等差数列前N项和

1、等差数列的前等差数列的前n n项和项和范汉东1.等差数列的定义：等差数列的定义： 1(2)nnnaaad n 是是等等差差数数列列2.通项公式：通项公式：1(1) .naand3.重要性质重要性质:() .nmaanm d.mnpqmnpqaaaa 复习复习 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得

2、到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :首项与末项的和：首项与末项的和： 1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和： 299 =101， 第第3项与倒数第项与倒数第

3、3项的和：项的和： 398 101， 第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa怎样求一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？ 12,.nnnnanSSaaa 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为即即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1(

4、).2nnn aaS 新课新课等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式1(1)naand2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （公式1公式2dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 思考： na1, , ,nna a n d S等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：21111222nddSnan ndnan12,22nSAnddABaABnB设则是常数2200,.nnAdSnSAnBnyAxBx当即时是关于 的二次函数式,即的图象是抛物线上的一群孤立的点特征：特征： 2( ,)nnnanSAnBn ABa数列的前 项和为常数 ，则数列是不是一定是等

5、差数列？思考：思考： 22( ,)nnaASAnBn A B是公差为的等差数列为常数结论：结论：2nnanSpnqnr问:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列一定是等差数列吗？2nnanSpnqnr结论:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列是等差数列当且仅当r=0例例1、计算：、计算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462(4)1 23456(21)2 .nnnnn ；(4)1 3 5(21) (2 4 62 ).nn 解：原式(1 2) (3 4) (5 6)(21) 2 .nn又解：原式(1)2n n 2n(1)

6、n n11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 举例举例例例2、10, 6, 2,2,54 等差数列前多少项的和是 ？ 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnanSadSn nnnnnn 设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去）因因此此，等等差差数数列列， ， ， ， 前前 项项的的和和是是注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aaSn nSnad（例例3、 25121

7、51636,.naaaaaS 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 11)21)2nnnn aaSn nSnad（1、一个等差数列前、一个等差数列前4项的和是项的和是24，前，前5项的和项的和与前与前2项的和的差是项的和的差是27，求这个等差数列的通，求这个等差数列的通项公式。项公式。415211124462427(510 )(2)27332(1)21.2nSadSSadadaannd ，解解： 巩固巩固练习练习 61120,.naaS 2 2、 已已 知知 等等 差差 数数 列列中中 ，求求解解:61116202aaaa11111611()11220.2aaSa 11)21)2nnnn aaSn nSnad（1、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;1n1( ) ()2(1)S2nnn aaSn nnad 2 2、求求和和公公式式 小结小结3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式；已知首项、公差用公式.应用求和公式时一定弄清项数应用求和公式时一定弄清项数n