《材料力学》压杆稳定习题解

1、第九章压杆稳定习题解习题9-1在 9-2中已对两端球形较支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线2EI形状，导出了临界应力公式Pcr=。试分析当分别取图 b,c,d所示坐标系及挠曲线形l2状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又是否相同。(b)(C)解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。13 / 16因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是EIw =-M（x）。（ c）、（d）的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程:EIw =M（x）,显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。二2

2、EIPcr =。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:习题9-2图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为:Pcr =二 EI由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与原压相的相当长度内的平方成反比，其中，N为与约束情况有关的长 度系数。(a) m =1 m5 = 5m(b) N|=o.7x7=4.9m(c)T=0.5 9 =4.5m(d) N| =2父2 = 4m(e)内=1 m8 =8m(f)内

3、=0.7x5=3.5m (下段)； 内=0.52,算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C = M = 20且，l一 P 2 12则： 旦旦=1.1025,已固端=1.1025Pcr,弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它Br弹簧2看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全， 而是偏于危险。习题9-4试推导两端固定、弯曲刚度为EI ,长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力Pcr的欧拉公式。解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为Pc水平反力为0,约束反力偶矩两端相等，用 Me表示,下

4、标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象,转向为逆转。M(x) = PcrV(X)- MeEIv = -M (x) =Me -Pcrv(x)Me的EIVPcrV(X)=MevM(x)=”令 k2=M 则EI EIEIk2PcrEI 2 2 M ev k v = k Pcr上述微分方程的通解为:A . .-. Mev = Asin kx B coskxPcr.(a)v = Akcoskx - Bksin kx边界条件： x = 0; v=0： 0 = Asin 0 + Bcos0+e ； B =- PcrPcr x=0 v =0： 0 = Akcos0-Bksin0 ； A = 0。把A

5、、B的值代入(a)得：Me, Me , 一v (1 -coskx) v ksin kxPcrPcr边界条件： x = L； v=0： 0 =-e (1 -coskL) , 1-coskL = 0凡 x=0 v=0： 0 = Me ksin kL sinkL = 0Pcr以上两式均要求：kL=2nn, (n =0,1,3,.)其最小解是:kL=2n ,或 k = L故有:k2=生，因此:(0.5L)2 EI二2EI2(0.5L)2习题9-5长5m的10号工字钢，在温度为00C时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数 %=125m10,（C）,，E =210GPa。试问当温度升高

6、至多少 度时，杆将丧失稳定性？解：a- Ee= A=29 2c讥)血 血？ x33xl0” %4八 125x10 八 143x10-%习题9-6两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力Pcr的解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况:（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：0.5一 、E11岁 /HL (05/7 - 0 125尸一靖(b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳4=2失

7、稳时整体在面内弯曲，则 1, 2两杆组成一组合截面。匚更(2Z)2 - 128/2(/+)(c)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳Ex2x 64故面外失稳时Pcr最小:尸_Ed128p二 3Ed412812习题9-7图示结构ABC时三根直径均为d的圆截面钢杆组成， 在B点钱支，而在A点和C点固定，D为较接点，L = 10n。若结构由于杆件在平面 ABC咕弹性失稳而丧失承载能 d力，试确定作用于结点 D处的荷载F的临界值。解：杆DB为两端钱支,杆DA及Dg一端钱支一端固定，选取二：。此结构为超静定结构， 当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆 AD及DC 也失稳时整个结构才丧失承

8、载能力，故% = %】)+2Q* 863。(0 7xEl1.53S/7Ecos 30 )= 5.7WxlO-*El 2x1 53/7ra 乖 3.65 j? 22- +qX=5广 广 2= 36.024 月l2习题9-8图示较接杆系 ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的角（假设0日土）。2解：要使设计合理，必使 AB杆与BC杆同时失稳,即:Pcr, AB2I = F cosu l ABPcr, BC二2EIIbc2F sin 1F cos-=tan -二（l ABl BC)21-arctan（cot2 :）习题9-9下

9、端固定、上端钱支、长 l = 4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所 示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235钢,强度许用应力二=170MPa ,试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得：4 = 2xl9&3xlOT =396 6x10a = 2x(25.6xlO-0+12.74xlOx32J83 xl04)= 325.3乂1。1m4m / 325.3x10 二川 4, 出，：1mI-0 i-0.7x41.84x10= 152,0,301乩=如= 0.301x170= 5L2MPa= 2x1274x10“ 乂51,2x10 = Ex1炉 n=130 k

10、N习题9-10如果杆分别由下列材料制成：(1)比例极限仃p =220MPa ,弹性模量E=190GPa的钢； 0P =490MPa , E =215GPa,含馍 3.5%的馍钢；(3) oP=20MPa, E=11GPa 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1）n E4之220x10“(2)运；%(3)n E4之xlOe=73 J习题9-11两端钱支、强度等级为 TC13的木柱，截面为150mm 150mm勺正方形，长度 l =3.5m ,强度许用应力仃=10MPa 。试求木柱的许可荷载。解:、口 1x3.5 一43g11产= 80,8 91由公式（9-12a ）= 0

