2022年高考数学一轮复习专题1-1 集合（含答案解析）

1、专题L1集合【考纲解读与核心素养】1 .了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列 举法或描述法)描述不同的具体问题；2 .理解集合之间包含与相等含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空 集的含义；3 .理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合 中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(私)图表达集合间的基本 关系及集合的基本运算.4 .培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1 .元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系：若a属于集合

2、A,记作aeA；若6不属于集合A,记作 bA.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NM或N+ZQR2 .集合间的基本关系(1)子集：若对任意xWA,都有xCB,贝IJ4G8或B2A.(2)真子集：若AU8,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则4呈8或8亚A(3)相等：若 AU8,且 8UA,则 A=8.(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3 .集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示AUBAns若全集为U,则集合A的补集为CM图形表示SDAUB0Z)ACBO集合表示x|x&

3、#163;A,或 xB且XWB小£U,且 HA4.集合的运算性质(1) ACA=A, ACI0 = 0, AnB=BCA.(2) AUA=A, AU0=A, AUB=BUA.(3) ACl(Cu4)=0, AU(CM=U, C"CuA)=A.特别提醒：1 .若有限集4中有个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个.2 .子集的传递性：AQB, BQCAQC.3 .Aa8=AnB=A=4 U B=B=CuA?CuB.4 . Cu(4n8)=(CM) U (CuB), Cu(A U B)=(CM)n(G/B).【典例剖析】高频考点一集合的基本概念1 .已

4、知集合A = (x, y),+ V w3, xeZ, yeZ,则A中元素的个数为()A. 9B. 8C. 5D.4【答案】A【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】v2 + /<3/. x2 < 3,/ X G Zx = 1,0,1当 x = -l 时，y = -1,0,1 ； 当 x = 0 时，y =-1,0,1； 当x = l时，y = -l,O,l；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识 别.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元

5、素，然后再看元素的限制 条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式探究】2 .已知集合4 = 1,2,则集合8 = (x,y)|xeA,yeA中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D.4【答案】D【解析】【分析】由题意，集合B是由点作为元素构成的一个点集，根据xwAxwB,即可得到集合3的元素.【详解】由题意，集合8中元素有(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),共4个.故选 D.【点睛】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还

6、是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是 否满足元素的互异性.【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性高频考点二：集合间的基本关系3,已知集合4 = *|23才+ 2 = 0,%£7?,5 =卜0<“<5,*',则满足条件 AqC工8的集合。的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【详解】求解

7、一元二次方程，得A = |x2 3x+2 = O,xe Rj = x| （xl）（x-2）= O,xe Ry= 1,2,易知3 = x0<x<5,xgN = 1,2,3,4.因为AqCqB,所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合3,4的子集个数，即有22 =4个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时， 也可采用列举法.列出集合。的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交 集运算，考查频度极高.【方法技巧】（1）判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行 判断；当

8、集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.（2）要确定非空集合4的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解.不要 忽略任何非空集合是它自身的子集.（3）根据集合间关系求参数值（或取值范围）的关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况， 否则会造成漏解.【变式探究】4.尸=根|-1<加<0,。= 加/?|32+4蛆一 4<0对于任意实数x恒成立, 则下列关系中立的是A. PQ B. QP C. P = Q D. P

9、nQ =。【答案】A【解析】【分析】首先化简集合Q，的2+4/加一4<0对任意实数x恒成立，则分两种情况:(1)加=0时，易知结论成立，(2) ?<0时，/n/+4/nr-4 = 0无根，则由/<0 求得m的范围.【详解】。=?7?|如2+4a-4<0对任意实数恒成立,对m分类：(1)加=0时，T<0恒成立；(2) / <0 时，需要 A = (46)2+16, < 0 ,解得1<加<0,综合(1) (2)知一1<加40,所以Q = z|-l<mW。,因为尸=川一1(a<0,所以P?Q,故选a.【点睛】该题考查的是有关判断

10、集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问 题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目.5 .已知集合/=卜|/41,知=4,若pnM = M,则实数。的取值范围是( )A. (<»,1B. 1,1C. U,8)D. (co,-【答案】B【解析】【分析】化简集合。，由pn“=M得出由子集的定义得出实数。的取值范 围.【详解】集合 = d x2-l<0 = jd-l<x<l = -l,l,M=6z,PnM=MM q -1,1故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.高频考点三：集合的基本运算6 .已知集合 4=x

11、l<r<2, B=x|x>l,则 AUB=A. (-1, 1) B. (1, 2) C. (-1, +8) D. (1, +8)【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】A = xl<x<2,B = x|>l,工 AUB-),故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7 .已知集合用=x|-4cx<2卜?/ = x|x2-x-6<0,则 McN =A. x|-<x<3 B. x-4<x<-2 C, x|-2<x<2 D. x|2<x<3【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交

12、集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采 取数轴法，利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得，M=xT<x<2,N = H-2<x<3,则MnN = x|-2<x<2.故选 C.【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分， 并集包括二者部分.8 .已知集合4 =卜,2+%-2>。,5 = -1,0,1,2，则（）A. AcB = 2B. AJB = RC. 8 n （A） = 1,2D. 5u（QA） = x|-l<x<2【答案】A【解析】【分析】先求出集合A,然后再依次判断即可.【详解】因为4 =1尸+

13、%_2>0 = 3切或<一2, B = -1,0,1,2, 所以AcB = 2, AUBhR, BA(QA) = -1,0,1, BU(CrA) = -2,1U2故选：A【点睛】此题考查了集合的交并补运算，考查了一元二次不等式的解法，属于基础 题.【规律方法】如何解集合运算问题(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问 题的关键.(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简 单明了、易于解决.(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和性图.(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进

