高校工程数学误差教学课件

1、1.3 误差分析误差分析 1、误差来源、误差来源2、绝对误差和相对误差、绝对误差和相对误差3、有效数字、有效数字4、函数的误差估计、函数的误差估计5、有效数字丢失与误差减小原则、有效数字丢失与误差减小原则一、误差来源一、误差来源提起数值分析，往往会给人以不严格、不准提起数值分析，往往会给人以不严格、不准确以至于不够完美的预感。确以至于不够完美的预感。其实，近似是正常的，其实，近似是正常的，误差是不可避免误差是不可避免的，的，根本不存在绝对的严格和精确。根本不存在绝对的严格和精确。误差来源于误差来源于误差来源误差来源 1、模型误差、模型误差进行数值计算，必须将实际问题归结为数学问题，建立起合进行

2、数值计算，必须将实际问题归结为数学问题，建立起合适的数学模型。适的数学模型。将将实际问题归结为数学问题实际问题归结为数学问题时，通常要加上许多限制，总要时，通常要加上许多限制，总要忽略一些次要的因素，这样建立的忽略一些次要的因素，这样建立的“理想化理想化”的数学模型，的数学模型，虽然具有虽然具有“精确精确”而而“完美完美”的外表，其实只是客观现象的的外表，其实只是客观现象的一种近似而粗糙的描述。而这种数学描述上的近似必然会产一种近似而粗糙的描述。而这种数学描述上的近似必然会产生误差。生误差。模型误差是指数学模型与实际问题之间出现的误差模型误差是指数学模型与实际问题之间出现的误差。误差来源误差来

3、源2、观测误差、观测误差由观测（由观测（测量得到模型中参数的值测量得到模型中参数的值 ）产生的误差。）产生的误差。3、截断误差（方法误差）、截断误差（方法误差）许多数学运算（如微分、积分及无穷级数求和等）是通许多数学运算（如微分、积分及无穷级数求和等）是通过极限过程来定义的，然而计算机只能完成有限次的算过极限过程来定义的，然而计算机只能完成有限次的算术运算及逻辑运算，因此需将解题方案加工成算术运算术运算及逻辑运算，因此需将解题方案加工成算术运算与逻辑运算的有限序列。这种加工常常表现为某种无穷与逻辑运算的有限序列。这种加工常常表现为某种无穷过程的过程的“截断截断”，由此产生的误差通常称作，由此产

4、生的误差通常称作截断误差截断误差。指数函数的截断误差指数函数的截断误差譬如，指数函数譬如，指数函数ex可展开成下列幂级数形式：可展开成下列幂级数形式：在实际计算时，我们就无法得到其右端无穷多项的在实际计算时，我们就无法得到其右端无穷多项的和，而只能截取有限项求出和，而只能截取有限项求出 （1.3.1）这种计算部分这种计算部分Sn(x)作为作为ex的值的方法必然会有误差。的值的方法必然会有误差。泰勒余项定理的截断误差泰勒余项定理的截断误差 根据众所周知的泰勒（根据众所周知的泰勒（Taylor）余项定理，）余项定理，Sn(x)关关于于ex的截断误差是：的截断误差是： （1.3.2）截断误差截断误差

5、 ! 7! 5! 3sin753xxxxx! 4! 3! 2)1ln(432xxxxx又如又如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式，由若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式，由于以后各项都于以后各项都舍弃舍弃了了,自然产生了误差。自然产生了误差。Taylor展开展开截断误差举例截断误差举例 例例1-3-1 假定假定|x|1，用泰勒多项式，用泰勒多项式(1.3.1)计算计算ex的值，设要的值，设要求截断误差不超过求截断误差不超过0.005，问公式，问公式(1.3.1)该取多少项？该取多少项？解解：利用余项公式：利用余项公式(1.3.2)，注意到，注意到exe3，知，知 （1.3.3）于是

6、，欲使于是，欲使|Sn(x)|0.005，只要取，只要取n=5，即采用下列近似公，即采用下列近似公式进行计算式进行计算 （1.3.4）dxex102 1 近近似似计计算算: :例例泰勒余项定理的截断误差泰勒余项定理的截断误差 解法之一解法之一：将将 作作Taylor展开后再积分展开后再积分2xe,104 Sdxe2x取取则则 111!5191!414R称为称为截断误差截断误差005091!414.R 这这里里7430024010333014211013114.S = 0.743 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R44、舍入误差、舍

