刚体平面运动[1]

1、工程力学第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动第八章第八章 刚体的平面运动刚体的平面运动一、一、刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 二、平面图形内各点的速度二、平面图形内各点的速度三、平面图形内各点的加速度三、平面图形内各点的加速度四、运动学问题综合应用四、运动学问题综合应用 例题例题刚体的平面运动刚体的平面运动实例实例曲柄滑块机构曲柄滑块机构刚体的平面运动刚体的平面运动实例实例齿轮传动机构齿轮传动机构刚体的平面运动刚体的平面运动实例实例行星齿轮机构行星齿轮机构刚体的平面运动刚体的平面运动实例实例（沿直线）滚动的车轮（沿直线）滚动的车轮刚体在运动过程中，其上任一点到某

2、一刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面固定平面的距离始终保持不变，具有这的距离始终保持不变，具有这种特点的运动称为种特点的运动称为刚体的平面运动刚体的平面运动。平面运动的定义平面运动的定义7-1刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 平面运动的简化平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形刚体的平面运动可以简化为平面图形 S 在其自身在其自身平面内的运动。平面内的运动。平面运动的简化平面运动的简化这些平面上这些平面上对应的点对应的点具有相同具有相同的运动轨迹、相同的速度和相同的运动轨迹、相同的速度和相同的加速度。的加速度。特点：特点：刚体上所有平行于固定平面的刚体上

3、所有平行于固定平面的平面具有相同的运动规律；平面具有相同的运动规律；1.平面运动的方程平面运动的方程 任意线段任意线段AB 的位置可的位置可用用A 点的坐标和点的坐标和AB与与 x 轴轴的夹角来描述，图形的夹角来描述，图形S 的位的位置决定于三个独立的参变量置决定于三个独立的参变量（三个自由度），所以：（三个自由度），所以：为了确定代表平面运动刚为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一只需确定平面图形内任意一条线段的位置。条线段的位置。平面运动的方程平面运动的方程xA= f1(t)yA= f2(t) = f3(t)刚体的平面运动可以看成是刚

4、体的平面运动可以看成是平面平动平面平动和和转动转动的合成运动。的合成运动。平面运动的方程平面运动的方程 根据根据平面运动方程平面运动方程，对于每一瞬时，对于每一瞬时 t，都有对应的，都有对应的 xA、 yA和和 ， 图形图形S 在该瞬时的位置是完全确定的在该瞬时的位置是完全确定的。xA= f1(t)yA= f2(t) = f3(t)2.平面运动可分解为平动和转动平面运动可分解为平动和转动v当图形当图形S 上上A 点固定不动时，刚体作定轴转动。点固定不动时，刚体作定轴转动。v当图形当图形S 上上 角固定不变时，刚体作平移运动。角固定不变时，刚体作平移运动。平面运动的方程平面运动的方程平面运动的分

5、解平面运动的分解平面运动的分解平面运动的分解车轮的运动车轮的运动 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动相对静系的平动 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） v 定义动系上的原点定义动系上的原点A 为基点，于是为基点，于是车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A 的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动平面运动的分解平面运动的分解刚体的平面运动刚体的平面运动可以分解为随基

6、可以分解为随基点的点的平动平动和绕基和绕基点的点的转动转动。刚体的刚体的平面运动平面运动随基点的随基点的平移平移（牵连运动牵连运动）绕基点的绕基点的转动转动（相对运动相对运动）平面运动的分解平面运动的分解 平面图形在时间内从位置I运动到位置IIa. 以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到ABb.以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB图中看出：AB AB AB ，于是有21122121212010, ; , limlimdtddtdtttt3.刚体平面运动的角速度 和角加速度 所以，平面运动随基点平动的运动规律与基平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕

7、基点转动的规律与基点选取点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是任意的基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)AB杆作平面运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解基点的选择：基点的选择：比较比较曲柄连杆机构曲柄连杆机构平面运动的分解平面运动的分解基点的选择基点的选择平面运动平面运动随基点平动随基点平动的运动规律与基点的选择的运动规律与基点的选择有有关关，而，而绕基点转动绕基点转动的运动规律与基点选取的运动规律与基点选取无关无关（即即在同一瞬间，平面图形绕任一基点转动的在同一瞬间，平面图形绕任一基点转动

