化工机械基础(第三版)第三章 直梁弯曲

1、化工设备机械基础教程第三章 直梁的弯曲第一节 梁的弯曲实例与概念 化工设备机械基础教程化工设备机械基础教程化工设备机械基础教程受力特点受力特点：力偶或垂直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。变形特点变形特点：杆件的轴线（力偶或横向力）由直线变为曲线。弯曲变形梁梁平面弯曲 把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷作用把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称为平面弯曲。为平面弯曲。化工设备机械基础教程工程中的梁横截面一般都是对称的。工程中的梁横截面一般都是对称的。平面弯曲 外载荷作用在纵向对称平面内，外载荷作用在纵向对称

2、平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线条平面曲线挠曲线。挠曲线。PPP纵向对称面纵向对称面挠曲线挠曲线化工设备机械基础教程悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁简支梁简支梁一、梁的计算简图一、梁的计算简图:二二、载荷的形式、载荷的形式:qlPRARB2l2lABC2aaqP = q aABDRARB集中力集中力集中力偶集中力偶分布力分布力ABCqPM梁的支座和载荷的简化梁的支座和载荷的简化化工设备机械基础教程第二节 梁横截面上的内力剪力和弯矩一、截面法求内力剪力Q和弯矩M 0FmA0aPlRBlaPRB即lalPRA化工设备机械基础教程ARQ 1剪力：11xRMA

3、弯矩（内力偶矩）：PRQA2axPxRMA222化工设备机械基础教程二、二、内力符号规定内力符号规定：剪力符号:-Q-Q+ +QQ弯矩符号:+ +MM-M-M+QQ+ +MM-M-M截面一侧所有竖向分力的代数和截面一侧所有竖向分力的代数和; ; 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。化工设备机械基础教程三、梁内力的简便求法三、梁内力的简便求法 “ “外力简化法外力简化法”剪力剪力截面一侧所有竖向分力的代数和；截面一侧所有竖向分力的代数和； “左上右下为正”弯矩弯矩截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和；截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和；“左顺右逆为

4、正”1Q1MARx1P1ao11PRQA)(111axPxRMABR1Q1M2Pxl oxa 2BRPQ21)()(221xaPxlRMB+Q+ +MM化工设备机械基础教程例题例题：简支梁，求：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力截面上的内力ARBRm1m1m2Am5 .1m311228PkN2qkN mB（1）求支反力）求支反力RA、RB0,AM42 2 3 8 10BR 5BRkN0 yFRA82 2 + RB =0RA= 7kN（2）求内力）求内力m1kNP 8m5 .1AR1Q1M Q1 = RA8 ； Q1= 1kNM1 = RA1.580.5 ； M1=6.5kN.m化工设备机械基

5、础教程2Q2Mm1m1kNP 8mkNq2Am3ARm12Q2MmkNq2Bm1BRKNRQB3122mKNRMB45 . 01212mKNMqPRMA41223222KNQqPRQA3122ARBRm1m1m2Am5 .1m311228PkN2qkN mB亦可取亦可取2-2截面的右侧研究截面的右侧研究化工设备机械基础教程练习题练习题练习题：试求练习题：试求1-1，2-2截面的弯曲内力。截面的弯曲内力。q = 10kN/m RA=1.33kNRB= 2.67kN2002002001122答案答案:1-1截面截面Q1= 1.33kNM1= 266N.m2-2截面截面Q2= 0.67kNM2= 3

6、22N.m化工设备机械基础教程步骤：步骤：(1)求支反力求支反力(2)列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程描述剪力和弯矩沿梁的描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化规律的方程轴线变化规律的方程一、剪力方程一、剪力方程 Q(x)和弯矩方程和弯矩方程 M(x)：10AYQRP10()AmMR xP xaQM1PARxARBRyxmm1P2PiPnPABa0( )0( )0yFm Am B例如在例如在m-m截面，画出正号截面，画出正号内力，列出平衡方程内力，列出平衡方程)()(xMMxQQ第三节第三节 弯矩方程与弯矩图弯矩方程与弯矩图二、内力图二、内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图化工设备机械基础教程写剪力方程和

7、弯矩方程的要点：写剪力方程和弯矩方程的要点：（1）分段表示，规则为：）分段表示，规则为：（2）区间表示，规则为：）区间表示，规则为：剪力方程：剪力方程：在集中力集中力(包括约束反力)作用点、分布载荷的起点和终点处，要分段表示。弯矩方程：弯矩方程：在集中力(包括约束反力)作用点、集中力偶(包括约束反力偶)作用点、分布载荷的起点和终点处，要分段表示。剪力：剪力：在集中力作用点要用开区间表示，在分布载荷的起点和终点处要用闭区间表示。弯矩：弯矩：在集中力偶作用点要用开区间表示，其它点处要用闭区间表示。化工设备机械基础教程例3-1 简支梁受集度为q的均布荷载作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。qlRRBA2

8、1222)(2)(2qxxqlxqxxRxMqxqlqxRxQAA2max81qlM化工设备机械基础教程例3-2 简支梁在C点处受集中荷载P作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。lPbRlPaRAB)0()()0()(111111axxlPbxRxMaxlPbRxQAA)()()()()()(22222222lxaAxPxlPbaxPxRxMlxaPlaPRxQAA化工设备机械基础教程例3-3 简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。 lmRRCBA)0()()0()(111111axxlmxRxMaxlmRxQCACA)()()()(222222lxamxlmmxRxMlxalmR