7、入误差 计算中遇到的数据可能位数很多，甚至会是无穷计算中遇到的数据可能位数很多，甚至会是无穷小数，然而受小数，然而受机器字长的限制机器字长的限制，用机器代码表示，用机器代码表示的数据必须舍入成一定的位数，这又会引进舍入的数据必须舍入成一定的位数，这又会引进舍入误差。误差。少量运算的舍入误差一般是微不足道的，但在计少量运算的舍入误差一般是微不足道的，但在计算机上完成了千百万次运算之后，舍入误差的积算机上完成了千百万次运算之后，舍入误差的积累就可能很惊人了。累就可能很惊人了。舍入误差舍入误差 在数值计算过程中遇到无穷小数，在数值计算过程中遇到无穷小数，它所能表示的数据只能有一定的有限位数，如按四舍

8、五入规则取它所能表示的数据只能有一定的有限位数，如按四舍五入规则取有限位数，由此引起的误差。有限位数，由此引起的误差。14159265. 3414213562. 12 166666666. 061! 311415927. 34142136. 12 16666667. 0! 31误差的来源误差的来源 以上说明，在数值计算的过程中会出现各种各以上说明，在数值计算的过程中会出现各种各样的误差。有时误差会严重样的误差。有时误差会严重“泛滥泛滥”，而完全，而完全“淹没淹没”了所要的真值。了所要的真值。因此，进行任何一项计算，首先必须保证精度。因此，进行任何一项计算，首先必须保证精度。应当在满足精度要求的

9、前提下，挑选和设计好应当在满足精度要求的前提下，挑选和设计好的算法。的算法。基本原则基本原则误差来源误差来源二、绝对误差与相对误差二、绝对误差与相对误差1、绝对误差、绝对误差* ( ), ( )xxE xxxxxE xxxxx 设设 为为准准确确数数，为为近近似似数数。则则定定称称为为近近似似数数关关于于准准确确义义1-1-数数 的的。若若存存绝绝对对误误差差绝绝对对误误差差在在 使使得得称称 为为近近1 1似似数数关关于于准准确确数数 的的。限限 绝对误差限绝对误差限* 10006074302.dxex*xx 例如：例如：工程上常记为工程上常记为绝对误差限绝对误差限简称为简称为误差、精度，常

10、记为误差、精度，常记为 或或e(x)。误差限不唯一，实际中常用误差限不唯一，实际中常用四舍五入四舍五入来取近似值。来取近似值。由于无法准确地知道绝对误差由于无法准确地知道绝对误差 的大小，但根据具体情的大小，但根据具体情况可估计处误差范围。况可估计处误差范围。绝对误差限绝对误差限例例2.,7 ,5 ,3求绝对误差限位数的近似值经四舍五入取小数点后若解解 =3.14159265 | *| |59141. 3*142. 3*7592141. 3*407000. 065002000. 004000000. 03105 . 05105 . 07105 . 0可见可见,经四舍五入取近似值经四舍五入取近似

11、值,其绝对误差限将不超过其末位数其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位。字的半个单位。2、相对误差、相对误差*r*e ()()|rrexxxx x 的的相对误差上限相对误差上限 定义为定义为:绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量x=101，y=100010，哪个近似程度好？，哪个近似程度好？ *( *)rexxexxx 定义：定义：实际应用：实际应用：*( *)rexxexxx 相对误差相对误差相对误差限在实际计算中常称为相对误差限在实际计算中常称为相对误差。相对误差。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求由相对

12、误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。*rx 相对误差的定义相对误差的定义*( ) ( ),( ) ( ) ( )rrrxxE xxxExxxxxxE xxxExxxxxExxxx 设设 为为准准确确数数，为为近近似似数数。则则称称为为近近似似数数关关于于准准确确数数 的的。由由于于准准确确数数 一一般般是是未未知知的的，通通常常相相对对误误差差定定义义定定义义为为若若存存在在 使使得得称称 为为近近似似数数关关于于准准确确数数 的的相相对对误误差差相相对对误误。- -差差1 1限限2 2 ( )