14、行创新考查，但最终化为 原来的集合知识和相应数学知识来解决.【变式探究】9.设全集。=%刈x<8,集合A = 1,3,7则电A=()A. 2,4,5,6B. 0,2,4,5,6)C. 2,4,5,6,8D. 0,2,4,5,6,8)【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再求补集.【详解】U = xgM xW8 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8.a4=0,2,4,5,6,8故选：D【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.10.已知集合 A=xCZl - 1 VxV5,x|0<x<2,则 408=()A. x| - 1 <a<2 B. x|0<x

15、<5 C. 0, 1, 2 D. 1, 2【答案】D【解析】【分析】 列举法表示集合A,直接进行交集运算.【详解】集合A = xZL 1VxV5 = 0, 1, 2, 3, 4）,B=x|0<x<2, .,.ACIB=1, 2. 故选：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.11 .已知集合/=0,123, M=0,l,N = 0,3,则ND（GM）=（）A. 0B. 3C. 0,2,3D. 0【答案】B 【解析】 【分析】直接求解即可【详解】因为集合/=0,1,2,3, M = 0,l,N = 0,3,所以 GM=2,3,所以 Np（GM） = 3 故选：B【点睛】此题

16、考查集合的交集、补集运算，属于基础题.高频考点四：利用集合的运算求参数12 .已知集合人=1,2, B = a,a2+3,若AcB= 1则实数a的值为 【答案】1 【解析】【详解】由题意显然/+3N3,所以a = l,此时/+3 = 4,满足题意，故答 案为1.点睛：（1）认清元素的属性.解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点 集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.（2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元 素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误.（3）防范空集.在解决有关Ac8 = 0,A=B等集合问题时，往往容易忽略空集的情况

17、，一定要先考虑0时是否成立，以防漏解.13.已知集合人=凶-2女87刀=301+1今<201-1且BH港，若AUB=A，则A. -3Wm44 B. -3<m<4C. 2<m<4D. 2<mW4【答案】D 【解析】,即,躁 > -多晨士 4富牌一工:涉胸珏工【详解】试题分析：若AUB=A,且BR的，则有里T二匿t哪三%考点：集合的混合运算.点睛：（1）认清元素的属性.解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其 他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.（2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能

18、会因为不满足“互异性”而导致错误.（3）防范空集.在解决有关4c8 = 0,/q 8等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑0时是否成立，以防漏解.【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组） 求解.【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证（满足互异性）.【变式探究】14 .已知集合4 = 一1,0,4,3 = 邓<2'<2,若AC6。中，则实数。的取值范围是【答案】（）【解析】【分析】根据指数函数y = 2'是

19、单调增函数解不等式1<2'<2,得到集合8,再根据 交集的定义和空集的定义得A B有公共元素，进而得到a e ()/),【详解】由1<2'<2，根据指数函数y = 2,是单调增函数，可得 0<x<l,. S = x|O<x< 1又集合A = -l,(),a,，则A B有公共元素，所以。(0,1)故答案为：【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式， 属基础题.高频考点五：集合的新定义问题15 .己知集合4 = «刈/+丁241,覆”2, B = (x,y)|x| <2,|y| <2

20、,x,y&Z, 定义集合人/二卜玉+孙凶+ y2) I (, !)e A,(x2,y2) e fi,则A8中元素的个 数为A. 77B.49C.45D.30【答案】C【解析】【详解】因为集合/= (x,y)|x2+y2G,x,yeZ,所以集合滴,中有5个元素(即5 个点)，即图中圆中的整点，集合8 = (x,y)卜| < 2,|y| < 2,x,y e Z中有25个元素(即 25 个点)：即图中正方形中的整点，集合 /8 = ($ +4,乂 +4(人,外) 8的元素可看作正方形图高督昌用 的整点(除去四个顶点)，即融学-邳=姆个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.T

21、视频【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去 新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟 悉的集合，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定 义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的 一些因素，并合理利用.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选 项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.【变式探究】16 .

22、设集合A5是非空集合，定义Ax3 = x|xeAu8且x任AI团，已知A = x|-2<x<5, 5 = x|x<3),则 AxB=.【答案】x|3<x<5或x? 2【解析】【分析】在数轴上把集合表示出来，分别求出AdB,Ac8,再根据4x8的定 义得到集合4x8.【详解】如图所示:A<jB = x|x<5, AcB = x卜2< x V 3,因为 Ax 8 = x|x w AdBUx w Ac3,所以 Ax6 = x3<x<5W-2.故答案为邓< x < 5或x < -2.【点睛】本题以集合的新定义运算为背景，考查

23、集合间的交、并、补运算，求解时 要注意端点值的取舍情况.17 .已知集合=。，y)|y=/(x),若对于任意实数对(xi, yi)GM,都存在(口, 闻6"，使得xiX2+yiy2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： M=(x,y)| 丁 = ：;y)|y=log2x)；/玄。，y)|y=el-2;M-(x, y)|y=siar+1.其中是“垂直对点集”的序号是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意知曲线产式团上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与 之垂直，只需对题目中各个集合进行逐个检验即可.【详解】记A(xi, yi), Bg y2),则由用加+“”旬 得04_L08.对于，M=(x,y)l y 假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点(xi,1 1 -)，(X2,),满足五 三=-1,化为无解，因此假设不成 X| x2立，即集合M不是“垂直对点集”，对于，当A为点(1, 0)时，由对数函数图像可知不存在满足题意.对于M= (x, y) y=eK - 2,其图象过点(0, - 1),且向右向上无限延展，向 左向下无限延展，所以任取一点A,连。4,过原点作。4的垂线。8必与- 2 的图象相交，即一定存在点B,使得。8_LOA成立，故M= (x, y) |y=F-2是 “垂直对点集”.对于M= (x, y)