9、xQCCCACA化工设备机械基础教程)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。 2dMxqLqxQxdx,d Qxqd x 22dMxqdx 化工设备机械基础教程)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上某段有集中力，则集中力作用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小，弯矩图 此 处 有 折 角 。 化工设备机械基础教程)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线

10、。集中力偶作用处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。 化工设备机械基础教程)x( qdx)x(dQ )x(Qdx)x(dM )x( qdx)x(Md 22化工设备机械基础教程1、q(x)=0：一段梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线，弯矩图为一斜直线；2、q(x)=常数：一段梁上有均布荷载，剪力图为一斜直线，弯矩图为一条二次曲线，当均布荷载q(x)向下时，弯矩图凸向上，当均布荷载向上时，曲线凸向下；3、弯矩的极值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，则该截面的弯矩为一极值；4、集中力作用处：此处剪力图有突变，突变方向与集中力方向一致，突变绝对值等于集中力数值，弯

11、矩图上形成尖角；5、集中力偶作用处：此处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。内力图的一些规律:化工设备机械基础教程例3-4外伸梁上均布荷载的集度为 q=3kN/m, 集中力偶矩 m=3kN.m, 画出剪力图和弯矩图。 kNRkNRBA5 . 35 .140aqRQAmqRaA83.4mkNqaaRMA04. 621) 2(2max化工设备机械基础教程作业：P94 第14题 第17题 (e) (h) 画剪力图和弯矩图化工设备机械基础教程第四节 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律一、纯弯曲的变形特征化工设备机械基础教程中性层现象：现象：mm,nn变形后仍为直线。 bb伸长

12、，aa缩短；推断：推断：同层纤维变形相等(平面假设)；中性层没有变形。变形后(小变形)mmnabnaboonmxamnabb变形前ooyz中性轴z二、中性层的概念及性质:中性层 中性轴化工设备机械基础教程三、横截面上的正应力 变形几何条件 yL y物理条件：弹性范围内 Eymaxmaxyymaxmaxyy化工设备机械基础教程静力平衡： AAAdAyydAyyydAyM2maxmaxmaxmax化工设备机械基础教程AdAyyM2maxmax横截面对中性轴z的惯性矩，单位为m4AzdAyJ2令：ZJyMmaxmaxZJyMmaxmaxZZWyJmax令：WZ称为抗弯截面模量，单位为m3。 梁纯弯曲

13、时横截面上的最大正应力的公式为： ZWMmax化工设备机械基础教程四、横力弯曲 以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲的情形，如果是细长杆，也是近似适用。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，此时平面假设和各纵向纤维不互相挤压不成立。而对于细长梁，这种翘曲对正应力的影响是很小的。通常都可以忽略不计。 均布载荷作用下的矩形截面简支梁，L/h5时，按纯弯曲正应力计算，误差 计算值如果如果: : Wz 小于计算值，验算小于计算值，验算 max，不超过，不超过 的的5%，工程上允许工程上允许选20a,化工设备机械基础教程作业：P95 第20题，

14、第22题化工设备机械基础教程一、支撑和荷载的合理布置 1. 支撑的合理布置 第六节 提高梁弯曲强度的措施 ZWMmaxmax化工设备机械基础教程2. 载荷的合理布置 化工设备机械基础教程二、选择合理的截面形状 ZWMmaxmaxhAbhWz61621bAhbWz61622化工设备机械基础教程材料远离中性轴AWZ矩形0.167h；圆形0.125h；环形 0.205h 工字钢和槽钢(0.270.31)h 化工设备机械基础教程等 强 度 梁化工设备机械基础教程第七节 梁的弯曲变形一、梁的挠度和转角变形后梁的轴线称为弹性曲线或挠曲线挠度 f梁的挠曲线方程 f = f(x)转角 )( xfdxdf化工设

15、备机械基础教程)(xfdxdfZEJxMdxfd)(22梁的抗弯刚度 EJz二梁的变形的求解直接积分法和叠加法 化工设备机械基础教程直接积分法边界条件和连续条件可求出C、DDCxdxxMfEIZ)(ZEJxMdxfd)(22CdxxMfEIZ)()(xMfEJZ 化工设备机械基础教程例3-6 等截面悬臂梁的自由端作用一集中力，梁的抗弯刚度为EJz，求此梁的挠曲线方程以及自由端截面的转角和挠度。 )()(xLPxMfEJZ DCxPxPLxfEJZ3261210f0 x0f0 xAAA,CPxPLxfEJZ2210 DC)21(12PxPLxEJfZ)6121(132PxPLxEJfZ化工设备机械基础教程ZZLxBEJPLPLPLEJ2)21(1222ZZLxBEJPLPLPLEJff3)6121(1333叠加法表3-3 基本值化工设备机械基础教程例3-7 等直外伸梁AC受荷载如下图，已知抗弯刚度EJz ，求A点的挠度。 ZAEJPaf331ZBEJPal3ZBAEJLPaaf322)(3221aLEJPafffZAAA化工设备机械基础教程三、梁的刚度条件变形与跨度的三次方有关用高强度钢的