13、xxf xe 设设 的的绝绝对对误误差差为为 ，试试估估计计的的相相例例1 1 1 1。- -对对误误差差 绝对误差与相对误差举例绝对误差与相对误差举例% 计计算算球球体体积积要要使使相相对对误误差差限限为为1 1，问问度度量量半半径径时时允允许许的的相相对对误误差差例例1 1- -？2 2是是多多少少 例例1-4 设设x的绝对误差为的绝对误差为例例1-5.,28718. 2,82281718. 2*reee和相对误差限的绝对误差限求其近似值为已知绝对误差与相对误差举例绝对误差与相对误差举例例例3 解解eeE*绝对误差82001000. 082001000. 0|E002000. 061026

14、102|*er28718. 2102628718. 2102661071. 0是唯一的并不和*r三、有效数字三、有效数字对于测量数据、四舍五入数据等如何评价其精度？对于测量数据、四舍五入数据等如何评价其精度？1、误差限、误差限设设Z是准确值是准确值Z*（右上角标以右上角标以*表示真值或准确值表示真值或准确值）的某个近似值，如果我们能够估计出误差的某个近似值，如果我们能够估计出误差Z*Z的的取值范围，即指定一个正数取值范围，即指定一个正数，使，使|Z*Z| （1.3.5）则称这样的数则称这样的数为近似值为近似值Z的误差限的误差限。1、误差限、误差限如果式如果式(1.3.5)成立，那么，近似值成立

15、，那么，近似值Z和真值和真值Z*关关于允许误差于允许误差可以看成是可以看成是“重合重合”的，或者说，的，或者说，结果结果Z关于允许误差关于允许误差是是“准确准确”的。的。误差分析误差分析考察线性运算对误差的影响。考察线性运算对误差的影响。设设Zk是是 的近似值。对任意系数的近似值。对任意系数k，取，取 作作为为 的近似值，这时有不等式的近似值，这时有不等式 （1.3.6）由此可以断定，如果每个近似值由此可以断定，如果每个近似值Zk的误差限全为的误差限全为，则和式则和式 的误差限为的误差限为 。举例举例例例1-3-2 用近似公式用近似公式(1.3.4)求求ex在在x=-0.2的值，并估计误差。的

16、值，并估计误差。解解：设将公式：设将公式(1.3.4)的系数舍入成：的系数舍入成：1/6=0.16667，1/24=0.04167，1/120=0.00833则它采取下列形式则它采取下列形式ex=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5 （1.3.7）注意到式注意到式(1.3.7)的右端其实就是多项式的右端其实就是多项式(1.3.8)，因，因此，此，例例1-2-1的计算结果的计算结果0.81873就是所求的就是所求的e-0.2的的近似值。近似值。例例1-3-2现在分析这个结果的误差。现在分析这个结果的误差。对于绝对值较小的对于绝对值较小的x，例例1-3-2

17、作出的误差估计是作出的误差估计是相当保守的。例如，对相当保守的。例如，对x=-0.2，可直接用余项公，可直接用余项公式（式（1.3.2）估计出截断误差限）估计出截断误差限1=0.310-6另外，注意到公式另外，注意到公式(1.3.7)中数中数Z1=0.16667，Z2=0.04167，Z3=0.00833的舍入误差均不超过的舍入误差均不超过0.510-5，运用估计式，运用估计式(1.3.6)易知，上述结果的舍易知，上述结果的舍入误差限入误差限2=0.510-7。例例1-3-2因此，如果用因此，如果用例例1-2-1的计算结果的计算结果0.81873作作为为e-0.2的近似值，则误差限为的近似值，

18、则误差限为=1+2=0.3510-6即结果即结果0.81873的误差不超过它最末一位的半的误差不超过它最末一位的半个单位。个单位。2、有效数字、有效数字有效数字有效数字表示一个近似值的准确程度。它是由表示一个近似值的准确程度。它是由绝对误差决定的。绝对误差决定的。* 0.5 10,kxxxxxxkk 设设 为为准准确确数数，为为近近似似数数。若若则则称称用用近近似似表表示示 时时准准确确到到小小数数点点后后第第 位位；并并称称从从小小数数点点后后的的第第 位位数数字字起起知知道道最最左左边边的的非非零零数数字字之之间间的的所所有有数数字字为为；称称有有效效数数字字定定的的有有效效位位数数义义1

