第2章测量误差分析及数据处理

1、【教学目标和要求】【教学目标和要求】1、掌握测量误差的表示方法，测量误差的分类、掌握测量误差的表示方法，测量误差的分类 。2、理解减小随机误差、系统误差（消除）及粗大、理解减小随机误差、系统误差（消除）及粗大误误 差的方法。差的方法。 3、掌握测量数据的综合处理、掌握测量数据的综合处理 2.1.2 测量误差的表示方法测量误差的表示方法1. 绝对误差绝对误差（1）定义：定义：由测量所得到的被测量值由测量所得到的被测量值x与其真值与其真值A0的差。的差。 x=x- A0 (2.1.1) A0可用实际值可用实际值A代替：代替：x=x- A (2.1.1)【例【例2.1.1】一个被测电压，其真值】一个

2、被测电压，其真值U0为为100V，用一只电压表，用一只电压表测量，其指示值测量，其指示值U 为为101V，则绝对误差，则绝对误差 2.1.1 研究误差的目的研究误差的目的U=U-U0=101-100=1V【2.1.2】一台晶体管毫伏表的】一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时，挡，当用其进行测量时，示值为示值为8mV，在检定时，在检定时8mV刻度处的修正值是刻度处的修正值是-0.03mV，则被测电压的实际值为则被测电压的实际值为 U=8+(-0.03)=7.97(mV)2. 相对误差相对误差（1）定义：定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。测量的绝对误差与被测量的真值之比。 （2.1

3、.5） A0可用实际值可用实际值A代替代替%1000Ax（2）修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符）修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用号相反的量值称为修正值，用C表示。表示。【例【例2.1.3】测量两个电压，其实际值为】测量两个电压，其实际值为U1=100V, U2=5V，而测得值分别为而测得值分别为101V和和6V。 绝对误差为：绝对误差为： U1=101-100=1V U2=6-5=1V 相对误差为：相对误差为：1=U1/U1=1% 2=U2/U2=20%（2）分贝误差：用对数形式表示的误差称为分贝误差。设）分贝误差：用对数形式表示的

4、误差称为分贝误差。设输出量与输入量测得值之比为输出量与输入量测得值之比为U0Ui，则增益的分贝值：，则增益的分贝值： （2.1.8）020lg20()xuiUGlgA dBU 式中，式中，Au，是电压放大倍数的测得值。又因为，是电压放大倍数的测得值。又因为 Au =A+ 式中，式中，A是放大倍数的实际值。则是放大倍数的实际值。则 Gx =20lg(A+ )=20lgA(1+ /A) =20lgA+20lg(1+ A) 式中，式中， A = /A 。所以。所以 Gx=G+20lg(1+ A) 式中，式中，G=20lgA，是增益的实际值；，是增益的实际值；20lg(1+ A) 是是Gx的的误差项。

5、误差项。 分贝误差分贝误差: dB20lg(1+ A) 20lg(1+ x) (2.1.9) 式中，式中， x = /A 。 取取A x。 例例2.1.4 测量一个放大器，已知测量一个放大器，已知Ui =1.2mV, Uo =6000 mV。设设Ui 的误差忽略不计，而的误差忽略不计，而Uo的测量误差的测量误差u为为3%时，求放时，求放大倍数的绝对误差大倍数的绝对误差、相对误差、相对误差x及分贝误差及分贝误差dB。 解：电压放大倍数解：电压放大倍数AU = Uo / Ui=5000 增益增益GX=20lg（AU）=74dB，Uo的绝对误差的绝对误差Uo= u Uo= 3% *6000= 180

6、mV。因为仅考虑。因为仅考虑Uo的误差，所以的误差，所以 = Uo/ Ui= 180mV/1.2mV= 150 u = / AU=150/5000= 3% 可见，当仅考虑可见，当仅考虑Uo有误差时，有误差时， x = u =3% 。所以。所以dB=20lg(1+x)=20lg(13% ）= 0.26dB 工作误差、固有误差、影响误差、稳定误差工作误差、固有误差、影响误差、稳定误差 基本误差、附加误差基本误差、附加误差2.1.4 一次直接测量时最大误差的估计一次直接测量时最大误差的估计 设在只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝设在只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为对误差为 xm=S

