等比数列的前n项和(一)

1、2.5 2.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和( (一一) )粒共293222221.2,2,2, 2, 12932求求等比等比数列的数列的前前3030项项的和。的和。( (二二) )问题探究问题探究问题问题1：这个故事中，地主中计了吗？这个故事中，地主中计了吗？ 到底谁吃亏了？到底谁吃亏了？问题问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？这个月，地主一共要给农夫多少斤米？ （1000粒米约粒米约40克）克）4030=120030=1200（斤）（斤）问题问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？这是什么数列

2、求和？求前多少项的和？现在我们一起现在我们一起来寻找答案。来寻找答案。米粒的总数为米粒的总数为: :29323022221S问题问题5 5：如何求出这个和？用计算器怎么样？如何求出这个和？用计算器怎么样？问题问题7 7：怎样求等比数列的前怎样求等比数列的前n n项和公式？项和公式？问题问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有是否也有求和的公式求和的公式呢？若有就直接用公式呢？若有就直接用公式时间很长，太麻烦了。时间很长，太麻烦了。( (二二) )问题探究问题探究问题问题8 8：能否能否类比类比等差数列前等差数列前n n项和公式的求法？项和公式的求法？

3、复习回顾 (2) 在等比数列中若 m+n = p+q , 则 1、等比数列的定义：、等比数列的定义： an . n+1a=q (q=0)2 2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式：a = a qn 1n-13 3、等比数列的性质、等比数列的性质: : (1) (1) 若若 a , G , ba , G , b成等比数列成等比数列G =a b2a a = a am n p q国王奖励国际象棋发明者问题国王 ，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗 ，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,第64个格子放2 颗麦粒，请给我足够的麦粒来实现631 2

4、3 4 5 6 7 1 2 2 2 2 2 2 216 17 18 19 20 21 22 232 2 2 2 2 2 2 2 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2.24 25 26 27 28 29 30 312 2 2 2 2 2 2 2.32 33 34 35 36 37 38 392 2 2 2 2 2 2 2.40 41 42 43 44 45 46 47 2 2 2 2 2 2 2 2.48 49 50 51 52 53 54 5556 57 58 59 60 61 62 63 . 2 2 2 2 2 2 2 2.

5、 没问题没问题！ 1+2+4+8+263=?2 26464-1-1超过超过70007000亿吨亿吨二、新课讲解： 633222221S即， 646332222222S， 得即., 12264 SS1264S由此对于一般的等比数列，其前项和n112111nnqaqaqaaS，如何化简？根据根据式，式，如何构造另一个式子如何构造另一个式子？ 把这两个式子怎么样？把这两个式子怎么样？nnnaaaaS121等差数列求和公式的推导等差数列求和公式的推导121aaaaSnnn + + 得：得：)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn)(21nnaanS2)(1nnaanS倒序相加倒序相加

6、nnSna项和为为等差数列，其前数列( (三三) )方法回顾方法回顾的目的：出现相等的项，从而化简的目的：出现相等的项，从而化简解析解析1 1：找个具体的等比数列来检验找个具体的等比数列来检验问题问题1 1：对于等比数列，是否也能用对于等比数列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法进行求和呢进行求和呢? ?请大家动手试试。请大家动手试试。nnnaaaaS121项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan168421nS124816nS) 116()28()44()82()161 (2nS171081017( (四四) )类比探究类比探究每个括号里的值不相等每个括号里的值不相等, ,不能写成不

7、能写成n n倍来化简倍来化简! !)()(121nnaaaa)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn所以所以解析解析2 2：一般地，对于等比数列，因为：一般地，对于等比数列，因为：问题问题1 1：对于等比数列，是否也能用对于等比数列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法进行求和呢进行求和呢? ?请大家动手试试。请大家动手试试。nnnaaaaS121项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan( (四四) )类比探究类比探究)(1naan无法化简无法化简11212111nnnqaqaqaqaaS问题问题1 1：对于等比数列，是否也能用对于等比数列，是否也能用倒序相加倒序相加的

