数值分析典型例题与习题学习教案

1、会计学1数值分析数值分析(fnx)典型例题与习题典型例题与习题第一页，共36页。有效数字有效数字(yu xio sh z)(yu xio sh z)概念概念若近似值若近似值 x x 的绝对误差限是某一位上的半个的绝对误差限是某一位上的半个单位单位, ,该位到该位到 x x 的第一位非零数字的第一位非零数字(shz)(shz)一共有一共有 n n 位位, ,则称近似值则称近似值 x x 有有 n n 位有效数字位有效数字(shz)(shz)。19:55*.*x 从左向右看第从左向右看第一个非零数一个非零数(ln sh)误差限不超过该误差限不超过该位的半个单位位的半个单位n位有效数字位有效数字第2

2、页/共36页第二页，共36页。nraxe 1051)(如果如果x具有具有n位有效数字位有效数字(yu xio sh z), 则相对误差满足则相对误差满足:mnaaax10021 .nmxxxe 1021| )(|其绝对误差其绝对误差(ju du w ch)满足满足:如果如果(rgu)一个规格化浮点一个规格化浮点数数则称近似数则称近似数x具有具有n位有效数字。位有效数字。第3页/共36页第三页，共36页。*lim()nnxx 0101()()nnxxxxx 迭代法思想迭代法思想(sxing):19:55收敛性收敛性 收敛收敛(shulin)速度速度|( )| 1x Iterate:To say

3、or do again or againandagain(1)( )( *)( *)( *)0 ( *)0rrxxxx 第4页/共36页第四页，共36页。例例1.1.经过四舍五入得出经过四舍五入得出x1=6.1025x1=6.1025和和x2=80.100,x2=80.100,试问它们试问它们(t men)(t men)分别具有几位有分别具有几位有效数字效数字? ?解解： *4112|*|10 xx *3122|*|10 xx 第5页/共36页第五页，共36页。例例2.2.已知近似已知近似(jn s)(jn s)数数x x有两位有效数字有两位有效数字, ,试求其相试求其相对误差限。对误差限。解

4、解：| er(x)| 1000时时, Sn有三位有效有三位有效(yuxio)数。数。第12页/共36页第十二页，共36页。2arctan( )11dxdxx 201arctan( )arctan(0)arctan( )1xdxxxx 2311( 11)1aaaaa 2460(1)darctan( )xaaaax 3571arctan( )357xxxx 第13页/共36页第十三页，共36页。10ie 第14页/共36页第十四页，共36页。例例10.在计算机上对调和级数逐项求和在计算机上对调和级数逐项求和(qi h)计算计算 nknkS11当当 n 很大时，很大时，Sn 将不随将不随n 的增加而

5、增加。试的增加而增加。试分析分析(fnx)原因。原因。 第15页/共36页第十五页，共36页。例例11. 证明方程证明方程(fngchng)1-x-sinx=0在区在区间间0,1上有一根上有一根, 使用二分法求误差不大使用二分法求误差不大于于0.5*10-4的根需要二分多少次？的根需要二分多少次？提示提示: f(0)=1, f(1)=-sin10。且。且f(x)=-1-cosx在区间在区间(0,1严格单调严格单调(dndio)递递减。减。411011022n 第16页/共36页第十六页，共36页。 例例12. 构造构造(guzo)求求ex+10 x-2=0根的迭代法。根的迭代法。提示提示(ts

6、h):(2e )( )10 xx ( )10 xex 故迭代法算法故迭代法算法(sun f)一阶收敛。一阶收敛。第17页/共36页第十七页，共36页。 例例13. 应用牛顿迭代法于方程应用牛顿迭代法于方程 x3 a = 0,导出求立方根的迭代公式导出求立方根的迭代公式(gngsh),并讨论其并讨论其收敛阶。收敛阶。解：令解：令 f(x) = x3 a，则牛顿迭代，则牛顿迭代(di di)公公式式 22313323nnnnnnxaxxaxxx 2332)(xaxx 33232)(xax 42)(xax *()0()0 xx 且且故立方根迭代算法故立方根迭代算法(sun f)二阶收敛二阶收敛第18

7、页/共36页第十八页，共36页。例例14. 设设a 为正实数为正实数(shsh),试建立求试建立求1/a 的牛顿迭的牛顿迭代公式代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑并考虑迭代公式的收敛。迭代公式的收敛。 xn+1 = xn(2 axn)，(n=0，1，2 ) kaxaxk20)1(1 )1(1 120kaxaxk 所以所以(suy),当当| 1 a x0| 0,迭代格式迭代格式212(3 )3nnnnxxCxxC *xC 是是计计算算的的三三阶阶方方法法。第20页/共36页第二十页，共36页。例例16. *()1()()0 xp xfx 解解:2( )(

