质点的运动函数

1、1第1章 质点运动学运动是永恒的主题运动是永恒的主题时空起源于运动，是对运动的观察和感悟，时空起源于运动，是对运动的观察和感悟，又超脱于运动。又超脱于运动。2第1章 质点运动学一、机械运动一、机械运动1.1 1.1 参考线参考线物体运动的绝对性，对运动描述的相对性。物体运动的绝对性，对运动描述的相对性。三、坐标系三、坐标系二、参考物二、参考物四、参考系四、参考系参考物参考物+坐标系坐标系+时钟时钟3第1章 质点运动学4第1章 质点运动学1.2 质点的位矢、位移和速度质点的位矢、位移和速度一、质点：一、质点：有质量而无形状和大小的几何点。有质量而无形状和大小的几何点。 突出了突出了质量质量和和位

2、置位置二、运动函数二、运动函数 x=xx=x（t t），），y=yy=y（t t），），z=zz=z（t t）三、矢量三、矢量5第1章 质点运动学四、位置矢量四、位置矢量P任选一参考点任选一参考点O (通常选坐标原点通常选坐标原点)r为质点为质点 t 时刻的时刻的( )rr t位置矢量也叫位置矢量也叫 运动函数运动函数通常通常位矢位矢是是t 的函数的函数 写成写成 称矢量称矢量 时刻时刻 t 质点运动到质点运动到P点点位置矢量位置矢量在直角坐标系中质点运动是沿各坐标轴的分运动的矢量在直角坐标系中质点运动是沿各坐标轴的分运动的矢量合成合成OOPr ( )( )( )( )r tx t iy t

3、jz t k6第1章 质点运动学五、五、 轨道轨道六、路程六、路程7第1章 质点运动学时间间隔内的时间间隔内的位移位移,21ttt 定义矢量定义矢量为质点在为质点在PQ 基本定义式基本定义式由矢量三角形，由矢量三角形，位移位移21PQrrr PQ1r2rr21ttt 若质点在若质点在时间间隔内，时间间隔内，由由P点运动到点运动到Q点，设点，设1rt1时刻的位矢为时刻的位矢为2rt2时刻位矢为时刻位矢为 。七、位移七、位移位移矢量位移矢量 o8第1章 质点运动学drdtv基本定义式基本定义式PoQ1r2rr八、平均速度八、平均速度 rtv九、瞬时速度九、瞬时速度0limt vv0limtrt d

4、rdtr( )P t()Q tts0,t 9第1章 质点运动学瞬时速度的瞬时速度的方向方向就是位移就是位移 t0 的方向。的方向。由图可知，在由图可知，在 t0 的过程中，的过程中，位移由位移由割线割线切线。切线。所以速度方向是路径运动的切线方向。所以速度方向是路径运动的切线方向。另外注意到：另外注意到：drds所以速度大小与速率值相等所以速度大小与速率值相等drdtvdsdtv瞬时速度的大小和方向瞬时速度的大小和方向1( )P t2( )Q trO运动路径运动路径dsdtv速率速率基本定义式基本定义式10第1章 质点运动学1）位矢与参考点有关位矢与参考点有关 位移与参考点位移与参考点(坐标系

5、）无关坐标系）无关2）位移的大小与位置矢径大小的增量的区别位移的大小与位置矢径大小的增量的区别1( )P t2( )Q tro讨论讨论| |rr rrrrOrO 11第1章 质点运动学3) 3) 平均速度与时间间隔和平均速度与时间间隔和位移位移有关有关 方向是该时间间隔内的位移的方向方向是该时间间隔内的位移的方向4 4）瞬时速度与瞬时速率）瞬时速度与瞬时速率drdsdrdtdtdtv = v1( )P t2( )Q trorrrrr12第1章 质点运动学rr QPQPrrrrrr QPQPrrrrr drdrdtdt1( )P t2( )Q trorrrr13第1章 质点运动学P1vv1122