8、方法的方法进行求和呢进行求和呢? ?请大家动手试试。请大家动手试试。nnnaaaaS121项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan反思：反思：对于等比数列求和，不能照搬对于等比数列求和，不能照搬倒序相加倒序相加的方法。的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。问题问题2 2：求和的根本目的是什么？求和的根本目的是什么？答：答：求和的根本目的是求和的根本目的是消项消项。消项后就可化简。消项后就可化简。改进：改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。项和公比来表示。( (四四) )类比

9、探究类比探究11212111nnnqaqaqaqaaS项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan问题问题4 4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有，而要达到消项的目的，就须使两式具有问题问题3 3：观察求和的式子观察求和的式子，相邻两项有什么特征？，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？怎样把某一项变成它的后一项？后项后项= =前项前项公比公比相同的项相同的项问题问题5 5：如何构造式子如何构造式子？ 将式子将式子的两边都乘以的两边都乘以qnnnqaqaqaqaqaqS11131211问题问题6 6：

10、为了消项，接下来将这两个式子怎么样？为了消项，接下来将这两个式子怎么样？相减相减( (四四) )类比探究类比探究qqaSnn 1)1(1nnaaaS21 - - 得：得：nnqaaSq111问题问题7 7：要求出要求出 ，是否可以把上式两边同除以，是否可以把上式两边同除以 ？nSq1当当 时，除以时，除以 得：得： q11, 01qq即当当 时，时，1, 01qq即?nS111aaa11212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS111312111na( (四四) )类比探究类比探究当当 q=1 时，时，1naSn项和为的前设等比数列nan当当q1时，时，nnaaaaS

11、.321则则qqaSnn 1)1(1探究成果：探究成果：( (四四) )类比探究类比探究等差数列等差数列方法小结：方法小结：课后思考：课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？吗？能否乘以其它的数？联想我们所学过的知识，即类比联想我们所学过的知识，即类比，挖掘其方法的（求和的，挖掘其方法的（求和的根本目的是），结合等比数列自身根本目的是），结合等比数列自身的来构造式子，再把两式，的来构造式子，再把两式，这种求和方法叫做这种求和方法叫做 求和方法求和方法本质本质消项消项特征特征相减相减错位相减错位相减( (四四) )类比探究类比探究问题1：还有其

12、它的推导方法吗？11212111nnnqaqaqaqaaS问题问题2 2：根据式的特点，能否建立一个关于根据式的特点，能否建立一个关于 的方的方程？若能，就可从方程中解出程？若能，就可从方程中解出nSnS问题问题3 3：式的左边是式的左边是 , ,要建立一个关于要建立一个关于 的方程的方程, ,那就要将式的右边也用含那就要将式的右边也用含 的式子来表示。的式子来表示。nSnS问题问题4 4：观察式的右边，从第二项开始，每一项都含观察式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式有因式 ，是否可考虑将之提出来？，是否可考虑将之提出来？qnS( (五五) )方程探究方程探究11212111nnnqaqa

13、qaqaaS问题问题5 5：括号里面的，与括号里面的，与式右边对照，少了哪一项式右边对照，少了哪一项？)(2131111nnqaqaqaaqa问题问题6 6：括号里面的，怎样用含括号里面的，怎样用含 的式子表示？的式子表示？nS)(1qa nS从这个方从这个方程解出程解出nS11nnqaS问题问题7 7：这样就得到了一个什么方程？这样就得到了一个什么方程？问题问题8 8：解方程时要注意对进行。解方程时要注意对进行。 一元一次方程一元一次方程未知量的系数未知量的系数讨论讨论( (五五) )方程探究方程探究nnqaaSq111当当 q=1 时，时，1naSn当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1

14、11212111nnnqaqaqaqaaS)(2131111nnqaqaqaaqa)(111nnqaSqanS( (五五) )方程探究方程探究(建立方程建立方程)用用 表示表示注意：注意：方程法是一种重要的数学思想方法！方程法是一种重要的数学思想方法！ 一部分项一部分项提公因式提公因式过程小结：过程小结：解方程解方程nS根据等比数列求和式子的特点，对其部分项根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式后，可将其用含的式提出公因式后，可将其用含的式子表示出来，从而建立关于的方程，子表示出来，从而建立关于的方程，解此方程即可。解此方程即可。 课后思考：课后思考：对和式的右边部分，只能提出公对和

