C14_李雅普诺夫稳定性的定义

1、 第五章第五章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析本本 章章 简简 介介q 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 主要介绍主要介绍 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法 着重讨论着重讨论 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用类非线性系统的应用 李雅普诺夫函数的构造李雅普诺夫函数的构造 李亚普诺夫代数李亚普诺夫代数(或微分或微分)方程的求解等方程的求解等 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算

2、与程序设计计算与程序设计目目 录录q 概述概述q 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义q 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理李雅普诺夫稳定性的基本定理q 5.3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析q 5.4 Matlab问题问题 q 本章小结本章小结概概 述述q 一个自动控制系统要能正常工作一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系必须首先是一个稳定的系统。统。 例如例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力; 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航

3、向为一定的能力等。以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。具有稳定性的系统称为稳定系统。q 稳定性的定义为：稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏显然它的平衡被破坏,但在外扰但在外扰去掉以后去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。q 也可以说也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状系统状态变量或输出变量的偏差量态变量或输出变量的偏差量(被调量

4、偏离平衡位置的数值被调量偏离平衡位置的数值)过过渡过程的收敛性渡过程的收敛性,用数学方法表示就是用数学方法表示就是 式中，式中， x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。为任意小的规定量。 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不显然它不可能是一个稳定系统。可能是一个稳定系统。)(Limtxtq 分析一个控制系统的稳定性分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最一直是控制理论中所关注的最重要问题。重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳对于简单系统，常利用经典控制理论

5、中线性定常系统的稳定性判据。定性判据。 在经典控制理论中在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论借助于常微分方程稳定性理论,产生了许产生了许多稳定性判据多稳定性判据,如劳斯如劳斯-赫尔维茨赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。方法。 但这些稳定性判别方法仅限于讨论但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入线性定常系统输入输出间动态关系输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输入有界输讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出出(BIBO)稳定性稳定性,未研

6、究系统的内部状态变化的稳定性。也未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性或时变系统再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以但是难以胜任一般系统。胜任一般系统。q 现代控制系统的结构比较复杂现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加往往也需要根据性能指标的要求而加

7、以改变以改变,才能适应新的情况才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。保证系统的正常或最佳运行状态。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫即李雅普诺夫稳定性定理。稳定性定理。q 实际上实际上 ,控制系统的稳定性控制系统的稳定性,通常有两种定义方式通常有两种定义方式： 外部稳定性外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。由系统的输入和输出两者

8、关系所定义的外部稳定性。 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定即为外部经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定即为外部稳定性稳定性 。 内部稳定性内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性性,即系统的内部状态稳定性。即系统的内部状态稳定性。 本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。 外部稳定性只适用于线性系统外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性内部稳定性不但适用于线性系统系统,而且也适用于非线性系统。而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件

9、下两种定只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。义才具有等价性。q 早在早在1892年年,俄国学者李雅普诺夫（俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 发表题为发表题为“运动稳定性一般问题运动稳定性一般问题”的著名文献的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。建立了关于运动稳定性研究的一般理论。 百余年来百余年来,Lyapunov理理论得到极大发展论得到极大发展,在数在数学、力学、控制理论、学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广机械工程等领域得到广泛应用。泛应用。 Lyapunov把分析一阶常微把分析一阶常微分方程

10、组稳定性的所有方法分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。归纳为两类。 第一类方法是第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化将非线性系统在平衡态附近线性化,然后然后通过讨论线性化系统的特征值通过讨论线性化系统的特征值(或极点或极点)分布及稳定性来分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。方法的思路是一致的。 该方法称为间接法该方法称为间接法,亦称为亦称为Lyapunov第一方法第一方法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳第二类方法不是通

11、过解方程或求系统特征值来判别稳定性定性,而是通过定义一个叫做而是通过定义一个叫做Lyapunov函数的标量函数函数的标量函数来分析判别稳定性来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种所以第二种方法称为直接法方法称为直接法,亦称为亦称为Lyapunov第二方法第二方法。q 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统, 而且而且也能用来研究也能用来研究 时变系统、时变系统、 非线性系统非线性系统,甚至甚至 离散时间系统、离散时间系统、 离散事件动态系统、离散事件动态系统、 逻辑动力学系统

12、逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。这正是其优势所在。q 可是在相当长的一段时间里可是在相当长的一段时间里, Lyapunov第二法并没有引起研第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视究动态系统稳定性的人们的重视, 这是因为当时讨论系统输这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生生,Lyapunov第二方法又重新引起控制领域人们的注意第二方法又重新引起控制领域人们的注意,成为成为近近40

13、年来研究系统稳定性的最主要方法年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步研并得到了进一步研究和发展。究和发展。 本章将详细介绍本章将详细介绍Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义,李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。和第二法的理论及应用。q 本章需解决的问题本章需解决的问题: 动态系统的状态稳定性理论动态系统的状态稳定性理论- Lyapunov稳定性稳定性 基本概念基本概念: 平衡态、平衡态、 Lyapunov稳定性、渐近稳定性、稳定性、渐近稳定性、不稳定性不稳定性 基本方法基本方法: Lyapunov第一方法、第一方法、Lyapunov第二方法第二方法Lyapunov

14、第二方法在线性定常系统的应用第二方法在线性定常系统的应用 Lyapunov方程的求解方程的求解5.1 Lyapunov稳定性的定义q 系统稳定性是动态系统一个重要的系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和可以用定量方法研究和表示的定性指标。表示的定性指标。 反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变换而改变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。但可通过系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的精髓。这也是控制理论和控制工程的精髓。 在经典控制理论中在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下讨论的是在有界输入下,是否产生有是

15、否产生有界输出的输入输出稳定性问题。界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关与初始条件和扰动都无关,而非线性而非线性系统则不然。系统则不然。q 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性其不同的平衡态有着不同的稳定性,故故只能分别讨论各平衡态附近的稳

16、定性。只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡态由于只存在唯一的孤立平衡态,所所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。 Lyapunov稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性定不仅适用于线性定常系统常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。系统。 下面将分别介绍如下下面将分别介绍如下Lyapunov夫稳定性有关定义。夫稳定性有关定义。 平衡态平衡态 几个相关定义几个相关定义 Lyapunov意义下的稳定性 渐近稳定性 大范围渐近稳定性 不稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性范数范数(1/2)上述范数被称为2-范数q 2-范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为|x1-x2|。 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。 在工程中常用的是2-范数,