6、ttvv从从P点画速度矢量三角形点画速度矢量三角形1 平均加速度平均加速度()( )tttat 21vvvt2 瞬时加速度瞬时加速度0limtat vddtv22dd radtdtv基本定义式基本定义式1.3 1.3 加速度加速度描述物体运动状态变化的物理量描述物体运动状态变化的物理量Q2v2v14第1章 质点运动学ddatvt 0 0vv一、速度公式一、速度公式1.4 匀加速运动匀加速运动d ad tv0 vat vvtrdd0 ()drvat dt trr 0 0二、位移公式二、位移公式20012rrvat 15第1章 质点运动学000 xxxyyyzzzva tva tvat200200

7、200121212xxyyzzxxta tyyta tzzta t16第1章 质点运动学2) 加加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。 1）矢量物理量全面地反映物体的运动状态，）矢量物理量全面地反映物体的运动状态， 便于理论推导和一般性的定义。便于理论推导和一般性的定义。 在在 t 时刻，描述运动状态的物理量是时刻，描述运动状态的物理量是位置矢量、速度和加速度三者之间的关系是位置矢量、速度和加速度三者之间的关系是rattvvdddd运动学问题的基本定义式运动学问题的基本定义式r即解决问题的基本出发式。即解决问题的基本出发式。 3）通常，在具体解题时，需根据解

8、题方便选取）通常，在具体解题时，需根据解题方便选取合适的正交坐标系。合适的正交坐标系。 常用的坐标系有：直角坐标系、平面极坐标系常用的坐标系有：直角坐标系、平面极坐标系 球坐标系、柱坐标系等等球坐标系、柱坐标系等等ra微分法微分法积分法积分法微分法微分法积分法积分法对对于于逆逆问问题题17第1章 质点运动学在直角坐标系中可写成：在直角坐标系中可写成：rxiyjzkxyzijkxyzaa ia ja kraijk分别是分别是x、y、z方向的单位方向的单位矢量矢量直角坐标系直角坐标系(A)yzoijkx18第1章 质点运动学由基本关系式由基本关系式rattvvddddxyzxyztttvvvddd

9、ddd222222yxzxyzdddd xd yd zaaadtdtdtdtdtdtvvv有：有：yxzxyzijktttaijktttdddddddddddd比较比较(A)(B)两组式子，有：两组式子，有：(B)思考：思考：（B）式中）式中为什么没为什么没有出现有出现,di dj dkdt dt dt19第1章 质点运动学 注意：注意：直角坐标系中，直角坐标系中， 三个单位矢量方向不随时间改变。三个单位矢量方向不随时间改变。rrrr例如，二维直角坐标系中例如，二维直角坐标系中xyo22|yxrxyarctan22xyarctanyxxyaaarctan22yxaaaxy20第1章 质点运动学

10、1. 第一类问题第一类问题 , av已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1) t =1s 到到 t =2s 质点的位移质点的位移;(3) 轨迹方程。轨迹方程。(2) t =2s 时时； a，v12rij242rij21(42)(2 1)23rrrijij d22 drit jtv224 ijv222tytx4/22xy已知一质点运动方程为已知一质点运动方程为 。22 (2) rt itj求求:例例1解解 (1)(2)(3) 由由当当 t =2s 时时2 2 aj 22dd 2ddrajtt v由运动方程得由运动方程得得轨迹方程为得轨迹方程为21第1章 质点运动学解解d16dajtvt 0 0

11、vvj 16 0t-vv26 88rt it jk已知已知16aj006 ,8irkvv求求和运动方程。和运动方程。代入初始条件代入初始条件08rk代入初始条件代入初始条件2. 第二类问题：第二类问题：d 16d t jv616 it jvvtrdd (616 )drit j dt已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求 , rv例例2, t =0 时，时，trr 0 026 ,8 ,8xtytzl 积分初始值（下限）由初始条件确定积分初始值（下限）由初始条件确定l 等式两边积分变量的积分限一一对应等式两边积分变量的积分限一一对应得运动方程为得运动方程为得得由由22第1章 质点运动学例

12、例3 子弹子弹(质点质点)射入固定在地面上的砂箱内，假设射入射入固定在地面上的砂箱内，假设射入时刻定为时刻定为 t =0 ，子弹速率为，子弹速率为v0 。加速度与速率成正比加速度与速率成正比，比例系数为，比例系数为k。求。求 。oxmax( ),txv解：解：(1)(1)建坐标系如图建坐标系如图dkdt v砂箱砂箱a由由dadt有式有式dkdt 0( )0ttdkdt0( )kttevv(2) 由式由式dxdtv有有0ktdxedt000 xtktdxe dtdxdtv0(1)ktxekv0maxtxkv23第1章 质点运动学1.5 抛体运动抛体运动24第1章 质点运动学抛体运动：只在重力作用