8、的 与与 都都是是相同的相同的）。）。基点的选取是任意的基点的选取是任意的（通常选取运动情况已知的通常选取运动情况已知的点作为基点）点作为基点）。在同一瞬时，平面运动的刚体只有在同一瞬时，平面运动的刚体只有一个一个角速度、角速度、只有只有一个一个角加速度。角加速度。平面运动的分解平面运动的分解 对于分解为平移和转动的情形，平面图形上任对于分解为平移和转动的情形，平面图形上任选基点选基点A 的速度的速度vA，以及平面图形的角速度，以及平面图形的角速度 ，是，是描述刚体平面运动的描述刚体平面运动的特征量特征量。 vA 描述图形跟随基点的平移描述图形跟随基点的平移 描述相对于基点平移系的转动描述相对

9、于基点平移系的转动 vA与与 确定了确定了平面图形在该瞬时的（速度）运平面图形在该瞬时的（速度）运动状态动状态 平面运动是平面平动与定轴转动的平面运动是平面平动与定轴转动的“合成合成”运运动动平面运动的分解平面运动的分解根据速度合成定理根据速度合成定理reavvv，则，则B 点速度为：点速度为：BAABvvv解解：取：取A 为基点，取为基点，取B 为动点，为动点， 则则B 点的运动可看作牵连运动为点的运动可看作牵连运动为随随A 点的平动和相对运动为绕点的平动和相对运动为绕A 点点的转动（圆周运动）的合成。的转动（圆周运动）的合成。已知平面图形内已知平面图形内A 点的速度和图形点的速度和图形的角

10、速度，求另一点的角速度，求另一点B 点的速度。点的速度。平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度基点法基点法7.2求平面图形内各点的速度的基点法求平面图形内各点的速度的基点法平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度基点法基点法速度合成定理速度合成定理平面图形上任意点的速度，等于基平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的动系的相对点的速度，与这一点对于以基点为原点的动系的相对速度的矢量和：速度的矢量和：BAABvvvABvBA其中其中ABvBA 由于平面图形内由于平面图形内A、B两两点的位置是任意选择的，因点的位置是任意选择的，因此速度合成定理：此速度合成定理：BAAB

11、vvv速度投影定理速度投影定理速度投影定理速度投影定理表达了平面图形上任意两点表达了平面图形上任意两点速度之间的关系。速度之间的关系。ABvBA注意恒成立关系式：注意恒成立关系式：因此将速度合成定理在因此将速度合成定理在AB 两点的连线上投影，有两点的连线上投影，有 A B速度投影定理速度投影定理 A B速度投影定理速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。两点连线上的投影相等。AABBvvcoscos即：即： ABAABBvv也可以写成：也可以写成： 例例1.曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：当 =45时, 滑块B的速度

12、及AB杆的角速度。 a.基点法 b.速度投影法解：解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。, lvAllABvllvvllvvBAABABAAB/45tgtg)(245cos/ cos/（）根据,BAABvvv在点做 速度平行四边形，如图示。 ABAABBvv根据速度投影定理cosBAvv )(245cos/ cos/llvvAB不能求出AB 速度投影法 研究AB, ,方向OA, 方向沿BO直线lvABv课堂练习课堂练习滚子A沿水平面作纯滚动，通过连杆AB带动滑块B沿铅垂轴向上滑动。设连杆长l = 0.8m，轮心速度

13、v0=3m/s。求当A B与铅垂线成 时，滑块B的速度及连杆的角速度。30解：解：1.基点法基点法 取A为基点，B点的速度BAABvvv330tanABvv32BAv3258 . 032ABvBAAB(m/s)(m/s)（rad/s）2.速度投影法 ABAABBvv330cos60cos60cos30cosABABvvvv（m/s）1、问题的提出问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算将会若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算将会有所简化。于是自然要提出问题：在某一瞬时平面图形上是否有所简化。于是自然要提出问题：在某一瞬时平面图形上是否存在一点其速度等于零？如果存在的

14、话，该点的位置又如何确存在一点其速度等于零？如果存在的话，该点的位置又如何确定？定？速度瞬心的定义速度瞬心的定义7.3求平面图形内各点的速度的瞬心法求平面图形内各点的速度的瞬心法BABvv 速度瞬心的概念速度瞬心的概念 一般情况下，在每一瞬时，平面图形S及其延伸扩展部分上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。2. 速度速度瞬心与速度瞬心法瞬心与速度瞬心法下面介绍在计算平面图形的角速度和各点速度中应用最广，较为方便和形象的瞬心法。 如图所示，已知点A的速度为vA，图形角速度大小为 ，转向如图所示。如以点A为基点，则在vA的垂线AN上（由vA到AN的转向与角速度的转向一致）任意一点M的速

