第十七章 在无界区域上定义函数_第1页
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文档简介

1、1.无界集的测度知行知行130113275001毕文彬毕文彬有界集的测度无界集的测度无界集测度的性质证明可测集外测度内测度有界闭集的测度有界开集的测度可测集的性质14523有界集6定义定义1:1:区间(a,b)的测度测度，就是它的长b-a，记为 m(a,b)=b-am(a,b)=b-a显然总有 m(a,b)0m(a,b)0定义定义2:2:设G是不空的有界开集，则其一切构成区间之长的和称为G的测度测度。即 mG=mG=mmk k定义定义3:3:设F是一不空的有界闭集，S=A,B是包含F的最小闭区间，则定义F的测度测度 mF=B-A-mCmF=B-A-mCB BFF定义定义4:4:有界集E的内测度

2、内测度m*E是一切可能含在E中的闭集的测度的上确界，即 m*E=supmFk定义定义5:5:有界集E的外测度外测度m*E是一切可能包含E的有界开集的测度的上确界，即 m*E=infmG定义定义6:6:如果有界集E的外测度和内测度相等，则称E是一个可测集。这时E的外测度和内测度的数值就称作E的测度测度，记为mE： mE=m*E=m*E特别的，对于一切有界开集和有界闭集，其外测度和内测度均相等 mF=m*F=m*F mG=m*G=m*G即，一切有界开集和有界闭集都是可测集设S=(a,b)是基本集(有界)，E,EiS(i=1,2.)均为有界可测集，则有CSE=S-E,E1E2,E1E2,E1-E2,

3、和Ei,Ei均可测，且1)mE0,且E=时，mE=0 (非负性)2)若E1E2，则mE1mE2 (单调性) m(E2-E1)=mE2-mE13)m(Ei)mEi (不完全可加性)4)若EiEj=(ij,i,j=1,2,3.)，则 m(Ei)=mEi (完全可加性)设集E含在(-,+)中，如果对于任意的自然数n，集E(n)=-n,nE为可测，则称E是可测集可测集。极限称为这个集的测度测度。注：对于无界集，上述性质注：对于无界集，上述性质( (非负性，单调性，不完全可加非负性，单调性，不完全可加性，完全可加性性，完全可加性) )同样成立。同样成立。定理定理: :设 为可测集而E为其交集。如果 ，则.321EEE1mEnnmEmE lim)(limnmEmEn即证： （1）设E1，E2，E3.是两两不相交的可测集又那么从而及 （2）1kkmEmE1kkEE1)()(kknEnE11)()(kkkkmEnmEnmE1kkmEmE下证：由（1）式推得，对于所有有限的N有：令n，得

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