11、393F=pcrjl= 0393x10x1(x15x10 = 88.4x10=88.41习题9-12图示结构由钢曲杆 AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连 接均为较连接，在 B点处承受竖直荷载 F =1.3kN ,木材的强度许用应力i = 10MPa。 试校核BC杆的稳定性。解：把BC杆切断，代之以轴力 N,则v M A = 01.3 1 NcosC 1 - NsinC 1=01.3sin C cosCsin C221.52=0.8cosC1.5.22 1.52-0.61.3N = =0.929(kN)0.8 0.6bh3 I12134= 40 40 = 213333(mm

12、 )1221333340 40=11.547(mm)l 1 2.5 103=216.5 91i 11.547由公式（912b）得:,2800= 0.05972800_ _2216.5；1st =二=0.0597 10 =0.597MPa_ N 929N :=2 =0.581MPaA 40 40mm因为。ffst,所以压杆BC稳定。习题9-13 一支柱由4根80mmM80mmM 6mm的角钢组成（如图）， 并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为较支，柱长 l=6m,压力为450kN 。若材料为Q235钢，强度许用应力。=170MPa ,试求支柱横截面边长 a的尺寸。解

13、：cr= = = 119.7xlOc Pa = 119.7MP& 4x9.397x10(查表：4 = 9397x10“ m， = 57.35xlO-8 m4)二耐产 二昌= 二 0.704/2/1x60.0774 m77.5团 170，查表得： 1=775/ = 44+4(j21.妒 xlO4J(-Zo)xlO61(2253-57.35)x10x10I一 ，一 1m习题9-14某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为 Q235钢，o=170MPa 。若按两端钱支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解：由型钢表查得 12

14、5x125x10角钢:2 - L 135 X 125 X 10/= 24.37 xl04m3= 4.85xW2m得-；一查表： : r故，一，卜一:，一 _4 一，】二一 习题9-15图示结构中，BC为圆截面杆，其直径 d=80mm; AC边长a = 70mm的正方 形截面杆。已知该结构的约束情况为 A端固定，B C为球形镀。两杆的材料均为 Q235钢， 弹性模量E =210GPa ,可各自独立发生弯曲互不影响。 若结构的稳定安全系数 nst =2.5 ,试求所能承受的许可压力。解：BC段为两端钱支,PCr641=，3.14 804 =2009600(mm4)64二2EI23243.142 2

15、10 103N/mm2 2009600mm4l22220002mm2= 1040227N =1040.227kNFbc1040.227nst2.5= 416(kN)17 /16AB杆为一端固定，一端钱支，N=0.7a41I =一 二一 704 -2000833(mm4)1212Pcr=二2EI3.142 210 103N/mm2 2000833mm42 1 002 mm2= 939400.621N = 939.4kNPer939 4Fac =-CL =9394 =375.76 ： 376(kN)nst2.5故F =376kN习题9-16图示一简单托架，其撑杆 AB为圆截面木杆，强度等级为 TC

16、1%若架上受集度 为g=5QkN/a的均布荷载作用，ab两端为柱形镀，材料的强度许用应力=11MP&,试求撑杆所需的直径 do解：取m _ m以上部分为分离体，由 % = Q心皿 30fl x 2.4 =50x3.2-2-,有% = 214kN=0,683； o;=0,683xcr=7.513MPak 214x1031 林5d 鹃=弓= 7.513x10/二36267x10 = 0.19m1x2.77y立 万L&316丁gg。双矢署683求出的3与所设学基本相符，故撑杆直径选用;1习题9-17图示结构中杆 AC与CD匀由Q235钢制成，C, D两处均为球钱。已知$二20 mm 人 100 mm

17、 h = 180 mm E = 200GPa, q = 235Mh 叫=4。二人强度安全 因数片二2.0,稳定安全因数 /二30。试确定该结构的许可荷载。解：(1)杆c位压力fcd =F3、 一2F梁BC中最大弯矩 M B 二/二3235xlO$xlOOxl8Q?xl 产 4x20(2)梁BC中=95175 N=95.2kN（3）杆 CD1x1（Q235钢的 XP =100）Jr2 EI 兀空 n/ n3x200xl05x204 x10d3/3x6464x1= 155 ：11一一15513% = 3%（由梁力矩平衡得） 尸 15,5然3 1 _.,F = = 15.5kN1 瓦 303.0故，

18、由（2）、（3）可知，F =15.5kN习题9-18图示结构中，钢梁 AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根 63mmM63mmM5mm角钢组成，杆 cd#合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 q =48kN/m。梁及柱的材料均为 Q235钢，o=170MPa, E=210GPa。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力Fcd把CD干去掉，代之以约束反力Fcd。由变形协调条件可知，WC = :l CDwCqwcFCD = ： l CD5ql ABF l3F CDlABF CDl CD384EI48EIEA5ql ABF l3F CDlABFCDl CD384I48IA查型钢表得：16号工字钢的I z = 1130cm4, Wz = 141cm363mmM63mmM5mmL形角钢的面积：a = 6.143cm2 , Iz = 23.17cm4 , iz = 1.94cm44335 48kN/100cm 400 cm Fcd 400 cmFcd 200cm二 4_ 4 = 2384 1130cm48 1130cm12.286cm5 48kN/100 4004 Fcd 4003 _ Fcd 200384 1130 48 1130 12.286141592.9203 -1179.941FCD =16.