7、% xm （2.1.14） xm与示值与示值x的比值，即最大的示值相对误差的比值，即最大的示值相对误差 xm= xm/x 100% = S%* xm / x （2.1.15）2.2.1 误差的来源误差的来源1、仪器误差、仪器误差2、影响误差、影响误差3、方法误差和理论误差、方法误差和理论误差4、人身误差、人身误差2.2.2 测量误差的分类测量误差的分类1、系统误差、系统误差2、随机误差（偶然误差）、随机误差（偶然误差）3、疏失误差（粗大误差）、疏失误差（粗大误差）2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差1、数学期望、数学期望 在相同条件下，用相同的仪器和方法，由同在相同条件

8、下，用相同的仪器和方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量，称为一测量者以同样细心的程度进行多次测量，称为等精密度测量等精密度测量。 设对某一被测量设对某一被测量x 进行测量次数为进行测量次数为n的等精密的等精密度测量，得到的测量值度测量，得到的测量值xi（i=1,2,n）为随机变）为随机变量。其算术平均值为量。其算术平均值为(也称为样本平均值也称为样本平均值):n1iixn1x(2.3.1) 当测量次数当测量次数n时，样本平均值时，样本平均值 的极限称为测的极限称为测量值的数学期望：量值的数学期望：这里的这里的ExEx也称为总体平均值。也称为总体平均值。2.2.算术平均值原理算术平均值

9、原理（1 1）算术平均值的意义）算术平均值的意义 当测量次数足够多时则近似认为，随机误差的数学当测量次数足够多时则近似认为，随机误差的数学期望等于期望等于0。即在仅有随机误差的情况下，当测量次。即在仅有随机误差的情况下，当测量次数足够多时，测量值的平均值接近于真值。数足够多时，测量值的平均值接近于真值。)1(lim1niinxxnE(2.3.2)3.方差与标准差方差与标准差 方差（样本方差）：方差（样本方差）：当当n时测量值与期望值之时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，写为差的平方的统计平均值，写为212)(1nixiExn(2.3.11)因因i i=x=xi i-E-Ex x，故，故21

10、21niin(2.3.12) 称为测量值数列的标准误差或样本标准差，简称为测量值数列的标准误差或样本标准差，简称标准差。称标准差。2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用1.随机误差的正态分布随机误差的正态分布(2.3.14)图图2.3.1xi的正态分布曲线的正态分布曲线niinixxnuni1212)(1111(2.3.22)贝塞尔公式的另一种表达形式贝塞尔公式的另一种表达形式2211niixnxn(2.3.23)nx/(2.3.25)2.3.3 均匀分布情况下的标准差均匀分布情况下的标准差 1. 均匀分布的概率密度均匀分布的概率密度 由于在均匀分布区间内数值是相等的，所以它的由于在

11、均匀分布区间内数值是相等的，所以它的数学期望数学期望:bababaxbaxdxKKxdxdxxxE2)(2. 均匀分布的数学期望与方差均匀分布的数学期望与方差(2.3.27)均匀分布的方差均匀分布的方差:baxabdxxEx12)()()(222(2.3.28)标准差标准差:122ab 解解: 这时的示值可以认为在这时的示值可以认为在99-101之间，之间， 因而因而a=99V, b=101V. Ex=100(V) 0.58(V)1.权的概念权的概念 可靠程度大的测量结果在最后报告值中占的比可靠程度大的测量结果在最后报告值中占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。表示重大一些，可靠程度小的

12、占的比重小一些。表示这种可靠程度的量称为这种可靠程度的量称为“权权”，记做，记做W。2ixikWi=1,2,3,m (2.3.29) 【例【例2.3.3】对于电压有三组不等精密度测量值的算术平均值】对于电压有三组不等精密度测量值的算术平均值VxVxVx3 .20,1 .20,5 .20321又知：又知：1 . 0,20. 0,05. 0321xxx则：则：W1：W2：W3=16：1：42. 加权平均值加权平均值(2.3.31)NiiWxNx11（2.3.32）miiiNiixWx11（2.3.33）miiimiiWxWWx111对于例对于例2.3.3的数据，可以算出的数据，可以算出:)(44.

