《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

1、抛物线典型例题12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1）x2=4y（2）x=ay2（a丰0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程解：（1）p=2，:焦点坐标是（0，1），准线方程是：y=-111（2）原抛物线方程为：y2二1x，.2p二a|a| 当a>0时，=，抛物线开口向右，2 4a11焦点坐标是（一,0），准线方程是：x二-一4a4a 当a<0时，-二-丄，抛物线开口向左，24a11焦点坐标是（一,0），准线方程是：x二-一4a

2、4a综合上述，当a丰0时，抛物线x二ay2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是:4a1x二一-4a典型例题二例2若直线y二kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k.ykx2解法一：设A（x,y）、B（x,y），则由：<可得：1122Iy28xk2x2-(4k+8)x+40.直线与抛物线相交，k丰0且A>0，则k>-1.5'AB中点横坐标为：二宁二灶二2,解得：k=2或k=-1（舍去）.故所求直线方程为：y二2x-2.解法

3、二：设A(x,y)、B(x,y)，1122两式作差解：(y一y)(y+y)=8(x一x)，即歹121212y812=xxy+y1212x+x=4y+y=kx一2+kx一2=k(x+x)一4=4k一4，121212128k二故k=2或k=一1(舍去).4k4则所求直线方程为：y二2x-2.典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2二2px（p>0）.如图所示，只须证明門2则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA丄l于ABB丄l于BM为AB中点,1111MM丄l于M，则由抛物线的定义可知:11二BF在直角梯形BBAA中：1111

4、1M叫二訓AAJ+IBBJ）二2（IAF+lBFl）二21ABI1.|MM|=-|AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.12说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4（1）设抛物线y2=4x被直线y二2x+k截得的弦长为3质5，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标分析：(1)题可利用弦长公式求k,(2)题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标y2=4X得：4x2+(4k一4)x+k2=0y=2x+kk2设直线与抛物线交于A(x,y)与B(x,y)两点

5、.则有：x+x=1-k,x-x=一112212124/.AB=(1+22)(x-x)2=qIx+x)2一4xx='.Jl一k)2一k2=、：5(1-2k)|AB|=35,.5(1-2k)=3厉，即k=-4(2)/S=9，底边长为3丫5，:三角形高h=A3J55点P在x轴上，.设P点坐标是(x,0)0则点P到直线y=2x-4的距离就等于，即卩“0一°一4=亜(22+125.x=-1或x=5，即所求P点坐标是(一1，0)或(5，0).00典型例题五例5已知定直线I及定点A(A不在I上)，n为过A且垂直于I的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于，点B关于AN的对称点为P,

6、求证P的轨迹为抛物线分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA=PN且PN丄l即可.证明：如图所示，连结PA、PN、NB由已知条件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有PA=PN.AB丄1.PN丄1.抛物线典型例题11则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.典型例题六例6若线段PP为抛物线C:y2=2px(p>0)的一条12焦点弦，

7、F为C的焦点，求证:PFiPF2分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：f(£,0)，若过F的直线即线段P1P2所在直线斜率不存在时，PF11112'pppPF2若线段PP所在直线斜率存在时,12设为匕则此直线为:y二k(x-£)(k丰0),且设P(x,y),P(x,y).2y=k(x-斗)k2x2-p(k2+2)x+2得:y=k(x-2).x+x=p(k2+2)12k2根据抛物线定义有:1+1PF1-i-PF2则PF+PF12

8、PF-PF12x+x+p12=12(3+彳)(x2+彳)x+x+p12p/、p2xx+(x+x)+-122124请将代入并化简得:PF1PF2证法二：如图所示，设P、P、12F点在C的准线l上的射影分别是P、P'、12F，且不妨设|PPjn<m二PP1，又设P点在FF'、PP'上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知,PFn,PFm,FF'p2"又APAFsAPBP,.221AFBP1PFPP21p(m+n)=2mn112+mnp故原命题成立.典型例题七例7设抛物线方程为y22px(p>0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为a，求证：焦点弦长为|A

9、B|-2psin2a分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y22px(p>0)的焦点为(匕,0)，过焦点的弦AB所在的直线方程为：ytana(x)2/p、由方程组消去y得:ytana(x)<2y22px4x2tan2a一4p(tan2a)+p2tan2a0设A(x1，儿),B(x2,打)，p(tan2a+2)x+x12tan2ap2x-x-124p(1+2cot2a)又yytana(xx)1212212+x)2-4xxJ1212|AB|=：'(1+tan2a)(x-x)I=t；(1+tan2=|(1+tan2a)p2(1+cot2a)