19、 1- -3 3数数字字有有为为。效效数数位位 有效数字有效数字定义定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数 字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。 用科学计数法，记用科学计数法，记 （其中（其中 ）。若）。若 （即（即 的截取按四舍五入规则），则称的截取按四舍五入规则），则称 为有为有n 位有效数字，精确到位有效数字，精确到 。mnaa.ax10021* 01 anm.xx 1050|*na*xnm 10另一等价定义：另一等价定义： 另：另：如果近似值如果近似值Z的误差限是某一位上的半个单位，且该的

20、误差限是某一位上的半个单位，且该位直到位直到Z的第一位非零数字一共有的第一位非零数字一共有n位，我们就说近似值位，我们就说近似值Z有有n位有效数字。位有效数字。有效数字有效数字设数设数a是数是数x的近似值，如果的近似值，如果a的绝对误差限是它的某一位的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n位，位，则称用则称用a近似近似x时具有时具有n位有效数字。位有效数字。非零小数非零小数a总可以写成如下的形式：总可以写成如下的形式：a=0.a1a2ak10m其中，其中，m是整数，是整数，ai（i=1,2,k）)是是0到到9中的一个

21、数字，中的一个数字，a10。如果。如果a作为数作为数x的近似值，且的近似值，且(a)=0.510m-n nk则由定义知，则由定义知，a有有n位有效数字位有效数字a1a2ak。有效数字有效数字1415389793214159265353.*;.例例：问：问： 有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。* 131 40 3141510*0 5100 510*.,| |. 证明：证明：有有4 位有效数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第 3 位。位。有效数字有效数字又如，若又如，若Z*=3.1415926，则近似值：，则近似值：Z1=3.14的误差为的误差为0.00

22、15926，有，有3位有效数字；位有效数字；Z2=3.1416的误差为的误差为0.0000074，有，有5位有效数字；位有效数字；Z3=3.1415，误差为，误差为0.0000926，有，有4位有效数字。位有效数字。有效数字有效数字关于有效数字还要指出以下几点：关于有效数字还要指出以下几点：1)1)用四舍五入取准确值的前用四舍五入取准确值的前n n位作为近似值，则必有位作为近似值，则必有n n位有效数字。位有效数字。2)2)把任何数乘以把任何数乘以1010p p，等于移动该数的小数点。这样不影响其有效，等于移动该数的小数点。这样不影响其有效数字位数。数字位数。 例如：例如： 9.80 写成写成

23、0.0098003）数字末尾的数字末尾的0 0不可随意省去不可随意省去0.2300有有4位有效数字，而位有效数字，而00023只有只有2位有效。位有效。12300如果写成如果写成0.123 105，则表示只有，则表示只有3位有效数字。位有效数字。4 4）准确值被认为具有无穷多位有效数字）准确值被认为具有无穷多位有效数字20=1204.42 2204.4471643204.469576 设设4.4721364.472136具具有有7 7位位有有效效数数字字，试试确确定定下下列列各各近近似似数数的的有有效效数数字字位位数数：（ ）（ ）（ ）例例1-31-3 *0.9373*x( )1xxf xx

24、 设设具具有有 位位有有效效数数字字，估估计计用用代代替替 时时例例1-1-的的相相对对误误差差。并并估估计计计计算算函函数数值值时时的的绝绝对对误误差差。4 4和和相相对对误误差差 有效数字举例有效数字举例例例1-6例例1-7有效数字位数与相对误差的关系有效数字位数与相对误差的关系*(1)111 ( )10,21-1nrxxxnExxx定定理理 设设 为为准准确确数数，为为近近似似数数。若若具具有有 位位有有效效数数字字，则则其其相相对对误误差差满满足足其其中中 为为最最左左边边的的一一位位有有效效数数字字。 有效数字位数与相对误差的关系有效数字位数与相对误差的关系*(1)111 ( )10

25、,211-2nrxExxnx 若若 的的相相对对误误差差满满足足（）则则该该近近似似数数至至少少准准确确到到 位位有有效效数数字字。其其中中为为最最左左边边的的一一位位有有定定理理效效数数字字。 计算举例计算举例201-50.1% 为为了了要要取取的的一一个个近近似似数数，使使其其相相对对误误差差不不超超过过，则则所所取取的的近近似似数数应应具具有有多多少少？例例位位有有效效数数字字 例例1-8设一元函数设一元函数f(x)的自变量的自变量x的近似值为的近似值为x*，f(x)的近似值为的近似值为f(x*)，其误差限记为，其误差限记为f(x*)。将。将f(x)在近似值在近似值x*作泰勒展开作泰勒展

