第二章应力状态理论

1、第二章第二章 应力状态理论应力状态理论2022-5-52 应力的概念是固体力学的最重要的概念之一,应力分量具有张量的性质，符合张量的坐标变换规律。 考虑单元体的平衡，得到平衡微分方程，在边界上得到边界条件，边界条件在弹性力学问题的求解中占有重要的地位。2022-5-532.1 2.1 张量的概念张量的概念2.2 2.2 应力和一点的应力状态应力和一点的应力状态2.3 2.3 平衡微分方程平衡微分方程2.4 2.4 边界条件边界条件2.5 2.5 主应力和应力张量不变量主应力和应力张量不变量2.6 2.6 转轴时应力张量的变换转轴时应力张量的变换2.7 2.7 圣维南原理圣维南原理2.8 2.8

2、 例题例题2.1 张量的概念张量的概念指标符号(1)量与数：任何一个量都是客观对象的数学表征，通常是由若干个数字给出的，最简单的量称为标量，由一个数字确定。矢量有大小、方向，就不能只用一个数值表示，由若干分量组成，引入下标记号法。 2022-5-55 可以将坐标x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 通常可简记为xi,各轴的基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei, 在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi。 矢量的点积: 一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，用指标符号可记为:iievevevevV332211iisfsfsfsfSFW33221120

3、22-5-56 求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。 不求和的指标称为自由指标。一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义。(2) Einstein求和约定：最后一个等式在符号 下fi si有两个同样的指标i。约定凡在同一项中有一对相同的指标（也就是一个指标出现两次时），就认为是对这一指标从1到3全程求和，并限定在同一项中不能有同一下标出现3次或3次以上，求和符号略去不写，记为： wiisf33sf2022-5-57 记基矢的点积 e i e j = ij其中称为克罗内克尔 代尔塔符号(Kronecker delta)。该定义表明它有该定

4、义表明它有对称性，与指标对称性，与指标排列顺序无关，排列顺序无关，即：即：ijij jiji2022-5-58记基矢的混合积 (e i e j ）e k = e ijk 其中称为置换符号。利用置换符号，两个矢量的矢积可记为 a i b j = e ijk ai bjek当i，j，k有两个或三个相同当i, j, k为偶置换当i, j, k为奇置换2022-5-59将求导符号简记为：梯度可记为：则散度可记为：iixxxeeee,332211iivxvxvxv,332211 viix,)()(2022-5-510 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满

5、足规定坐标变换公式的物理量称为张量。 标量称为零张量，矢量为一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量。二二 张量的定义张量的定义 在力学中常用的物理量（或几何量）可分为几类：标量（只有大小没有方向）；矢量（既有大小又有方向）；张量（具有多重方向性的更为复杂的物理量）2022-5-511应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性，即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为 。 = )(ij )(ij xxxyxzyxyyyzzxzyzzxxxyxzyxyyyzzxzyzzxxyxzyxyyzzxzyz2022-5-5122.2 应力和一点的应力状态应力和一点的应力

6、状态 根据物体连续性的假设，可认为物体在微小面上的S力是连续分布的，内力F则是这个分布力的合力，于是分布集度为： 即平均力。 当S很小时，这个集度的极限就称为应力，表示为：Sfsv F lim0FS FS2022-5-513在给定的直角坐标系下，应力可沿3个坐标方向分解，分别表示为： , , 。则有： 这里的 ， ， 分别表示坐标单位矢量。应力矢量又可分别沿微分面的法向和切向方向分解，分别表示为正应力 和切应力 。 vxf123vvxvyvzffefefevyf1e2e3ev v vzf2022-5-514一点的应力状态 通过物体内一点可以作无数个方位不同的微分面，各微分面上的应力一般各不同，

7、我们把物体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。 在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标平面的3个微分面方向进行应力分解后，可得到9个应力分量，我们将他们整体称为应力张量，其中的每一个量称为应力分量。应力张量表示为：2022-5-5159个应力分量可以完全确定一点的应力状态。 zzyzxyzyyxxzxyxij 2022-5-516 在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。我们从中取出一个单元体dv=dxdydz加以分析,物体内某点的正应力为i。 如果仅考虑单元体的平衡，可以不考虑单元体同一方向上相隔一定距离应力的微小变化，前后两面的应力可认为是大小相等、方向相反