15、度vM的大小为随着点M在垂线上的位置的变化， vM 的大小也随之变化，因此总可以在AN上找到一点C（该点是唯一的），使得该瞬时的vC为零。显然，只要令AvAC AMvvAM则0ACvvAC点C称为瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心3、确定速度瞬心位置的几种方法确定速度瞬心位置的几种方法 （1）已知一平面图）已知一平面图形在固定面上作无滑形在固定面上作无滑动的滚动，则图形与动的滚动，则图形与固定面的接触点固定面的接触点P 为为速度瞬心速度瞬心。速度瞬心的位置速度瞬心的位置 ABCvBvCvAAPvABPvBCPvC（2）已知某瞬时平面图形上）已知某瞬时平面图形上A、B两点速度的方向，且两个速两点

16、速度的方向，且两个速度矢量不平行，过度矢量不平行，过A、B两点分别作速度的垂线，交点两点分别作速度的垂线，交点Cv（或（或P）即为该瞬时的即为该瞬时的速度瞬心速度瞬心。速度瞬心的位置速度瞬心的位置APvABPvB（3）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，方向相同，并且都垂直于两点的连线。量互相平行，方向相同，并且都垂直于两点的连线。速度瞬心的位置速度瞬心的位置ABvvBAABvvBA（4）已知平面图形上两点的速度矢量的大）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相小与方向，而且二矢量互相平行

17、、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。反，但二者都垂直于两点的连线。（5）已知平面图形上两点的速度）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。不垂直于两点的连线。瞬时平动瞬时平动瞬心无穷远瞬心无穷远0速度瞬心的位置速度瞬心的位置（6）已知图形上一点的速度 和图形角速度 可以确定速度瞬心的位置。（C点）且C在 绕A点顺 转向转90的方向一侧, , AAACvACvAvAv速度瞬心的特点速度瞬心的特点1、瞬时性瞬时性不同的瞬时，有不同的速度瞬心不同的瞬时，有不同的速度瞬心2、唯一性唯一

18、性某一瞬时只有一个速度瞬心某一瞬时只有一个速度瞬心3、瞬时转动特性瞬时转动特性平面图形在某一瞬时的运动都平面图形在某一瞬时的运动都可以看作绕这一瞬时速度瞬心作可以看作绕这一瞬时速度瞬心作瞬时转动瞬时转动4、速度瞬心处的速度瞬心处的瞬时瞬时速度为零，但加速度一般并不速度为零，但加速度一般并不为零（为零（不同于定轴转动不同于定轴转动）5、刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各、刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度一般并不相同（点的加速度一般并不相同（不同于刚体平动不同于刚体平动）例 题 1 如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A

19、，B，C和D各点的速度。 CABDOvO解：COOCvvv0COOCvvv 注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C 的速度为零，即因为轮心O点速度已知，故选O为基点。vOvCOvC=0其中 vCO 的方向已知，其大小vCO =R 。基点法基点法RvRvOCO因此（顺时针）应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可表示为 CABDOvOvOvCOvC=0求得之后，应用基点法各点的速度就很容易求得如下： vOvAOvAvOvBOvBvOvDOvDRvRvOCO,2ivOAvOAvv2A点：, jivOOBvvOBvv2B点：, jivOODvvODvv2D点：其中，i

20、 ，j 为x，y 轴的单位矢量。CABDOxyvO 车轮上与地面相接触的C点的速度为零即为车轮的瞬心。利用已知速度vO，可求得车轮的角速度为此与以O点为基点求出的角速度完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。 车轮上点B的速度方向垂直于连线CB，大小为OBvRBCv22vB同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。 瞬心法瞬心法RvOCvOO（顺时针）解解：机构中机构中曲柄曲柄OA作定轴转动，连杆作定轴转动，连杆AB作平面运动，滑块作平面运动，滑块B 作平动。作平动。 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄，曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转动。转动。 求：当求：当 =45

21、时，滑块时，滑块B 的速度及的速度及AB杆的角速度。杆的角速度。例题例题 2曲柄连杆机构曲柄连杆机构（1）基点法基点法 研究研究连杆连杆AB，以以A 为基点，为基点，且且vA A= l ，方向如图示。，方向如图示。ll/vvAB245coscos根据根据BAABvvv在在B点做点做 速度平行四边形，速度平行四边形，如图示。如图示。llvvABA45tantan（）ll/ABvBAAB/ ABAABBvv根据速度投影定理根据速度投影定理cosBAvv )(245cos/cos/llvvAB用速度投影法用速度投影法不能求出不能求出AB（2）速度投影法速度投影法研究研究连杆连杆AB，A点速度点速度