13、20) 3 .2041 .2015 .2016(41161VxW2.4.1 系统误差的特征系统误差的特征恒值系统误差恒值系统误差线性系统误差线性系统误差周期性系统误差周期性系统误差复杂变化的系统误差复杂变化的系统误差2.4.2 判断系统误差的方法判断系统误差的方法1、实验对比法、实验对比法2、剩余误差观察方法、剩余误差观察方法3、马利科夫判据、马利科夫判据211221123ninniiininniiiuuuu当当n 为偶数时为偶数时当当n 为奇数时为奇数时(2.4.2)21111nuuniii(2.4.3)1. 从产生系统误差的根源上采取措施从产生系统误差的根源上采取措施2. 用修正法减小系统

14、误差用修正法减小系统误差3. 减小恒值误差的技术措施减小恒值误差的技术措施零示法零示法替代法替代法微差法微差法2.5.1测量结果的置信问题测量结果的置信问题1.置信概率与置信区间置信概率与置信区间)(2)21(222)(0202222tdtedePtt(2.5.2)2.有限次测量时的置信问题有限次测量时的置信问题=3 (2.5.7)3iu3 准则准则(n=10时失效时失效)2.6.1 数据舍入规则数据舍入规则有效数字：有效数字：指它的绝对误差不超过末位数字单位的指它的绝对误差不超过末位数字单位的一半时，从它左边第一个不为一半时，从它左边第一个不为0的数字算起，到的数字算起，到最末一位数为止（包

15、括最末一位数为止（包括0，都是有效数字），都是有效数字）2.6.2 等精密度测量结果的处理步骤等精密度测量结果的处理步骤用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。求算术平均值求算术平均值求剩余误差求剩余误差求标准差的估计值求标准差的估计值判断疏失误差，剔除坏值。判断疏失误差，剔除坏值。剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剩余误差及标准差，并再次判断，直至不包括剩余误差及标准差，并再次判断，直至不包括坏值为止。坏值为止。判断有无变值系统误差判断有无变值系统误差求算术平均值的标准差估计值求算术平均值的标准差估计值

16、求算术平均值的不确定度求算术平均值的不确定度给出测量结果的表达式（报告值）给出测量结果的表达式（报告值）iaxidxepi222)(21（2.6.15）（2.6.16）nPPPP212.6.5 测量不确定度测量不确定度1.测量不确定度的分类测量不确定度的分类2.标准不确定度及其评定标准不确定度及其评定(1)标准不确定度标准不确定度Y=f(X1,X2,Xn) (2.6.20)y=f(x1,x2,xn) (2.6.21)(2)不确定度的不确定度的A类评定类评定(2.6.22)(2.6.23)(2.6.24)(3)不确定度的不确定度的B类评定类评定3.合成不确定度合成不确定度(2.6.25)(2.6

17、.26)(2.6.27) 已知被测量与各参数之间的函数关系及各测量值的已知被测量与各参数之间的函数关系及各测量值的误差，求函数的总误差。误差，求函数的总误差。 已知各参数之间的函数关系及对总误差的要求，分已知各参数之间的函数关系及对总误差的要求，分别确定各个参数测量的误差。别确定各个参数测量的误差。2.7.1误差传递公式误差传递公式y=f(x1,x2,xn) (2.7.1)y+y=f(x1+ x1, x2 + x2 , xn + xn )(2.7.2)(2.7.3)由于由于因而因而2.7.2 常用函数的合成误差常用函数的合成误差 积函数的合成误差积函数的合成误差 y=ABy=A B+B Ay=

