向量代数复习ppt课件

1、 微分几何微分几何湖师院微分几何课程组练习题解答练习题解答典型例题典型例题练习题练习题内容提要内容提要重点难点重点难点习题课结构习题课结构湖师院微分几何课程组一、本章的重点、难点、此次习题课达到的目的重点：向量的数量积、矢量积，向量垂直、平行的条件；两向量重点：向量的数量积、矢量积，向量垂直、平行的条件；两向量 的的 夹角；直线、平面方程的建立。夹角；直线、平面方程的建立。难点：空间曲线在坐标面上的投影，用截痕发研难点：空间曲线在坐标面上的投影，用截痕发研 究二次曲面。究二次曲面。习题课达到的目的：使学生熟练掌握建立直线、平面方程的方法；习题课达到的目的：使学生熟练掌握建立直线、平面方程的方法

2、； 牢记向量平行、垂直的条件。会求空间曲线在坐标平面上的牢记向量平行、垂直的条件。会求空间曲线在坐标平面上的 投影。熟悉常用二次曲面的方程。投影。熟悉常用二次曲面的方程。湖师院微分几何课程组 1 向量的投影、向量的坐标二.内容提要cosABuABuPrju ABAB 向 量在轴 上 的 投 影 为 向 量与轴 正 向 的 夹 角1212111222212121,.nnxyzxyzxyzPrj aaaPrjaPrjaPrjaxyzBxyzABaaaaxxyyzza ia ja kaaaa 结论: 空间中有两点 A 向量 叫向量 的坐标1.向量湖师院微分几何课程组222121212222xyzax

3、xyyzzaaa 模 向量的coscoscosxyzaaaaaa222,coscosccoscoscos1osaxyza其中 、 、 分别为向量 与 轴轴轴正向的夹角. 、叫向量 的方向余弦，且满足：0coscoscosaaaa向量、是与 同方向的单位向量,xyzxyzaa a abb b b设 xxyyzzabababab按平行四边形法则（三角形法则）相加 、 加法： 2 向量的运算湖师院微分几何课程组,00 xyzaaaaaaaaaaa仍为向量，当时与 同向， 当时与 反向，且 cos0abxxyyzzaba ba ba prj bb prj aaaba bb aab ca cb caba

4、 bba ba ba b 两个向量的数量积是一个数. 其中 为向量 与向量 的夹角， 满足 数量积：数 乘 ：湖师院微分几何课程组sinaabababbabababab两个向量的向量积是一个向量. 的方向垂直于 与 决定的平面，的指向 按右手规则，从 转向 ，大拇指的指向即 向量积：的方向.xyzxyzyzzyzxxzxyyxijkabaaabbba ba bia ba bja ba bk 湖师院微分几何课程组(abcacbcababababba 满足： 为数） 0/00aababababa b结 论 ： 注：零向量方向任意.2.旋转曲面、柱面 1 旋 转 曲 面 ：2222,000fxyzf

5、 yxyozCf y zyyz坐标面上曲线 ：绕 轴旋转得旋转曲面：绕 轴旋转得，旋转曲面：湖师院微分几何课程组 2 柱面：,00,0,0,0F x yzF x yzH x yxG x yy表示母线平行于 轴的柱面.其准线为表示母线平行于 轴的柱面.表示母线平行于 轴的柱面. 1 方 程, ,0, ,0(F x y zG x y z 一般式： 两个曲面的交线） xx tyy tzz t参数式： 3.空间曲线的方程及在坐标面上的投影湖师院微分几何课程组 2 空间曲线在坐标面上的投影, ,0,00, ,0,0:zF x y zH x yzG x y zHLx y消去投影柱面空间曲线,00H x y

6、zLxoy就是空间曲线 在上的投影曲线.L同 理 可 得在 其 他 坐 标 平 面 上 的 投 影 曲 线4.平面、直线方程平面方程000,0A xxBzAyyzB CC点法式： 为平面的法向量.1xyzabc截 距式： 0, ,00.nA B CDAxByCzDxABxoy一般式： 为平面的法向量平面过坐标原点,A=0平面过 轴,平面平行于面湖师院微分几何课程组1212121211111222222222121112222200cosAxB yC zDA xB yAABBCCC zDnnn nABCABC ： 0000000222,0MxyzAxByAxBCzDyCzDdABC点到平面的距离