8、。但是，在分析整体的平衡时，应力的这个微小变化，各面的应力差就是造成物体各处应力变化的原因，必须加以考虑。2.3 平衡微分方程平衡微分方程2022-5-517 图示单元体z轴方向的平衡，在z面的负面z处，正应力记为z,在x面的负面处，切应力记为xz；xyzoz正面z+dz处应力为x正面x+dx处切应力为xzzzzzdxxxzxzdxxxzxzd2022-5-518在y面的负面y处，切应力记为yz,xyzoy正面y+dy处应力为yzyyyzyzd设Fbz 为物体的Z方向的体力分量。总和后整理便得到z方向的静力平衡方程Z=0:yyyzyzd2022-5-519同理得到x、y方向的静力（或运动）平衡

9、微分方程:其中Fbx, Fby, Fbz 为物体的体力分量。利用前后、上下、左右面中心线轴的转距为0,可以得到：即为剪应力互等定理。根据切应力互等定理，应力分量为对称张量。,yzzyzxxzxyyx222222(ututut或）或）或）从平衡方程中看到只有6个未知数ij。2022-5-520平面状态的平衡微分方程为：平衡微分方程的张量形式是：2022-5-521 平衡微分方程的矩阵形式是： L+ F = 0其中L L是微分算子：zyxzxyzxyzyFFFFbbbTx2022-5-522 按照按照边界条件边界条件的不同，弹性力学问题可分为位的不同，弹性力学问题可分为位移边界问题、应力边界问题和

10、混合边界问题。移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。 位移边界问题：物体在全部边界上的位移边界问题：物体在全部边界上的位移分量位移分量是是已知的。已知的。 应力边界问题：物体在全部边界上的应力边界问题：物体在全部边界上的应力分量应力分量是是已知的。已知的。 混合边界条件：物体一部分边界具有已知位移，混合边界条件：物体一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界具有已知因而具有位移边界条件，另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件。面力，因而具有应力边界条件。2.4 边界条件边界条件2022-5-523在外力作用下，我们从物体从中取出的单元体位于边界处，则单元体内部应力形成

11、的内力和边界上的外力平衡。1) 如果边界面正好和坐标平面平行，则立即可得到应力应满足的条件。2) 如果边界面和坐标平面斜交，则应根据形成的四面体的平衡条件得到应力应满足的条件。2022-5-524 设边界上一点处A的外力沿轴向的分量为px, py （沿正向为正）。 在边界A这部分可视外力分量为应力分量，直接得到应力边界条件： x = px yx = py2022-5-525 设斜面ACD为边界面，其外法线n的方向为(l1,l2,l3)，面积为S，边界外力p分量为(px，py，,pz)，则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为S在各相应方向上的投影为l1S, l2S, l3S。四面体的体

12、积为 dv。nxyzo2022-5-526注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。由x方向的平衡得到：pxS = l1Sx+l2Syx+l3Szx即 px= l1x+l2yx +l3zxxyz02022-5-527由y、z方向的平衡得到: py= l1xy+l2y+l3zy pz= l1xz +l2yz+l3z其张量形式为 Pi = ij lj2022-5-528 如果四面体取自物体内部，则(px，py，,pz)是斜面上的应力v（P）沿原坐标轴方向上的分量，将其与斜面的方向矢量点积，则得到该面上的法向应力（正应力）2022-5-529切应力可按矢量方法求得：n2022-5-530n当坐标转

13、动时，受力物体内任一确定点的九个应力量将随着改变。在坐标系不断转动过程中，必然能找到一个坐标系，使得该点在该坐标系中只有正应力分量，而剪应力分量为零。n把这样的微分面称为主微分面，简称主平面，其法向方向称为应力主方向，而其上的应力称为主应力。主应力和应力不变量2.5 主应力和应力不变量主应力和应力不变量2022-5-531前面得到的就是斜面应力公式，它给出了物体内一点的九个应力分量与通过同一点的各微分面上应力之间的关系。这样要了解各点的应力状态问题，化为求出各点的九个应力量的问题。由前面的斜面应力公式可知，过任意一点的法向矢量为由前面的斜面应力公式可知，过任意一点的法向矢量为n n的微分斜面上