22、vA A= l ，方向方向 OA。 B点速度点速度 vB B方向沿方向沿BO直线。直线。lvA（试比较上述三种方法的特点）（试比较上述三种方法的特点）（3）速度瞬心法速度瞬心法研究研究连杆连杆AB，A 点与点与B 点速度的点速度的方向已知，因此可确定出方向已知，因此可确定出 P 点为点为速度瞬心。速度瞬心。（）llAPvAAB/lAP )(2lBPvABB 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。 ABvO例 题 3解法一、选A点为基点， A点的速度vA=v，则B点的速度可表示为 BAABvvv式中vB方向沿OB向下

23、，vBA方向垂直于杆AB，由速度合成矢量图可得,tan vvB, sinvvBAABvOABsin1lvlvBAAB所以( 逆时针 )解法二、也可以选B点为基点，则A点的速度可表示为 ABBAvvv式中vB方向沿BO向下，vAB方向垂直杆AB，且vBA=ABAB，但AB未知，而vA=v。由速度合成矢量图可得ABOvA=vvBvABABvB, tanvvB, sinvvBAsin1lvlvBAAB所以( 逆时针 ) 因为杆AB上A点的速度已知，B点的速度方向也已知，故可求出杆AB的速度瞬心在C 点。 cot cos sinvllvBCvABB所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。 注意到

24、vA = v ，所以可以求得ABOABvCvB瞬心法瞬心法 sinlvACvAB( 逆时针 )例题例题 4行星齿轮机构行星齿轮机构已知已知: R、r、 0，轮，轮A作纯滚动，求作纯滚动，求21,MMvv解解：OA定轴转动，轮定轴转动，轮A作平面运动，作平面运动， P 点为轮点为轮A 的瞬心。的瞬心。PMvM11rrRvA0）(002222rRrrRrPMvM例题例题 4行星齿轮机构行星齿轮机构0 rrR 0022rRrrRr 楔块楔块圆盘圆盘平面机构中，楔块平面机构中，楔块M倾角倾角 =30，速度，速度v =12cm/s；圆；圆盘半径盘半径 r = 4cm，与楔块间无滑动。求圆盘的角速度，与楔

25、块间无滑动。求圆盘的角速度 、杆杆OC 的的速度以及圆盘上速度以及圆盘上B 点的速度。点的速度。例题例题 5楔块楔块圆盘圆盘平面机构平面机构解解：杆杆OC 和楔块和楔块M均作平动；圆盘均作平动；圆盘作平面运动，作平面运动，P 为圆盘的速度瞬心。为圆盘的速度瞬心。cm/s 12vvAr/v/PAvAAcos)(cm/s 34sinrPOvOcm72120cos222OBPOOBPOPB) ( cm/s 3 .18214PBPBvB例题例题 5楔块楔块圆盘圆盘平面机构平面机构）(rad/s 32例题例题 6曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构已知：已知：OA=0.15m，n=300 rpm，AB =0

26、.76m，BC=BD=0.53m， 在图示位置在图示位置 AB 杆水平。求该位置时的杆水平。求该位置时的 BD、 AB及及vD 。解解：杆杆OA、BC 作定轴转动，杆作定轴转动，杆AB、BD 均作平面运动。均作平面运动。rad/s 103030030nm/s 5110150.OAvA（ ）rad/s 167376025160sin511.AB.APvAABm/s 7221675076016760cos1.ABBPvABB研究研究BD 杆，杆，P2为其速度瞬心，为其速度瞬心， BDP2为等边三角形为等边三角形rad/s 1355307322.BPvBBD)( m/s 7221355302.DPv

27、BDD（）例题例题 6曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构研究研究AB 杆，杆，P1为其速度瞬心为其速度瞬心 图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度 = 2 rads1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面滚动。已知CD = 2CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时E点的速度。 ABCODE3060例 题 83060解：由速度投影定理，杆AB上 A，B点的速度在 AB 线上投影相等，即 ABvv30cos1sm 231.030 cos30 cosOAvvAB摇杆 CD绕C点作定轴转动1sm 462.02BBDvCDCBvv轮E沿水平面滚动，轮心

28、E的速度水平，由速度投影定理，D，E 两点的速度关系为DEvv30 cosABCODE3060vAvBvDvE速度投影法速度投影法1sm 533.0Ev求得30607.47.4用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动nBABABArAeBaaaaaaaaa ; ; 于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式reaaaanBABAABaaaa 一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。Aa其中

29、：，方向AB，指向与 一致；，方向沿AB，指向A点。ABaBA2ABanBA即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度。这种求解加速度的方法称为的方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。是求解平面图形内一点加速。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该

30、公方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。nBABAaa,nBABAABaaaa nBABAaa ,由于 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心QAaAa0Qa b.一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度ABBABAaa即即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等二加速度瞬心注注 a.一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点 ABBABAaa 若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 c.由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一 般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度分析：大小 ？ w 2 方向 ？ 故应先求出 nP