7、 3 点到平面的距离： 2 两平面的夹角湖师院微分几何课程组结 论 ：11112122221212121212111111222222/000ABCnnABCnnn nAxB yC zDA xB yC zDA AB BC C平面 ： ： 湖师院微分几何课程组000(xxmtyyntzzptt在点向式中令等式 参数式： 为 可得参数式）直线方程11112222A x+B y+CZ +D =0A x+B一般式： 两平面y+C Z+不平行D =0、不重合0000000, ,mxyxxyyzzmpnmpzsn点向式：为直线上的点,为直 线的方向向量11121111122212212,xxyyzzxxy

8、ymx y zmxzyzz两点式： 点，为直线上两点湖师院微分几何课程组两直线的夹角00000012111222:xxyyzzxxyyzzLLmnpmnp12LL与的 夹 角 为1212121222222212111222cosssm mn np pssmnpmnp 1111212222121212121212/0mnpLLssmnpLLsss smmnnp p 结论： 湖师院微分几何课程组L直线 与平面 的夹角000:xxyyzzLmnp:0AxByCzD222222sinAmBnCpn sn sABCmnp 5.常 用 二 次 曲 面2222221xyzabc 椭 球 面： 22222xy

9、zab椭圆抛物面： xyzoxyzo湖师院微分几何课程组22222xyzab双曲抛物面：-2222221xyzabc单叶双曲面：2222221xyzabc 双叶双曲面：2222220 xyzabc二 次 锥面：xyzoxyzozxyoxyzo湖师院微分几何课程组2350:40:481 0 xyzxzxyz 11.一平面过平面 ：和平面的交线且与平面垂直，求该平面的方程。154803452120 xyz 3因为所求平面与垂直，所以 1+1-得代入平面方程得所求的平面为三、典型例题2540540 xyzxzxyz1过平面与的交线的平面方程为: 即 1+1-解一:湖师院微分几何课程组3,525048

10、0524,5, 22nA B Cln sABCn sABCACBCn 设所求平面 的法向量为 因为 经过 有有得 取5040,44054:452404421205xyzxzxyzxyz 取方程组的一组解 得 即1121 515251 01lijksssijk2解二. 与 的交线 的方向向量为 湖师院微分几何课程组52314xyzl2.经过直线 ：作平面 ，使 150 xyz1（ 1） 平 行 于 平 面：1150 xyz（ 2） 垂 直 于 平 面：013,1,45,2,01,1,1,lsMlnn1已知直线 方向向量 ，点 在直线 上,平面 的法向量 设所求平面的法向量为 解： 10/1,1,

11、 1,51210030nMxyzxyz (1) 因为 取 在平面 上 所以平面 的方程为 1 即 湖师院微分几何课程组11(2)1,1, 1 3,1,45, 7, 2lnns解一：因为平面 经过直线 ，且 所以，0572200572390Mxyzxyz 又因为在平面上 所以平面 的方程为 5 即111,43,1,1, 11430572390nnn nxyz 12解得 =5代入得所求平面 的方程为: 5231214xyyzlx-3y+11=0解二： 将直线 的方程化为一般式 即 4y-z-8=03114804311 80lxyyzxyz过直线 的平面为即湖师院微分几何课程组11,03405 7

12、2.nnnsnA B Cn nABCn sABCn 5272解三：由题有设 有 A=-C 解得 取 ，B=C 其余同解一0000.1031 2240MLsM MsMLdsxyzMLxyz 3. 设是直线 外一点，M是直线上任一点，且直 线的方向向量为 试证：点到直线 的距离 ,并求点 ， ， 到直线 的距离.湖师院微分几何课程组M0Msl证明：如图.1,1, 1 2, 1,10, 3, 3ls 直线 的方向向量000sinsindM MM MssM Mss 1,2,0lMMx+y-z=0任取直线 上一点，即求方程组 2x-y+z-4=0的一个解 0 2, 1, 2 0, 3, 333 20,