14、，其斜面应力为：的微分斜面上，其斜面应力为：如果法向矢量如果法向矢量n n为应力主方向，则斜面应力为应力主方向，则斜面应力f fn n应与斜面应与斜面法向矢量法向矢量n n同向，此时，斜面上只有正应力而无剪应力，同向，此时，斜面上只有正应力而无剪应力，于是：于是：可得到主平面上的法向矢量可得到主平面上的法向矢量n n应满足的关系式：应满足的关系式：引入引入ijij进行换标，上式改写为：进行换标，上式改写为：nnjjiijjfenennnjjfnn e0iijnjnn()0iijnijn 2022-5-532上式是上式是n ni i的线性代数方程组。其非零解存在条件：的线性代数方程组。其非零解存

15、在条件：0 xxnxyxzyxyynyzzxzyzzn3212312222222302nnnxyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxyIIIIII 方程（*）称为应力状态的特征方程，它的三个特征根即为主应力。I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。*2022-5-533由于方程（*）的根不变，故方程总的系数一定为不变量。如果坐标轴恰好与三个主方向重合，则应力张量简化为？主坐标系，主向空间？主应力的几个重要性质：（1) 不变性：从物理意义上讲，主应力是物体内部受外部确定因素作用时客观存在的量。（2）实数性（3）正交性（4）极值性：通过一点的所有微分面上的

16、全应力中，最大和最小的全应力分别是绝对值最大和最小的主应力。2022-5-534 弹性理论的适用范围是由材料的屈服条件来确定的。大量实验证明，剪应力对材料进入塑性屈服阶段起决定性作用，例如第三强度理论，又称特雷斯加（Tresca H)屈服条件，是以最大剪应力为材料是否进入塑性屈服阶段的判据；第四强度理论，又称米泽斯（Von Mises R)屈服条件，则与八面体剪应力有关。思考题：在点M应力i已知的主坐标空间中求最大剪应力计算式？2022-5-535 2.6 转轴时应力分量的变换转轴时应力分量的变换 当坐标系改变时，通过一点的各应力分量应当坐标系改变时，通过一点的各应力分量应如何改变。如何改变。

17、 可以证明，当坐标平移式，应力张量中的各可以证明，当坐标平移式，应力张量中的各应力分量不会改变，我们只研究当坐标旋转时，应力分量不会改变，我们只研究当坐标旋转时，应力张量的变换。应力张量的变换。 设在笛卡尔坐标系设在笛卡尔坐标系oxyz下，某点的下，某点的9个应力分个应力分量为：量为： zzyzxyzyyxxzxyxij 2022-5-536 现在让坐标系转过某一角度，得到新的坐标系现在让坐标系转过某一角度，得到新的坐标系 设它与老坐标之间的关系为设它与老坐标之间的关系为： 其中其中 表示表示3个新坐标轴对于老坐标轴的方向余个新坐标轴对于老坐标轴的方向余弦，如果：弦，如果：zyxo x y z

18、xyz1l3l2l3m2m1m3n2n1n)3 , 2 , 1(, inmliii2022-5-537其中新坐标系下的应力可表示为：其中新坐标系下的应力可表示为： zyzxzzyyxyzxyxxji 333322221111nfmflfefnfmflfefnfmflfefzxyxxxxzxzxyxxxxyxzxyxxxxx 2022-5-538 其中，过其中，过M点并与点并与 轴垂直的微分面对老坐轴垂直的微分面对老坐标轴是倾斜微分面，它的法线方向即为标轴是倾斜微分面，它的法线方向即为 轴方轴方向，其方向余弦为向，其方向余弦为 ，固有斜面上的应力可，固有斜面上的应力可表示为：表示为： 将此式代入

19、上页公式整理可得将此式代入上页公式整理可得:oxox111,nml 111111111nmlfnmlfnmlfzyzxzzxzyyxyyxzxyxxxx 2022-5-539212121nmlzyxx111111222mlnlnmxyzxyz212121nnmml lzyxyx)()(12211221nlnlnmnmxzyz)(1331mlmlxy313131nnmml lzyxzx)(1221mlmlxy)()(13311331nlnlnmnmxzyz2022-5-540 应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换公式为用指标符号记为Tlljjijiijill2022-5-541 以平面应力状态为例，设新坐标系由原坐标系逆时针转动而成，新坐标轴的基矢e 1 、e2 对原基矢e1 、e2 的过渡矩阵为式 lij=l，则坐标变换公式 ij=lijlT2022-5-542cossinsincoslcossinsincoscossinsincosyxyxyxyyxyxx其展开形式为2022-5-543当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。 2.7 圣维