8、 ) ( )( )( ),( )( ),( )0( )xxp x f xq x fxp xq xf xx 设设试试确确定定函函数数和和使使求求解解根根的的迭迭代代格格式式至至少少三三阶阶收收敛敛。2( )1( ) ( )( )( )( )( )2 ( ) ( )( )xp x f xp x fxq x fxq x f x fx 2( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )2 ( ) ( )( )2 ( ) ( )( ) 2 ( )( )( )2 ( ) ( )( )xpx f xp x fxp x fxp x fxqx fxq x f x fxq x f x fxq

9、 x fx fxq x f x fx *2()2()()()()2 ()()0 xp xfxp xfxq xfx ( )1/( )p xfx 3( )( )2( )fxq xfx 第21页/共36页第二十一页，共36页。Ex2. 若若 x*是是f(x)=0的的m重根重根,试证明修正试证明修正(xizhng)的的牛顿迭代法牛顿迭代法1()()nnnnf xxxmfx 至少至少(zhsho)为二阶收敛为二阶收敛 。 1/1/1( ) ( )( )1/ ( )( )mmu xf xu xm f xfx 且且f(x)1/m或或f(x)/f(x)单根单根1/1/1 ( )(x)( )1/ ( )( )(

10、 )mmf xfxxxmm f xfxfx 第22页/共36页第二十二页，共36页。Ex3 对于复变量对于复变量 z = x + i y 的复值函数的复值函数 f(z) 应用牛顿应用牛顿(ni dn)迭代公式迭代公式 )()(1nnnnzfzfzz 时为避开时为避开(b ki)复数运算复数运算,令令 zn = xn + i yn f(zn) = An + i Bn，f (zn) = Cn + i Dn 证明证明(zhngmng) 221nnnnnnnnDCDBCAxx 221nnnnnnnnDCCBDAyy 第23页/共36页第二十三页，共36页。例例17. 提示提示(tsh): 取初值取初值

11、x1=21/2,222lim=2nnnxx 给给出出求求的的迭迭代代格格式式, ,并并证证明明。12nnxx 迭迭代代格格式式考虑考虑(kol)序列单调有界序列单调有界,则该序列必则该序列必有极限。有极限。第24页/共36页第二十四页，共36页。19:55*2.5 ( ), ( )( )1, xxxxx 定定理理设设为为的的不不动动点点在在的的某某邻邻域域连连续续且且则则迭迭代代法法局局部部收收敛敛。例例18.:( )x 提提示示 因因为为连连续续, , 由由局局部部保保号号性性知知存存在在一一个个邻邻域域|( )|1,xL 有有且且有有|( )|1,xL 有有且且有有*| ( )| ( )(

12、)|0, 均收敛于均收敛于21/2。21212(2)2(2)nnnnxxxx 第27页/共36页第二十七页，共36页。牛顿迭代法的收敛域问题牛顿迭代法的收敛域问题: : 用牛顿迭代法求解用牛顿迭代法求解(qi ji)(qi ji)方程方程 zd 1 = 0 zd 1 = 0的复根。例如的复根。例如d=3d=3时时, , 方程在复平面上三个根分方程在复平面上三个根分别是别是iz23212 iz23213 z1 = 1选择中心位于坐标选择中心位于坐标(zubio)(zubio)原点，原点，边长为边长为2 2的正方形内的任意点作初的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个始值，进行迭代，把收

13、敛到三个根的初值分为三类，并分别标上根的初值分为三类，并分别标上不同颜色不同颜色( (例如红、绿和蓝例如红、绿和蓝) )。对。对充分多的初始点进行实验，绘出充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。色图。 第28页/共36页第二十八页，共36页。第29页/共36页第二十九页，共36页。第30页/共36页第三十页，共36页。第31页/共36页第三十一页，共36页。第32页/共36页第三十二页，共36页。 % Perform Newton iterations for k=1:maxIter; Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d); en

14、dfunction y=f(x,d); y=(x.d)-1;end function y=fprime(x,d); y=d*(x.(d-1);end代码(di m)片段1:第33页/共36页第三十三页，共36页。 % Find d roots of unity, and the mask for j=1:d root=exp(2*pi*i/d)j; % the jth root Mj=abs(Z-root); % distance % Each root gets a unique number in 1,d mask=(Mj=tol)*j; renderMat=renderMat+mask; end colormap(hsv); % Set the color map imagesc(renderMat) % Render the fractal代码(di m)片段2:第34页/共36页第三十四页，共36页。作业作业(zuy)题目