四 球坐标系与柱坐标系

1、阅读课本阅读课本P16-17 了解柱坐标系的定义了解柱坐标系的定义, 以及如何用以及如何用柱坐标系描述空间中的点柱坐标系描述空间中的点. 设设P P是空间任意一点，是空间任意一点，在在oxy平面的射影为平面的射影为Q， 用用(,)(0,(,)(0,002)2)表示点表示点Q在平面在平面oxyoxy上的极坐标，上的极坐标， 点点P P的位置可用有的位置可用有序数组序数组( (,z,z) )表示表示. .xyzoP(,Z Z)Q把建立上述对应关系的坐标系叫做把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系柱坐标系有序数组有序数组( (,Z Z) )叫点叫点P P的的柱坐标，柱坐标， 记作记作( (,Z Z)

2、. ). 其中其中0, 00, 0 2, -2, -Z Z+ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的一部分建立起来的. . 空间点空间点P P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)(x, y, z)与柱坐与柱坐标标 ( (,Z,Z) ) 之间的变换公式为之间的变换公式为 zzyx sincos) 0(tan,222 xxyyx 设点的直角坐标为设点的直角坐标为(1，1，1)，求它，求它在柱坐标系中的坐标在柱坐标系中的坐标.z1sin1cos1点点在柱坐标系中的坐标为（在柱坐标系中的坐标为（ ，

3、 ，1）.24 注：注：求求时要注意角的终边与点的时要注意角的终边与点的射影所在位置一致射影所在位置一致) 0(tan,222 xxyyx 坐坐标标是是？则则它它的的柱柱的的直直角角坐坐标标是是、设设点点),3 , 3, 1(1 M求求它它的的直直角角坐坐标标。的的柱柱坐坐标标为为、设设点点),7 ,6, 2(2 M) 3 ,34, 2()7 , 1 ,3(z1sin1cos1) 0(tan,222 xxyyx 问题情境问题情境GPS系统包括三大部分：空间部分系统包括三大部分：空间部分-GPS卫星卫星星座；地面控制部分星座；地面控制部分-地面监控系统；用户设地面监控系统；用户设备部分备部分-G

4、PS信号接收机。信号接收机。 阅读课本阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标了解球坐标系的概念以及在球坐标系中点的确定系中点的确定xyzoPQr设设P是空间任意一点，是空间任意一点，连接连接OP，记记| OP |=r，OP与与OZ轴正向所轴正向所夹的角为夹的角为.在在oxy平面的射影为平面的射影为Q， 设设P在在oxy平面上的射影为平面上的射影为Q， Ox轴按逆时轴按逆时针方向旋转到针方向旋转到OQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为. 这样点这样点 P 的位置就可以用有序数的位置就可以用有序数组组(r,)表示表示.(r,) 我们把建立上述我们把建立上述对应关系的坐标系对应关系的坐

5、标系叫做叫做球坐标系球坐标系 (或或空间极坐标系空间极坐标系) .有序数组有序数组(r,)叫做点叫做点P的球坐标，的球坐标，其中其中20,0, 0rxyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种之间建立了一种对应关系对应关系.y数学运用数学运用例例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体。的正方体。xzABCGDEFO(0,0,0)O(1,0)2A( 2,)2 4B (1,)2 2C (1,0,0)D( 2,0)4E3( 3,arccos,)34F( 2,)4 2G 空间点空间点P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)与球

6、坐标与球坐标(r,)之间的变换关系为之间的变换关系为cossinsincossinrzryrxxyzoP(r,)Qr2222xyzrr 0, 0 , 0 2 设点的球坐标为设点的球坐标为(2， ， )，求它的直角坐标，求它的直角坐标.4343222(243cos212222243sin43sin212222243cos43sin2）（zyx 2点点在直角坐标系中的坐标为（在直角坐标系中的坐标为（ -1 ,1 ,）.cossinsincossinrzryrx数轴数轴平面直角坐标系平面直角坐标系平面极坐标系平面极坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系坐标系坐标系 坐标系

7、是联系形与数的桥梁坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化以实现几何问题与代数问题的相互转化,从而产从而产生了坐标法生了坐标法.小小 结结题型一题型一将点的柱坐标化为直角坐标将点的柱坐标化为直角坐标将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：【例例1】根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：【变式变式1】将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：题型题型二二将点的球坐标化为直角坐标将点的球坐标化为直角坐标【例例2】【反思感悟反思感悟】 根据球坐标系的意义以及

8、与空间直角坐标根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，)中角中角，的的边与数轴边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即的关系，注意各自的限定范围，即0，02.化点的球坐标化点的球坐标(r，)为直角坐标为直角坐标(x，y，z)，需要运用公，需要运用公式式根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：【变式变式2】已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长的棱长为为1，如图建立空间直角坐标系，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及的直角坐标、

9、柱坐标以及球坐标球坐标题型题型三三将点的直角坐标化为柱坐标球坐标将点的直角坐标化为柱坐标球坐标【例例3】思维启迪思维启迪 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可球坐标系的意义和联系计算即可在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可正切值，并标注角的范围即可若本例中条件不变，点若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分的柱坐标与球坐标如何分别表示？点别表示？点D呢？呢？【变式变式3】方法技巧方法技巧求球坐标系中两点间距离的策略求球坐标系中两点间距离的策略【示示例例】思维启迪思维