15、式的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？比吗？能否提出其它的公因式？ nSnSq( (五五) )方程探究方程探究( (六六) )熟悉理解熟悉理解等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式当当q1时，时，.11qqaaSnn 当当q1时，时，;1naSn ,1)1(1qqaSnn 思考思考1 1：根据公式，要求一个等比数列的前根据公式，要求一个等比数列的前n n项和，一般要先求出哪些量？项和，一般要先求出哪些量？思考思考2 2：能否将能否将SnSn和用和用a a1 1, , q q, , a an n来表示？来表示？思考思考3 3：什么时候用公式什么时候用公式, , 什么时候用公式什

16、么时候用公式? ?例例1.求下列等比数列前求下列等比数列前8项的和项的和. 0,2431,27)2(91 qaa81,41,21)1( (七七) )公式的应用公式的应用思考：能否用公式求思考：能否用公式求 ？8S答：可以。但要先求出公比答：可以。但要先求出公比 和和8aq解题思路：求出公比解题思路：求出公比 后用公式求后用公式求8Sq变式变式1 1 判断正误：判断正误：aaaaann1)1 (1112反思总结反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项用公式前，先弄清楚数列的首项 、公比、公比 、项数、项数n n1aq21)21 (1)2(84211nn21)21 (12222132nn( (七七)

17、 )公式的应用公式的应用29323022221S( (八八) )问题解决问题解决问题问题1：这个故事中，地主中计了吗？这个故事中，地主中计了吗？ 到底谁吃亏了？到底谁吃亏了？问题问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？这个月，地主一共要给农夫多少斤米？ （1000粒米约粒米约40克）克）4030=120030=1200（斤）（斤）地主中计地主中计米粒的总数为米粒的总数为: :粒930301007. 11221)21 (1斤85600启示启示：这个故事告诉我们这个故事告诉我们( (八八) )问题解决问题解决( (九

18、九) )课堂小结课堂小结1. 一个公式：一个公式：2. 两种方法：两种方法：3. 三种数学思想：三种数学思想：这节课我们主要学到了什么？这节课我们主要学到了什么？错位相减错位相减解方程解方程类比类比方程方程分类讨论分类讨论,11)1 (,111qqaaqqanaSnnn1q1q2.2.课外思考题：课外思考题：( (十十) )作业布置作业布置qaaaaaann12312(2)(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前用不同的方法推导出等比数列前n n项和的公式项和的公式: : 形式形式形式形式qaaqaaqaaqaann134231

19、2,(1)(1)求数列求数列 的前的前n n项和项和,7,5,3, 132aaa1.1.必做题：必做题：P61P61A A组组 1 1、2 2、3 323n-11+a+a +a +a例例1.求和：求和：在等比数列中，已知 中的三个，可求另外两个。变式变式2 2 填空：填空：nnSanqa,1反思总结反思总结: :如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。qn第1题326第2题80.50.5第3题 -1.5496第4题 1.534.5第5题-2-96 -661anSna96189515.5-476.511.5-65知三求二知三求二等比数列的前n项和练习1等比数列的前n项和练习21. 求

20、等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. ,2, 11qa,21,231qa.1521)21 (144S.102321)21 (11010S1008151023SS410 从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 2. 求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和. ,83,43,23.1283812112112377 S从第从第3项到第项到第7项的和项的和:.1281534912838143237S 已知数列是首项为2，公比为 的等比数列求下列数列的前 项和：2112.31,nnnnnanaa aa 已知数列求的前 项和11113.1,242nnnaan 课堂练习：.等比数列的公比前 项和求求和：等比数列的前 项和为若求公比 的值422336912,2.13.,2,.nnnnnnSaqnSaSxxxxanSSSSq 342q 等比数列的首项为，项数为偶数，奇数项的和为 ，偶数项的和为求数列的公比和项数。4.185170,共 项,公比q=28111(1)