1=14(cm),/B=90°,二.PQ="*+14=溜=(cm);(2)BQ=2t,BP=16-t,根据题意得：2t=16-t,_16解得：t3,16即出发3

10、秒钟后，PQB能形成等腰三角形；(3)当CQ=BQ时，如图1所示，53p*A由1则/C=ZCBQ,./ABC=90°,./CBQ+ZABQ=90°./A+/C=90°,.A=/ABQ,BQ=AQ,-.CQ=AQ=10,BC+CQ=22,.t=22+2=11秒.当CQ=BC时，如图2所示，则BC+CQ=24,，t=24+2=12秒.当BC=BQ时，如图3所示,过B点作BEXAC于点E,ylBSC12x1648则beA。205,J248236=BC2-BE2=122-(/=CE飞CQ=2CE=14.4,BC+CQ=26.4,.t=26.4+2=13.2秒.综上所述：当

11、t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形.【点睛】(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可；(2)设出发t秒钟后，4PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ,由BQ=2t,BP=8-t,列式求得t即可;(3)当点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQ=BQ时，则/C=ZCBQ,可证明/A=ZABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t;当CQ=BC时，则BC+CQ=12,易求得t;当BC=BQ时，过B点作BEXAC于点E,则求出BE,CE,即可得出t.二.勾股定理的证明勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个

12、图形的面积来实现的常见的用来证明勾股定理的图形有：典例1.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()D.【答案】D1111ab+=【解析】解：A、2c22ab2(a+b)(a+b),.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;1Xab+2,.、2B、,4&c=(a+b),.整理得：a2+b2=c：即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;1Xab+C、42(b-a)2=c2,，整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意;故选：D.【点睛】先表示出图形中各个部分的面积，再判

13、断即可.本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键.典例2.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理(其中/DAB=90°)求证:a2+b2=c2.图1图2【答案】见解析【解析】解：利用图1进行证明：证明：DAB=90°，点C,A,E在一条直线上，BC/DE,则CE=a+b,111=+-+:S四边形bced=$abc+Saabd+Saaed2ab2c?ab,12又S四边形bced乙（a+b）

14、,1111+=，2ab2c22ab2（a+b）2,a2+b2=c2.利用图2进行证明：证明：如图，连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a,11=+:S四边形adcb=Saacd+Saabcb22ab.11=.+又S四边形adcb=$adb+Sadcb?c22a(ba),1111+=一+bb22ab2c22a(b-a),a2+b2=c2.【点睛】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式.此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键.巩固练习1. （2018春？紫阳

15、县期末）如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（）A.2B,41C,回-1D.褥【答案】C【解析】解：AC=6卧+BC2=耐+f=,则AM=镇口，A点表布-1,M点表示的数为：回-1,故选：C.2. （2018春？郑城县期末）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为12,斜边长为5,则ab的值是（）A.6B.8C.12D.24【答案】C【解析】解：.三角形的周长为12,斜边长为5,a+b+5=12,a+b=7,a、b是直角三角形的两条直角边,a2+b2=52,由得a2+b2=(a+b)2-2ab

16、=52.-72-2ab=52ab=12,故选：C.3. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=12,贝UEF的长是（）BCA.7B.8C.7、"D.73【答案】C【解析】解：=AE=5,BE=12,即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长=12-5=7,.EF="*+72=7隹故选：C.4. （2018春？腾冲市期末）在ABC中，/C=90°,AC=21,BC=28,则高CD的长为【答案】4.2【解析】解：如图，在RtAABC中，.AB-JL-2H-3511=XSaabc2ac?BC221X28=29

17、4,11二一二一xXVSaABCAB?CD35?CD,1一X.235CD=294,CD=4.2.故答案为：4.2.5.（2018春？孝感期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方49,由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为49,.正方形A、B、C、D的面积之和为49,故答案为：49.6. （2018秋？乐亭县期末）如图，RtAABC中，/B=90°,AB=8cm,BC=6cm,D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒.RtAABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,.AC=标+Rd=W+82=Hi,ED'是AC的中垂线，.CE=5,连接CD',CD'=AD',在RtBCD&