概率与数理统计 第2讲

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第二讲第二讲王小才主讲教师：主讲教师：淮阴工学院数理学院淮阴工学院数理学院第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 事件的概率与性质事件的概率与性质1.3 1.3 条件概率条件概率2022-5-6随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随机事件随机事件 基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件2 2. . 随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系复习：复习：随机现象的特征随机现象的特征: :1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科

2、. .条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2022-5-6符号符号集合含义集合含义事件含义事件含义全集全集样本空间，必然事件样本空间，必然事件空集空集不可能事件不可能事件 集合的元素集合的元素样本点样本点 单点集单点集 基本事件基本事件A A 一个集合一个集合一个事件一个事件A B AA B A的元素在的元素在B B中中 A A发生导致发生导致B B发生发生A=BA=B 集合集合A A与与B B相等相等 事件事件A A与与B B相等相等ABAB A A与与B B的所有元素的所有元素A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生ABAB A A与与B B的共同元素的共同元素A A与与B B同

3、时发生同时发生 A A的补集的补集A A的对立事件的对立事件A-BA-B 在在A A中而不在中而不在B B中的元素中的元素 A A发生而发生而B B不发生不发生AB= AB= A A与与B B无公共元素无公共元素A A与与B B互斥互斥2022-5-6).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 则则且且为为两两个个事事件件设设1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n2. 概率的主要性质概率的主要性质, 1)(0) 1 ( AP( )1,( )0;PP );(1)()2(APAP );()()()() 3(ABPBPAPBAP 复习：复习：B(5) (5) 加

4、法公式：加法公式：对任意两事件对任意两事件A A、B B，有，有证明证明A由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP ).()()()(ABPBPAPBAPB B推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nn

5、nkjikjiAAAPAAAP 例例 小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏游戏, 他能答出甲、他能答出甲、乙二类问题的概率分别为乙二类问题的概率分别为0.7和和0.2, 两类问题都两类问题都能答出的概率为能答出的概率为0.1. 求小王求小王解解 事件事件A , B分别表示分别表示“能答出甲能答出甲,乙类问题乙类问题”，该题转化为：已知该题转化为：已知(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率两类问题都答不出的概率 0.7,( )0.2,()0.1,P AP BP AB

6、 2()P AB求求(1) ()P AB(3) ()P ABABABAB 0.7,( )0.2,()0.1,P AP BP AB 2()P AB例、设求(1) ()P AB(3) ()P AB- - - -(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP例例 设设A , B满足满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下，在何条件下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？最值？最大大(小小)值是多少？值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()

7、()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)( BAP最小值在最小值在 时取得时取得 6 . 0)()(APABP 最小值最小值 最大值最大值)()(BPBAP最大值在最大值在 时取得时取得 例例 设设A , B满足满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下，在何条件下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？最值？最大大(小小)值是多少？值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)( BAP最小值在最小值在 时取得时取得 最小值最小值思考思考 若回答当若回答当 AB

8、时，时，P(AB)取得最取得最小值，是否正确小值，是否正确? ? 1.2.3 1.2.3 概率的古典定义概率的古典定义1. 1. 定义定义若某随机实验E满足 (p11)1.样本空间只含有有限个样本点 1,2 , ,n 2.P(1)=P(2)=P(n).则称E为，简称 设试验设试验 E 的样本空间的样本空间由由n 个样本点构成，个样本点构成， A 为为 E 的任意一个事件，且包含的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事个样本点，则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: : 2. 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含

9、样本点的个数AnmAP 称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. . (1) (1) 古典概型的判断方法古典概型的判断方法（有限性有限性 、等概性、等概性）；）；注意注意: :(2) (2) 古典概率的计算步骤：古典概率的计算步骤：弄清试验与样本点弄清试验与样本点; ;数清样本空间与随机事件中数清样本空间与随机事件中 的样本点数的样本点数; ; 列出比式进行计算。列出比式进行计算。1 1=(=(正正正正正正),(),(反正正反正正),(),(正反正正反正), ), ( (正正反正正反), (), (正反反正反反), (), (反正反反正反), ), ( (反反正反反正), (), (反反反反

10、反反) ) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点等可能等可能. .2 2=(=(三正三正), (), (二正一反二正一反), (), (二反一正二反一正), ), ( (三反三反) ) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能. .抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次抛三枚硬币一次 (1)A(1)A 指定的指定的n n个格子中各有一粒子个格子中各有一粒子. (2)B(2)B 恰有恰有n n个格子中各有一粒子个格子中各有一粒子 子都以同样的概率子都以同样的概率 落入落入(N(Nn)n)个格子的每个格子的每 例（分房模型例（分房模型) ) 有有n n个不同的粒子，每个粒

11、个不同的粒子，每个粒N N1 1一格子中，试求下述事件的概率一格子中，试求下述事件的概率 .NNNNN1n 2n n3n 1样本点总数样本点总数NnA中含有样本点总数中含有样本点总数n!例例 ( (生日问题生日问题) ) 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的天中的任一天是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为643651646464!365 364 (365641).365365Cp故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日