18、 y/y =A+ B (2.7.4)y= (|A|+| B |) (2.7.5)例例2.7.1已知电阻上的电压及电流的相对误差分别为已知电阻上的电压及电流的相对误差分别为U=3%, I=2%,问电阻消耗功率问电阻消耗功率P的相对误差的相对误差是多少？是多少？P= U+ I =5%2.商函数的合成误差商函数的合成误差Y=A/By= A/B-(AB)/B2y=y/y = A/A- B /B=A-B (2.7.6)(1) 测量频率时，取闸门时间为测量频率时，取闸门时间为T，在此时间内填充的，在此时间内填充的脉冲个数为脉冲个数为N，则频率，则频率fx=N/Tf=fx/fx=N-T式中式中N= N/N=

19、1/N=1/TfXT=T/T= -f0/f0 (2.7.6)（2）测量周期时，被测周期等于在该时间内填充测量周期时，被测周期等于在该时间内填充的脉冲个数的脉冲个数N 乘以时间标准乘以时间标准Ts. Tx=NTs=NKT0 式中，式中，K是时标开关转换系数是时标开关转换系数T=Tx/Tx=N+T0(2.7.10)3. 幂函数的合成误差幂函数的合成误差y=KAmBn(2.7.12)4. 和差函数的合成误差和差函数的合成误差y=AB y= A B (2.7.13) y= (| A|+| B|) (2.7.14)(2.7.15)(2.7.16A)(2.7.16B)当当y=A+B 时时当当y=A-B 时

20、时5. 和差积商函数的合成误差和差积商函数的合成误差R=R1R2/(R1+R2)2.7.3 系统误差的合成系统误差的合成1.确定性系统误差的合成确定性系统误差的合成(2.7.19)(2.7.20)例例2.7.5 有有5个个1000K的电阻串联，若各电阻的系统误的电阻串联，若各电阻的系统误差分别为差分别为 1 =-4, 2=5,3=-3,4=6,5=4,求总电阻的相对误差求总电阻的相对误差R. =1+2+3+4+5=8R=R1+R2+R3+R4+R5R= /R*100%=8/5000=0.16%系统不确定度系统不确定度njjmjymnjjmjymxfxf11)ln()(2. 系统不确定度的合成系

21、统不确定度的合成(1)绝对值合成法绝对值合成法相对系统不确定度相对系统不确定度(2.7.21)(2.7.22a)一般情况下（积函数）一般情况下（积函数）).(21nym(2.7.22b)(2)方和根合成法方和根合成法222211212.)ln()(nymnjjmjymnjjmjymxfxf(2.7.23)(2.7.24a)(2.7.24b)2.7.4 按系统误差相同的原则分配误差按系统误差相同的原则分配误差(2.7.25)2.7.5 按对总误差影响相同的原则分配误差按对总误差影响相同的原则分配误差(2.7.27)2.7.6 微小误差准则微小误差准则1.系统误差的微小准则系统误差的微小准则2.随

22、机误差的微小准则随机误差的微小准则2.8 最佳测量条件的确定与测量方案的设计最佳测量条件的确定与测量方案的设计2.8.1 最佳测量条件的确定最佳测量条件的确定(2.8.1)(2.8.2)例例2.8.1万用表欧姆挡的简化电路如图万用表欧姆挡的简化电路如图所示。试求指针在什么位置时测量误差所示。试求指针在什么位置时测量误差最小。最小。 由图可知由图可知Rx=E/I-Ri Rx=- IE/I2相对误差相对误差使使 又因又因Rx=0时，时，Im=E/Ri，所以测量误差最小的条件是，所以测量误差最小的条件是I=Im/2, 表明，在使用欧姆表时应合理选择量程，使指针尽可表明，在使用欧姆表时应合理选择量程，使指针尽可能偏转至中心位置附近。能偏转至中心位置附近。2.8.2 测量方案设计测量方案设计1.在设计测量方案时，可以从下述几