26、开 介于介于x*，x之间。取绝对值得之间。取绝对值得其中：其中：*为近似数为近似数x*的的绝对误差限绝对误差限。四、函数的误差估计四、函数的误差估计问题问题：对于：对于 y = f (x)，若用，若用 x* 取代取代 x，将对，将对y 产生什么影响？产生什么影响？ 2*2ff xf xfxxxxx 2*2ffxfxfx 分析：分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。函数的误差估计函数的误差估计忽略忽略 高次项，可得到高次项，可得到 *rfxfxfx 函数运算相对误差函数运算相对误差: *f xfx 函数运算绝对误差函数运算绝对误差:五、有效数字丢失与误差减

27、小原则五、有效数字丢失与误差减小原则 （1 1）避避免免非非常常接接近近的的两两个个数数作作减减法法； （2 2）避避免免出出现现非非常常小小的的除除数数； （3 3）合合理理安安排排运运算算顺顺序序，防防止止大大数数吃吃小小数数； （4 4）简简化化运运算算步步骤骤，减减少少运运算算次次数数； 1、避免相近的两个数字相减、避免相近的两个数字相减例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。 几种经验性避免方法：几种经验性避免方法： ;1lnlnln xxx当当 |

28、 x | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxexl公式变换：公式变换：l如果计算公式不能改变时，增加有效位数；如果计算公式不能改变时，增加有效位数；l 当当 很接近时，采用泰勒展开；很接近时，采用泰勒展开； *fxfx 有效数字丢失有效数字丢失例例1-3-3 按下式对按下式对a=1000取四位数字计算：取四位数字计算：;xxxx 两个值相近的近似数相减，可能会造成有效数字两个值相近的近似数相减，可能会造成有效数字的严重损失，要尽量避免！的严重损失，要尽量避免！如果先加工计算公式成：如果先加工计算公式成：按后一公式求得的结果按后一公式求得的结果x=0.01581有三位

29、有效数字。可有三位有效数字。可见计算公式形式，对舍入误差的影响可能是很大的。见计算公式形式，对舍入误差的影响可能是很大的。例例1-3-3对对a=1000取四位数字计算取四位数字计算开方得到开方得到 ， ，两者，两者直接相减得直接相减得x=0.02，这个结果只有一位有效数字，这个结果只有一位有效数字(x的的实际值为实际值为0.01580)。如何才能提高精度？如何才能提高精度？2、避免小数字作分母、避免小数字作分母分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出例：用单精度计算例：用单精度计算x2-(109+1)x+109=0的根，精确解为：的根，精确解为：3、避免大数吃小数、避免大数吃小数110291

30、x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算机内，109存为存为0.1 1010，1存为存为0.1 101。做加法时，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为的指数部分须变为1010，则：，则：1 = 0.0000000001 1010，取，取单精度时就成为：单精度时就成为： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大数大数吃吃小数小数024,102422921 aacbbxaacbbx避免大数吃小数避

31、免大数吃小数算法算法2：先解出先解出 再利用再利用9211024aacbbx11010991221 xacxacxx求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094、减少运算次数、减少运算次数减少步骤，减少运算次数，避免误差积累。减少步骤，减少运算次数，避免误差积累。例例3：计算：计算x255的值的值 5. 选用数值稳定性好的算法选用数值稳定性好的算法数值稳定性定义：数值稳定性定义：如果在执行算法的过程中舍入误差在如果在执行算法的过程中舍

32、入误差在一定条件下能够得到控制（结果是可靠的），则该算法一定条件下能够得到控制（结果是可靠的），则该算法是数值稳定的，否则就是数值不稳定的。是数值稳定的，否则就是数值不稳定的。在实际运算过程中，参与运算的各种数据一般都带有一定在实际运算过程中，参与运算的各种数据一般都带有一定的误差。比如初值误差及计算过程中的舍入误差。这些误的误差。比如初值误差及计算过程中的舍入误差。这些误差即使很小，也会随着计算过程的进行不断传播（或积累）差即使很小，也会随着计算过程的进行不断传播（或积累）下去，对结果产生一定的影响。如果计算结果对初值误差下去，对结果产生一定的影响。如果计算结果对初值误差不敏感，则认为算法是数值稳定的。不敏感，则认为算法是数值稳定的。算法数值稳定的一个必要条件是原始数据小的变化只会引算法数值稳定的一个必