12、相同的概率为人生日相同的概率为64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解利用对立事件人数人数至少有两人生日相同的至少有两人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551

13、000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算. .常见模型常见模型 不返回抽样不返回抽样有有a件次品、件次品、b件合格品件合格品. . ( (口袋中有口袋中有a个白球，个白球， b个黑球个黑球) )从中不返回任取从中不返回任取n个个. .A=恰恰

14、有有k个不合格品个不合格品 ( )kn kabna bC CP AC此模型又称此模型又称 样本点总数样本点总数Ca+b nA中含有样本点总数中含有样本点总数Ca k Cb n-ka种种次品次品次品的位置次品的位置Cn k合格品合格品b种种常见模型常见模型 返回抽样返回抽样有有a件次品、件次品、b件合格品件合格品. . 从中有返回地任取从中有返回地任取n 个个.则此则此n个中有个中有k个不合格品的概率为：个不合格品的概率为：()kn kkkn kmnnnC a babCababab 第第1 1次摸球次摸球a+b种种第第2次摸球次摸球a+b种种第第n次摸球次摸球a+b种种(a+b)nCnkanbn

15、-k1.2.4 1.2.4 概率的几何定义概率的几何定义 若若 样本空间样本空间 充满某个区域，充满某个区域， 其度量其度量(长度、面长度、面 积、体积积、体积)为为S ； 落在落在 中的任一子区域中的任一子区域A的概率，的概率， 只与子区域的度量只与子区域的度量SA有关，有关， 而与子区域的位置无关而与子区域的位置无关 (等可能的等可能的). 则事件则事件A的概率为的概率为: P(A)= SA /S 那么那么.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预在预定地点会面定地点会面. 先到的

16、人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t( tT ) 后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻这段时间内各时刻到达该地是等可能的到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵且两人到达的时刻互不牵连连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解解,时刻时刻的的分别为甲、乙两人到达分别为甲、乙两人到达设设yx故所求的概率为故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以若以 x, y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标 , 则有则有 t T T例例 两船欲

17、停靠同一个码头两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是的时间分别是1 小时与小时与2 小小 时，试求在一昼夜内，时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需任一船到达时，需 要等待空出码头的概率要等待空出码头的概率.解解 设船设船1 到达码头的时间为到达码头的时间为 x ，0 x 24 船船2 到达码头的时间为到达码头的时间为 y ，0 y 0，则称，则称 为在事件为在事件B 已发生的已发生的条件下条件下，事

18、件事件A 发生的发生的条件概率条件概率.1.3.1 条件概率的定义()(|)()P ABP A BP B BAABB B2. 2. 性质性质11().iiiiPA BP A B()1PB ；(2)归一性：归一性：(3)可列可加性：设可列可加性：设A1，A2.是两两互是两两互不相容的事件，则有不相容的事件，则有(A)0PB ；(2)非负性：非负性：性质性质1 对于不可能事件对于不可能事件 , 有有P( |A)=0.性质性质2 (条件对立事件概率条件对立事件概率)P( |B) = 1 P(A|B).A性质性质3(条件概率一般加法公式条件概率一般加法公式)P(A B|C) = P(A|C) + P(

19、B|C) P(AB|C)；特别地特别地,若若 A 与与 B 互不相容，则互不相容，则P(A B|C) = P(A|C) + P(B|C) ；条件概率是概率P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.注 意 点 1) 缩减样本空间缩减样本空间： 将将 缩减为缩减为 B=B. 2) 用定义用定义：条件概率 P(A|B) 的计算()(|)()P ABP B AP A 例例. . 一个家庭有两个孩子。一个家庭有两个孩子。(1) (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？概率？(2) (2) 已知年纪小的是男孩

20、，求两个都是男孩的已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？概率？ (1)记记B=至少有一个男孩至少有一个男孩 A=两个都是男孩两个都是男孩 这时这时=BB，GB，BG，GG，每每一种等可能发生，即一种等可能发生，即1/41/4。 =BB,GB,BG=BB( )1/ 41|( )3/ 43P ABP AP A BP BP B=（）（）（ ） 另解：将另解：将B看作是缩小的一个新的样本空看作是缩小的一个新的样本空间间B B，仍是一个古典概率模型，仍是一个古典概率模型， |P A B =（）13例例. . 一个家庭有两个孩子。一个家庭有两个孩子。(1) (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的

21、已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？概率？(2) (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？概率？ (2)记记C=年纪小的是男孩年纪小的是男孩 A=两个都是男孩两个都是男孩 =BB，GB=BB( )1/ 41|( )2/ 42P ACP AP A CP CP B=（）（）（ ）由定义由定义 10个产品中有个产品中有7个正品、个正品、3个次品，从中个次品，从中 不放回地抽取两个，不放回地抽取两个， 已知第一个取到次已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率品，求第二个又取到次品的概率. P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9 解：设解：设 A = 第一个取到次品第一个取到次品， B = 第二个取到次品第二个取到次品，例题例题乘法公式乘法公式;全概率公式；全概率公式；贝叶斯公式贝叶斯公式.条件概率的三大公式条件概率的三大