10、-4-f=*sec2a-4p2cot2a(1+cot2a)|41=4p2-sin4a=2psin2a即AB=2psin2a证法二如图所示，分别作AA、1BB垂直于准线/.由抛物线定义有:1于是可得出：AF=1-cosaBFp1+cosaAF=|AAI=AF-cosa+pBF=BB1=p-BF-cosaABI=|AF+BFp丄p=+1-cosa1+cosa=2p1-cos2a=2psin2a故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P(3,2J3)，它的一个焦点为F(1，0)，对应于该焦点的准线为x=-1，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆3x2丄2y

11、2=2相交于不同的两点，求(1)AB的倾斜角9的取值范围.抛物线典型例题(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为匕弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得0的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可解：(1)由已知得|PF|二4.故P到x=-1的距离d=4，从而|PF|二d:曲线C是抛物线，其方程为y2=4x.设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x2+2y2二2无交点.:k存在设AB的方程为y二k(x-1)由护牡可得：ky2-4y-4k

12、=0b=k(x-1)4设A、B坐标分别为(x,y)、(x,y)，贝U：y+y二y-y=-4112212k1211.|AB|=：(1+)(y-y)2k2121+k2=(y+y)2-4yyk1212_4(1+k2)k2弦AB的长度不超过8,4(1+k2)<8即k2>1k2y_k(x-1)由<得：(2k2+3)x24k2x+2(k21)_03x2+2y2_2TAB与椭圆相交于不同的两点，k2<3由k2>1和k2<3可得：1<k<、沦或站3<k<-1故1<tan0<、】3或一紐<tan0<-1又0<0<兀，

13、：所求0的取值范围是:-<0<1或兰<0<竺433417(2)设CD中点M(x,y)、C(x,y)、D(x,y)3344由Fk("1)得：(2k2+3)x2-4k2x+2(k2-1)二013x2+2y2=24k22(k2-1).x+x=,x-x=3 42k2+3312k2+3x+x2k2/x=T4=22k2+3.=1-32k2+3v1<k2<35<2k2+3<921222则<1<即<x<.52k2+33532x-亠(x一1)22k2+32疋+3(x1)2化简得：3x2+2y23x=022：所求轨迹方程为：3x2+

14、2y23x0(5<x<3)典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题，因此只要研究A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解:如图，设F是y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD,又M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则nyN'&/sC-IK1113MN二2(IAC+|BD|)二2(IAF+|BFI)>21AB|二21315设M点的横坐标为x，纵坐标为y,|MN|=x+-，则x>-

15、上=-.等式成立的条件是AB过点F.51当x二时，yy二P2二-_，故41241(y+y)2二y2+y2+2yy二2x-二2，丿1丿2丿1丿2丿1丿22y+y=±v2，y=±I122所以M(-,±空)，此时M到y轴的距离的最小值为-.4 24说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简典型例题十例10过抛物线y二2px的焦点F作倾斜角为0的直线，交抛物线于A、B两点，求|AB|的最小值.分析：本题可分0=殳和殳两种情况讨论.当时，先写出|AB|的表达式，再求范围解：(1)若，此时|ab=2p.2冗(2)若e鼻，因有两交点，所以o0.2AB

16、：y二tan0(x-)，即x二-+.2tan02代入抛物线方程，有y2-2邑y-p2二0.tan04p2故(y-y)2=+4p2=4p2csc20，21tan20-x)21tan20csc20tan201故|AB|2=4p2csc20(1+)=4p2csc40tan20所以|AB|=>2p.因01，所以这里不能取“=”.sin202冗综合(1)(2)，当0二时，|AB|疳2p2最小值说明：11(1) 此题须对0分0和0王两种情况进行讨论；22(2) 从解题过程可知，抛物线点弦长公式为1=-；sin20冗当0=丫时，|ab|叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.2典型例题十一例11过抛物线

17、y2=2px(p>0)的焦点F作弦AB，1为准线，过A、B作1的垂线，垂足分别为A'、B'，则ZAFB为()，ZAF'B为().A.大于等于90。B.小于等于90。C.等于90。D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切AA/存a琳¥K解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则IAA'1=|AF|nZl=Z2,又AA'/x轴nZl=Z3.Z2=Z3，同理Z4=Z6，而Z2+Z3+Z6+Z4=180。，Z3+Z6=90。，ZA'FB=90。.选C.过AB中点M作MM'丄1，垂中为m'，111则|MMJ二-(|AA，|+BB')二-(|AF|+|BF|)二-|AB.222以AB为直径的圆与直线l相切，切点为M'.又F'在圆的外部，ZAF'B<90。.特别地，当AB丄x轴时，M&#