13、3, 322M Msds 湖师院微分几何课程组04.1,0,4 ,34100,13:12MxzxyzL求过点 且平行于平面 又与直线 相交的直线方程。10011.MMLLLMMLML111111分析：先作辅助平面 使 / ,且过点，则所求直线必在 平面 上，且过点.这时若直线 在平面 上, 则所求直线不唯一（与题不符） 若 /,则所求直线不存在（与题不符）所以直线 必与平面 有唯一交点 ，且在所求直线 上. 只要求出点便可写出所求直线 的方程湖师院微分几何课程组113140403410 xyzxyz则平面的方程为即：1101,3,231432101615,19,3216,19,28141619

14、28LLxtytztttttMsM Mxyz 求直线 与平面 的交点：将直线 的方程参数化为代入平面 的方程得 解出得所求直线的方向向量为 方程为0M11过点作平面，使解：/一湖师院微分几何课程组340.(2)mnp所求直线与平面 平行 有 1,3,2 .LLxtytzt所求直线与直线 相交.将直线 的方程参数化得 324 , , 324tttm n ptttmnp代入（1）式得 取为 ，16 , , 16,19,28tm n p代入（2）式得 14161928xyz所求直线的方程为 01,0,4.14. 1Mxyzmnp因为所求直线过点设其方程为 解二：湖师院微分几何课程组5.632210

15、xyz1:一平面 与已知平面 平行且与球心 在原点半径为1的球面相切，求平面 的方程。12226,3,2,63201603020177632nxyzDdDDdD 11 因为 / ,所以平面的法向量就是 平面 的法向量。 设平面 的方程为 又因为平面 与球心在原点半径为1的球面相切 解： 所以点 0，0，0 到平面 的距离 得 平面 的方程为 6x+3y+6z-7=0; 6x+3y+6z+7=0湖师院微分几何课程组3,1,6 ,1,5, 2AByozPAPBPPoyoz6. 给定 两点，试在面上求一点 使 且点 到轴和轴的距离相等。0, ,PyozPy zPoyozyz因为 在面上，所以设点 的

16、坐标为 又因为 点到轴和轴的距离相等，所以有解：22222(1)(6)( 1)(5)(2)816160APBPyzyzyzyzz 2由 有3化简的 y120 2 2 .0,yzPyzP 2 2当时，点 ， ， 当时,得点 ，3 3湖师院微分几何课程组.3, 5,8 1,1, ,.a ba babzz 7.已知 求 222222220ababababababababaa bbaa bba b因为所以有 即 得解：3, 5,8 1,1, 35801a bzzz 而 得湖师院微分几何课程组8.8.解解共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000

17、 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 湖师院微分几何课程组2L1L2P1s1P12215:313xyLLx+3y-1=09.证明直线与直线 3y+z-2=0 平行并求过此两平行线的平面 的方程。112212113, 1,31,3,0 0,3,13, 1,3/2, 1,0LsLssLLLp直线 的方向向量直线的方向向量 所以 直线上点在所求的明：平面证上31 02232 012311200, ,143, 1,3 2,1 5, 9,2352912059210 xyyzLpxpnsp

18、pxyzxyz 在直线上找一点，即求方程组的一个解。 令得,平面 的法向量为 平面 的方程为 即 湖师院微分几何课程组四、练四、练 习习 题题 面面面面面面面面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(湖师院微分几何课程组5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .Q ,1cos 4、设向量、设向量 与三轴正向夹角依次为与三轴正向夹角依次为当当 时有（时有（ ）面面面面面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 湖师院微分几何课程组7 7、设直线方程为、设直线方程为 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA, ,则直线则直线（ ）. .（A A） 过原点；过原点； （B B）轴轴平平行行于于 z； （C C）轴轴垂直于垂直于 y； （D D）轴轴平行