13、下的运动。抛体运动：只在重力作用下的运动。 在地球附近不太大的空间内，在忽略空气在地球附近不太大的空间内，在忽略空气阻力的情况下，阻力的情况下， 二维抛体运动是相互独立的水平分量和竖二维抛体运动是相互独立的水平分量和竖直分量运动的合成直分量运动的合成。xyo初速度为初速度为0与水平方向夹角为与水平方向夹角为 00,xyaag 加速度分量式：加速度分量式：0tadt速度分量式：速度分量式：00cossinxygt25第1章 质点运动学020cos1sin2xtytgt速度分量式：速度分量式：00cossinxygt位矢分量式：位矢分量式：轨道函数：轨道函数：22201tan2cosgxyx0tr

14、dtxyo0gna?YXTy26第1章 质点运动学例题例题1-7 有一学生在体育馆阳台上以投射角有一学生在体育馆阳台上以投射角=30=30和速率和速率v0=20=20m/s向台前操场出一垒球。球离开手时距向台前操场出一垒球。球离开手时距离操场水平面的高度离操场水平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地？。试问球投出后何时着地？在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？解：解：以投出点为原以投出点为原点，建立点，建立x，y坐标坐标轴如图所示。轴如图所示。tvxcos02021singttvy27第1章 质点运动学把已知条件把已知条件y=- -h=- -

15、10m, , =30, v0=20m/s代入方程得代入方程得2.78s,0.74s(tt 舍去）；48.1m(x 着地点距投射点的水平距离）17.3m/s17.2m/sxyvv 00cos2.78ssinxyvvtvvgt由和2224.4m/sxyvvv17.2arctanarctan44.817.3yxvv 着地时速度大小着地时速度大小此速度和水平面的夹角此速度和水平面的夹角28第1章 质点运动学四、圆周运动四、圆周运动2naRv指向圆心指向圆心向心加速度意义：向心加速度意义： 速度方向的变化率速度方向的变化率oR( ) t()tt 练习练习 ：从加速度定义出发，导出：从加速度定义出发，导出

16、2naRv1.1.匀速圆周运动匀速圆周运动 向心加速度向心加速度速率速率 ( ) t()tt=const.29第1章 质点运动学2. 变速圆周运动变速圆周运动nt 0limtat 00limlimnttttt ntaa30第1章 质点运动学 3. 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度(1)角位置角位置 (2)角位移角位移(3)角速度角速度(4)角加速度角加速度参考方向参考方向o( )P t()Q tt ddt22dddtdt圆周运动时，由于轨迹确定，用这套物理量较为方便。圆周运动时，由于轨迹确定，用这套物理量较为方便。k doQ dPrOPd31第1章 质点运动学4. 圆周运动的圆周运

17、动的线量和线量和角量关系角量关系r22narrtddarrdtdt32第1章 质点运动学 运动是绝对的，运动的描述是相对的。讨论同一物体在运动是绝对的，运动的描述是相对的。讨论同一物体在不同参考系中各自测量的状态量之间的定量关系。不同参考系中各自测量的状态量之间的定量关系。 设参考系设参考系S相对参考系相对参考系S平动，平动， 平动速度为平动速度为u1.5 相对运动相对运动S系描述的物理量是系描述的物理量是:S系描述的物理量是系描述的物理量是:ra ra绝对参照系绝对参照系S ，相对参照系相对参照系S 联系？联系？xyoxyoS系系S系系P车地r定义位置矢量定义位置矢量RR物车r物地r车地物车物地rrr33第1章 质点运动学 turr车地物地2. 速度变换速度变换 1. 1. 位移变换位移变换 uvv车地物地34第1章 质点运动学 牵连速度牵连速度 相对速度相对速度 绝对速度绝对速度uudvdvdudtdtdtaaa3. 加速度变换加速度变换伽利略伽利略(Gal